1. Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm phân phối tích lũy (CDF) $F(x)$. Khi đó, P(a < X \le b) bằng:
A. F(b) - F(a)
B. F(a) - F(b)
C. F(a) + F(b)
D. F(a) * F(b)
2. Trong phân tích hồi quy, $R^2$ (R-squared) thể hiện điều gì?
A. Mức độ mạnh yếu của mối quan hệ tuyến tính giữa các biến.
B. Phần trăm biến thiên của biến phụ thuộc được giải thích bởi biến độc lập.
C. Sai số chuẩn của ước lượng.
D. Giá trị p của các hệ số hồi quy.
3. Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X cho bởi $f(x) = cx^2$ khi $0 \le x \le 1$ và $f(x) = 0$ khi $x$ ngoài khoảng [0, 1]. Tìm giá trị của c.
A. 2
B. $\frac{1}{3}$
C. 3
D. 1
4. Trong kiểm định giả thuyết, lỗi loại I (Type I error) là gì?
A. Chấp nhận giả thuyết sai.
B. Bác bỏ giả thuyết đúng.
C. Chấp nhận giả thuyết đúng.
D. Bác bỏ giả thuyết sai.
5. Định nghĩa nào sau đây là đúng về trung vị (median) của một tập dữ liệu?
A. Giá trị trung bình của tập dữ liệu.
B. Giá trị xuất hiện nhiều nhất trong tập dữ liệu.
C. Giá trị nằm giữa khi tập dữ liệu được sắp xếp.
D. Tổng của tất cả các giá trị chia cho số lượng giá trị.
6. Chọn ngẫu nhiên một lá bài từ bộ bài 52 lá. Tính xác suất để lá bài đó là quân át hoặc quân rô.
A. $\frac{4}{13}$
B. $\frac{17}{52}$
C. $\frac{1}{13}$
D. $\frac{1}{4}$
7. Một hộp chứa 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên 2 bi. Tính xác suất để cả hai bi đều màu đỏ.
A. $\frac{5}{14}$
B. $\frac{3}{28}$
C. $\frac{10}{56}$
D. $\frac{5}{28}$
8. Hệ số tương quan (correlation coefficient) đo lường điều gì?
A. Sự biến thiên của dữ liệu.
B. Mức độ tập trung của dữ liệu.
C. Mức độ phụ thuộc tuyến tính giữa hai biến.
D. Giá trị trung bình của dữ liệu.
9. Một xạ thủ bắn 3 phát vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng mục tiêu trong mỗi lần bắn là 0.6. Tính xác suất xạ thủ bắn trúng mục tiêu đúng 2 lần.
A. 0.432
B. 0.288
C. 0.144
D. 0.216
10. Thế nào là khoảng tin cậy 95%?
A. Có 95% khả năng tham số thực nằm ngoài khoảng này.
B. Có 95% khả năng mẫu nằm trong khoảng này.
C. Nếu lặp lại quá trình lấy mẫu nhiều lần, 95% các khoảng tin cậy được tạo ra sẽ chứa tham số thực.
D. Tham số thực bằng 95% giá trị trung bình của mẫu.
11. Chọn ngẫu nhiên một số thực x từ đoạn [0, 1]. Tính xác suất để $x^2 < \frac{1}{4}$.
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{8}$
D. 1
12. Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với bảng phân phối xác suất như sau: x | 1 | 2 | 3 P(X=x) | 0.2 | 0.5 | 0.3. Tính E(X^2).
13. Trong kiểm định giả thuyết, p-value là gì?
A. Xác suất giả thuyết null là đúng.
B. Xác suất mắc lỗi loại I.
C. Xác suất quan sát được kết quả (hoặc kết quả cực đoan hơn) nếu giả thuyết null là đúng.
D. Xác suất quan sát được kết quả (hoặc kết quả cực đoan hơn) nếu giả thuyết null là sai.
14. Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức B(n, p). Biết E(X) = 8 và Var(X) = 4.8. Tính n và p.
A. n = 20, p = 0.4
B. n = 16, p = 0.5
C. n = 12, p = 0.667
D. n = 10, p = 0.8
15. Cho hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập, với E(X) = 2, E(Y) = 3, Var(X) = 1, Var(Y) = 4. Tính Var(2X - Y).
