1. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất $y`` - 5y` + 6y = 0$.
A. $y = C_1e^{2x} + C_2e^{3x}$
B. $y = C_1e^{-2x} + C_2e^{-3x}$
C. $y = C_1e^{2x} + C_2xe^{2x}$
D. $y = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)$
2. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $y` + 2y = 0$.
A. $y = Ce^{-2x}$
B. $y = Ce^{2x}$
C. $y = 2x + C$
D. $y = C$
3. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$.
A. Không có cực trị
B. Cực đại tại (0, 0)
C. Cực tiểu tại (0, 0)
D. Điểm yên ngựa tại (0, 0)
4. Điều kiện nào sau đây là điều kiện cần để hàm số $f(x,y)$ đạt cực trị tại $(x_0, y_0)$?
A. $f_x(x_0, y_0) = 0$ và $f_y(x_0, y_0) = 0$
B. $f_{xx}(x_0, y_0) > 0$ và $f_{yy}(x_0, y_0) > 0$
C. $f_{xx}(x_0, y_0) < 0$ và $f_{yy}(x_0, y_0) < 0$
D. $f_{xy}(x_0, y_0) = 0$
5. Tính tích phân $\int \frac{1}{x^2 - 1} dx$.
A. $\frac{1}{2} \ln |\frac{x-1}{x+1}| + C$
B. $\frac{1}{2} \ln |\frac{x+1}{x-1}| + C$
C. $\ln |x^2 - 1| + C$
D. $\arctan(x) + C$
6. Tính diện tích bề mặt của hình cầu có bán kính $R$.
A. $4\pi R^2$
B. $\frac{4}{3}\pi R^3$
C. $2\pi R$
D. $\pi R^2$
7. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y`` + 4y = 0$.
A. $y = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)$
B. $y = C_1e^{2x} + C_2e^{-2x}$
C. $y = C_1\cos(4x) + C_2\sin(4x)$
D. $y = C_1e^{4x} + C_2e^{-4x}$
8. Tìm đạo hàm riêng $f_x$ của hàm số $f(x, y) = x^3y^2 + xy$.
A. $3x^2y^2 + y$
B. $2x^3y + x$
C. $3x^2 + y$
D. $x^3 + x$
9. Tìm bán kính hội tụ $R$ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$.
A. $\infty$
B. $0$
C. $1$
D. $e$
10. Tìm gradient của hàm số $f(x, y) = x^2y + \sin(x)$.
A. $\nabla f = (2xy + \cos(x), x^2)$
B. $\nabla f = (x^2, 2xy + \cos(x))$
C. $\nabla f = (2xy, x^2 + \cos(x))$
D. $\nabla f = (x^2, 2xy)$
11. Tìm chuỗi Taylor của hàm số $f(x) = \cos(x)$ tại $x = 0$.
A. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$
B. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
C. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{n}}{n!}$
D. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$
12. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân $y`` + y = \sin x$.
A. $y_p = -\frac{1}{2}x\cos x$
B. $y_p = \frac{1}{2}x\cos x$
C. $y_p = -\frac{1}{2}\cos x$
D. $y_p = \frac{1}{2}\cos x$
13. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y` + y = e^{-x}$.
A. $y = (x + C)e^{-x}$
B. $y = Ce^{-x}$
C. $y = e^{-x} + C$
D. $y = x e^{-x}$
14. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^2$ và $y = x$.
A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $1$
15. Tính tích phân đường loại 1 $\int_C (x + y) ds$, với $C$ là đoạn thẳng nối từ (0, 0) đến (1, 1).
A. $\sqrt{2}$
B. $2\sqrt{2}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. $\frac{1}{2}$
16. Tính $\int_{0}^{\pi/2} \sin^2(x) dx$.
A. $\frac{\pi}{4}$
B. $\frac{\pi}{2}$
C. $\pi$
D. $1$
17. Tính giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$.
A. $0$
B. $\infty$
C. $1$
D. Không tồn tại
18. Tìm giới hạn $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}$.
A. $e$
B. $1$
C. $0$
D. $\infty$
19. Tính đạo hàm của hàm số $y = \ln(\sin x)$.
A. $\cot x$
B. $\tan x$
C. $\frac{1}{\sin x}$
D. $\frac{1}{\cos x}$
20. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền giới hạn bởi $y = x^2$, $y = 0$, $x = 1$ quanh trục Ox.
A. $\frac{\pi}{5}$
B. $\pi$
C. $\frac{\pi}{2}$
D. $\frac{1}{5}$
21. Tính tích phân bội hai $\iint_D xy dA$, với $D = [0, 1] \times [0, 1]$.
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $1$
D. $0$
22. Tính diện tích miền D giới hạn bởi $x^2 + y^2 \le 1$.
A. $\pi$
B. $2\pi$
C. $\frac{\pi}{2}$
D. $1$
23. Tìm vi phân toàn phần của hàm số $z = f(x, y) = x^2y + y^3$.
A. $dz = (2xy)dx + (x^2 + 3y^2)dy$
B. $dz = (x^2 + 3y^2)dx + (2xy)dy$
C. $dz = (2x + 3y^2)dx + (x^2)dy$
D. $dz = (x^2)dx + (2x + 3y^2)dy$
24. Tính tích phân suy rộng $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} dx$.
A. $1$
B. $0$
C. $\infty$
D. $-1$
25. Cho hàm số $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tìm $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
A. $4xye^{x^2 + y^2}$
B. $e^{x^2 + y^2}$
C. $2xe^{x^2 + y^2}$
D. $2ye^{x^2 + y^2}$
26. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $y` = xy$.
A. $y = Ce^{\frac{x^2}{2}}$
B. $y = Ce^{-\frac{x^2}{2}}$
C. $y = Cx$
D. $y = C$
27. Tìm điểm dừng của hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$.
A. (0, 0) và (1, 1)
B. (0, 0) và (-1, -1)
C. (1, 0) và (0, 1)
D. Không có điểm dừng
28. Tính tích phân $\int_0^{\infty} e^{-x^2} dx$.
A. $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
B. $\sqrt{\pi}$
C. $\pi$
D. $1$
29. Tính tích phân $I = \int_0^1 x e^x dx$.
A. $1$
B. $e - 2$
C. $2$
D. $e - 1$
30. Xét chuỗi số $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$. Chuỗi này hội tụ khi nào?
A. $p > 1$
B. $p < 1$
C. $p \ge 1$
D. $p \le 1$
