Bài tập, đề thi trắc nghiệm online Giải tích 3 – Đề 2

Ta tính tích phân theo $y$ trước, coi $x$ là hằng số.$$int_0^x (x+y), dy = left[ xy + frac{y^2}{2} right]_0^x = (x cdot x + frac{x^2}{2}) - (x cdot 0 + frac{0^2}{2}) = x^2 + frac{x^2}{2} = frac{3x^2}{2}$$.Sau đó, ta tính tích phân kết quả theo $x$.$$int_0^1 frac{3x^2}{2}, dx = frac{3}{2} int_0^1 x^2, dx = frac{3}{2} left[ frac{x^3}{3} right]_0^1 = frac{3}{2} left( frac{1^3}{3} - frac{0^3}{3} right) = frac{3}{2} cdot frac{1}{3} = frac{1}{2}$$.Kết luận Giải thích: $frac{1}{2}$.

Tham số hóa đoạn thẳng $C$: $vec{r}(t) = langle t, 2t rangle$ với $0 le t le 1$. $vec{r}'(t) = langle 1, 2 rangle$. $|vec{r}'(t)| = sqrt{1^2 + 2^2} = sqrt{5}$. $ds = sqrt{5},dt$. $f(x(t), y(t)) = t^2 + (2t)^2 = 5t^2$. Tích phân đường là $int_0^1 5t^2 sqrt{5},dt = 5sqrt{5} int_0^1 t^2,dt = 5sqrt{5} left[ frac{t^3}{3} right]_0^1 = frac{5sqrt{5}}{3}$. Kết luận Giải thích: Giá trị của tích phân đường là $frac{5sqrt{5}}{3}$.

Cho trường vector $vec{F} = langle P, Q, R rangle$, div$vec{F} = frac{partial P}{partial x} + frac{partial Q}{partial y} + frac{partial R}{partial z}$. $P = x^2y$, $Q = yz^2$, $R = zx^2$. $frac{partial P}{partial x} = 2xy$. $frac{partial Q}{partial y} = z^2$. $frac{partial R}{partial z} = x^2$. div$vec{F} = 2xy + z^2 + x^2$. Kết luận Giải thích: div$vec{F} = 2xy + z^2 + x^2$.

Tích phân được tính là $int_0^1 int_1^2 xy^2,dy,dx$. Tính tích phân theo $y$: $int_1^2 xy^2,dy = x left[ frac{y^3}{3} right]_1^2 = x left( frac{8}{3} - frac{1}{3} right) = frac{7}{3}x$. Tính tích phân theo $x$: $int_0^1 frac{7}{3}x,dx = frac{7}{3} left[ frac{x^2}{2} right]_0^1 = frac{7}{3} cdot frac{1}{2} = frac{7}{6}$. Kết luận Giải thích: Giá trị của tích phân là $frac{7}{6}$.

Trong tọa độ cầu, $z = rhocosphi$ và $dV = rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta$. Miền $E$ trong góc phần tám thứ nhất của hình cầu đơn vị được xác định bởi $0 le rho le 1$, $0 le phi le pi/2$, $0 le theta le pi/2$. Tích phân trở thành $int_0^{pi/2} int_0^{pi/2} int_0^1 (rhocosphi) rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta = int_0^{pi/2} int_0^{pi/2} int_0^1 rho^3sinphicosphi,drho,dphi,dtheta$. Kết luận Giải thích: Tích phân sau khi chuyển đổi là $int_0^{pi/2} int_0^{pi/2} int_0^1 rho^3sinphicosphi,drho,dphi,dtheta$.

Vector gradient $nabla f$ được tính bằng cách lấy đạo hàm riêng của $f$ theo từng biến:$$nabla f = left( frac{partial f}{partial x}, frac{partial f}{partial y}, frac{partial f}{partial z} right)$$.$frac{partial f}{partial x} = frac{partial}{partial x}(x^2 y + yz^3) = 2xy$.$frac{partial f}{partial y} = frac{partial}{partial y}(x^2 y + yz^3) = x^2 + z^3$.$frac{partial f}{partial z} = frac{partial}{partial z}(x^2 y + yz^3) = 3yz^2$.Vậy $nabla f = (2xy, x^2 + z^3, 3yz^2)$.Tại điểm $(1, 2, -1)$:$frac{partial f}{partial x}(1, 2, -1) = 2(1)(2) = 4$.$frac{partial f}{partial y}(1, 2, -1) = (1)^2 + (-1)^3 = 1 - 1 = 0$.$frac{partial f}{partial z}(1, 2, -1) = 3(2)(-1)^2 = 6(1) = 6$.Kết luận Giải thích: $(4, 0, 6)$.