16. Nếu A và B là hai biến cố xung khắc, khẳng định nào sau đây là đúng?
A. P(A \cap B) = P(A)P(B)
B. P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
C. P(A \cap B) = 0
D. P(A \cup B) = 1
17. Định nghĩa nào sau đây là đúng về phương sai của một biến ngẫu nhiên?
A. Giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên.
B. Căn bậc hai của độ lệch chuẩn.
C. Độ lệch chuẩn bình phương.
D. Trung vị của biến ngẫu nhiên.
18. Trong kiểm định giả thuyết, mức ý nghĩa (significance level) $\alpha$ là gì?
A. Xác suất chấp nhận giả thuyết null khi nó sai.
B. Xác suất bác bỏ giả thuyết null khi nó đúng.
C. Xác suất bác bỏ giả thuyết null khi nó sai.
D. Xác suất chấp nhận giả thuyết null khi nó đúng.
19. Trong phân phối chuẩn, khoảng nào sau đây chứa khoảng 95% dữ liệu?
A. $\mu \pm \sigma$
B. $\mu \pm 2\sigma$
C. $\mu \pm 3\sigma$
D. $\mu \pm 1.645\sigma$
20. Cho hai biến cố A và B độc lập. Biết P(A) = 0.4 và P(A \cup B) = 0.7. Tính P(B).
A. 0.3
B. 0.5
C. 0.4
D. 0.6
21. Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ lô hàng đó. Tính xác suất để trong 3 sản phẩm lấy ra có đúng 1 phế phẩm.
A. $\frac{7}{15}$
B. $\frac{1}{5}$
C. $\frac{2}{15}$
D. $\frac{3}{5}$
22. Giá trị trung bình của một mẫu là gì?
A. Giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu.
B. Tổng của tất cả các giá trị trong mẫu.
C. Giá trị nằm giữa của mẫu.
D. Tổng của tất cả các giá trị chia cho số lượng giá trị trong mẫu.
23. Điều kiện nào sau đây KHÔNG phải là điều kiện của phân phối nhị thức?
A. Số lượng thử nghiệm là cố định.
B. Các thử nghiệm là độc lập.
C. Xác suất thành công là như nhau cho mỗi thử nghiệm.
D. Các thử nghiệm phải có nhiều hơn hai kết quả có thể.
24. Cho biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối Poisson với tham số $\lambda$. Biết P(X = 0) = 0.2. Tính P(X = 1).
A. 0.2ln(5)
B. 0.8
C. 0.1
D. 0.4
25. Một đồng xu được tung 5 lần. Tính xác suất để có ít nhất một mặt ngửa.
A. $\frac{1}{32}$
B. $\frac{31}{32}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{5}{32}$
26. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất $f(x) = \frac{1}{\theta}$ khi $0 \le x \le \theta$ và $f(x) = 0$ khi x ngoài khoảng $[0, \theta]$. Tìm ước lượng hợp lý cực đại (MLE) của $\theta$ dựa trên một mẫu ngẫu nhiên $X_1, X_2, ..., X_n$.
A. $\overline{X}$
B. $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$
C. $\min(X_1, X_2, ..., X_n)$
D. $\max(X_1, X_2, ..., X_n)$
27. Phương pháp nào sau đây dùng để giảm phương sai của ước lượng?
A. Tăng kích thước mẫu.
B. Giảm kích thước mẫu.
C. Thay đổi phương pháp ước lượng.
D. Tăng mức ý nghĩa kiểm định.
28. Một hộp chứa 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 sản phẩm (không hoàn lại). Tính xác suất sản phẩm thứ hai là sản phẩm tốt.
A. 0.5
B. 0.6
C. 0.7
D. 0.8
29. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp {1, 2, ..., 20}. Tính xác suất số đó chia hết cho 3 hoặc 5.
A. $\frac{2}{5}$
B. $\frac{9}{20}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{11}{20}$
30. Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất $f(x) = \begin{cases} kx & 0 \le x \le 2 \\ 0 & otherwise \end{cases}$. Tìm giá trị của k.
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{2}$
C. 1
D. 2