Gradient của hàm $f$ là $nabla f = leftlangle frac{partial f}{partial x}, frac{partial f}{partial y}, frac{partial f}{partial z} rightrangle$. $frac{partial f}{partial x} = 2xy + z^2$. $frac{partial f}{partial y} = x^2 + 2yz$. $frac{partial f}{partial z} = y^2 + 2zx$. Tại điểm $(1, 2, 3)$: $frac{partial f}{partial x}(1, 2, 3) = 2(1)(2) + 3^2 = 13$. $frac{partial f}{partial y}(1, 2, 3) = 1^2 + 2(2)(3) = 13$. $frac{partial f}{partial z}(1, 2, 3) = 2^2 + 2(3)(1) = 10$. Gradient tại $(1, 2, 3)$ là $langle 13, 13, 10 rangle$. Kết luận Giải thích: Gradient của hàm số tại điểm đó là $langle 13, 13, 10 rangle$.

Đoạn thẳng $C$ nối $(0,0)$ đến $(1,0)$ có thể được tham số hóa bởi $x(t) = t$, $y(t) = 0$ với $0 le t le 1$.Ta cần tính yếu tố vi phân độ dài $ds$.$x'(t) = 1$, $y'(t) = 0$.$ds = sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}, dt = sqrt{1^2 + 0^2}, dt = sqrt{1}, dt = dt$.Hàm $f(x,y) = x+y$ trên đường cong $C$ trở thành $f(x(t), y(t)) = t+0 = t$.Tích phân đường trở thành tích phân xác định theo $t$:$$int_C (x+y), ds = int_0^1 f(x(t), y(t)), ds = int_0^1 t, dt$$$$int_0^1 t, dt = left[ frac{t^2}{2} right]_0^1 = frac{1^2}{2} - frac{0^2}{2} = frac{1}{2}$$.Kết luận Giải thích: $frac{1}{2}$.

Để tính đạo hàm riêng $frac{partial f}{partial x}$, ta coi $y$ là hằng số và lấy đạo hàm theo $x$. Ta có $f(x, y) = x^3y^2 + sin(xy)$.n$frac{partial f}{partial x} = frac{partial}{partial x}(x^3y^2) + frac{partial}{partial x}(sin(xy))$.n$frac{partial}{partial x}(x^3y^2) = y^2 frac{partial}{partial x}(x^3) = y^2 (3x^2) = 3x^2y^2$.n$frac{partial}{partial x}(sin(xy)) = cos(xy) frac{partial}{partial x}(xy) = cos(xy) (y) = ycos(xy)$.nDo đó, $frac{partial f}{partial x} = 3x^2y^2 + ycos(xy)$.nKết luận Giải thích: $3x^2y^2 + ycos(xy)$

Curl của trường vector $vec{F} = Pvec{i} + Qvec{j} + Rvec{k}$ được tính bằng định thức:n$text{curl}(vec{F}) = nabla times vec{F} = begin{vmatrix} vec{i} & vec{j} & vec{k} \ frac{partial}{partial x} & frac{partial}{partial y} & frac{partial}{partial z} \ P & Q & R end{vmatrix}$.nTrong trường hợp này, $P=x^2$, $Q=yz$, $R=xy$.n$text{curl}(vec{F}) = vec{i} left(frac{partial R}{partial y} - frac{partial Q}{partial z}right) - vec{j} left(frac{partial R}{partial x} - frac{partial P}{partial z}right) + vec{k} left(frac{partial Q}{partial x} - frac{partial P}{partial y}right)$.nTính các đạo hàm riêng:n$frac{partial R}{partial y} = frac{partial}{partial y}(xy) = x$.n$frac{partial Q}{partial z} = frac{partial}{partial z}(yz) = y$.n$frac{partial R}{partial x} = frac{partial}{partial x}(xy) = y$.n$frac{partial P}{partial z} = frac{partial}{partial z}(x^2) = 0$.n$frac{partial Q}{partial x} = frac{partial}{partial x}(yz) = 0$.n$frac{partial P}{partial y} = frac{partial}{partial y}(x^2) = 0$.nThay vào công thức curl:n$text{curl}(vec{F}) = vec{i} (x - y) - vec{j} (y - 0) + vec{k} (0 - 0) = (x-y)vec{i} - yvec{j} + 0vec{k}$.nKết luận Giải thích: $(x-y)vec{i} - yvec{j} + 0vec{k}$

Đạo hàm theo hướng của hàm $f$ tại điểm $P$ theo hướng của vector $vec{v}$ được tính bằng $D_{vec{u}} f(P) = nabla f(P) cdot vec{u}$, trong đó $nabla f$ là gradient của $f$ và $vec{u}$ là vector đơn vị theo hướng $vec{v}$.nTrước hết, tính gradient của $f(x, y) = x^2y$:$nnabla f = leftlangle frac{partial f}{partial x}, frac{partial f}{partial y} rightrangle = leftlangle frac{partial}{partial x}(x^2y), frac{partial}{partial y}(x^2y) rightrangle = langle 2xy, x^2 rangle$.nTính gradient tại điểm $P(1, 2)$:$nnabla f(1, 2) = langle 2(1)(2), 1^2 rangle = langle 4, 1 rangle$.nTiếp theo, tìm vector đơn vị $vec{u}$ theo hướng của $vec{v} = langle 3, 4 rangle$:$n|vec{v}| = sqrt{3^2 + 4^2} = sqrt{9 + 16} = sqrt{25} = 5$.n$vec{u} = frac{vec{v}}{|vec{v}|} = frac{langle 3, 4 rangle}{5} = leftlangle frac{3}{5}, frac{4}{5} rightrangle$.nCuối cùng, tính đạo hàm theo hướng:n$D_{vec{u}} f(1, 2) = nabla f(1, 2) cdot vec{u} = langle 4, 1 rangle cdot leftlangle frac{3}{5}, frac{4}{5} rightrangle = (4)left(frac{3}{5}right) + (1)left(frac{4}{5}right) = frac{12}{5} + frac{4}{5} = frac{16}{5}$.nKết luận Giải thích: $frac{16}{5}$

Để tính đạo hàm riêng $frac{partial f}{partial x}$, ta coi $y$ là hằng số và lấy đạo hàm theo $x$.$frac{partial f}{partial x} = frac{partial}{partial x}(x^2 y^3 + sin(xy)) = frac{partial}{partial x}(x^2 y^3) + frac{partial}{partial x}(sin(xy))$ pariet $y^3 frac{partial}{partial x}(x^2) + cos(xy) frac{partial}{partial x}(xy)$ pariet $y^3 (2x) + cos(xy) (y)$ pariet $2xy^3 + ycos(xy)$.Kết luận Giải thích: $2xy^3 + ycos(xy)$.

Tích phân kép trên miền chữ nhật $R = [a, b] times [c, d]$ được tính bằng tích phân lặp:n$iint_R f(x, y) , dA = int_a^b int_c^d f(x, y) , dy , dx$.nTrong trường hợp này, $f(x, y) = xy^2$, $a=0$, $b=1$, $c=1$, $d=2$.nTa tính tích phân theo $y$ trước:n$int_1^2 xy^2 , dy$. Coi $x$ là hằng số.n$int_1^2 xy^2 , dy = x int_1^2 y^2 , dy = x left[frac{y^3}{3}right]_1^2 = x left(frac{2^3}{3} - frac{1^3}{3}right) = x left(frac{8}{3} - frac{1}{3}right) = x left(frac{7}{3}right) = frac{7}{3}x$.nTiếp theo, tính tích phân theo $x$:n$int_0^1 frac{7}{3}x , dx = frac{7}{3} int_0^1 x , dx = frac{7}{3} left[frac{x^2}{2}right]_0^1 = frac{7}{3} left(frac{1^2}{2} - frac{0^2}{2}right) = frac{7}{3} left(frac{1}{2}right) = frac{7}{6}$.nKết luận Giải thích: $frac{7}{6}$

Độ phân kỳ của trường vector $vec{F}(P, Q, R) = (P, Q, R)$ được tính bằng công thức $nabla cdot vec{F} = frac{partial P}{partial x} + frac{partial Q}{partial y} + frac{partial R}{partial z}$.Ở đây, $P = xz$, $Q = xyz$, $R = -y^2$.$frac{partial P}{partial x} = frac{partial}{partial x}(xz) = z$.$frac{partial Q}{partial y} = frac{partial}{partial y}(xyz) = xz$.$frac{partial R}{partial z} = frac{partial}{partial z}(-y^2) = 0$.Vậy $nabla cdot vec{F} = z + xz + 0 = z + xz$.Kết luận Giải thích: $z + xz$.

Đoạn thẳng $C$ từ $(0, 0)$ đến $(1, 0)$ có thể được tham số hóa bằng $vec{r}(t) = (1-t)(0, 0) + t(1, 0) = (t, 0)$ với $0 le t le 1$.nKhi đó, $x(t) = t$ và $y(t) = 0$.nVector đạo hàm $vec{r}'(t) = frac{d}{dt}langle t, 0 rangle = langle 1, 0 rangle$.nĐộ dài vi phân cung $ds = |vec{r}'(t)| , dt = |langle 1, 0 rangle| , dt = sqrt{1^2 + 0^2} , dt = 1 , dt.nThe integrand $x+y$ trên đường cong $C$ trở thành $x(t)+y(t) = t+0 = t$.nTích phân đường trở thành tích phân xác định theo $t$:n$int_C (x+y) , ds = int_0^1 (t) (1) , dt = int_0^1 t , dt$.n$int_0^1 t , dt = left[frac{t^2}{2}right]_0^1 = frac{1^2}{2} - frac{0^2}{2} = frac{1}{2} - 0 = frac{1}{2}$.nKết luận Giải thích: $frac{1}{2}$