[Chân trời] Trắc nghiệm Toán học 10 bài 2 Định lý côsin và định lý sin

1. Cho tam giác ABC có $a=3$, $b=4$, $c=5$. Tính độ dài đường trung tuyến $m_b$.

A. $m_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4} = \frac{2(3^2) + 2(5^2) - 4^2}{4} = \frac{18 + 50 - 16}{4} = \frac{52}{4} = 13$. $m_b = \sqrt{13}$.

B. $m_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4} = \frac{2(3^2) + 2(5^2) - 4^2}{4} = \frac{18 + 50 - 16}{4} = \frac{52}{4} = 13$. $m_b = \sqrt{13}$.

C. $m_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4} = \frac{2(3^2) + 2(5^2) - 4^2}{4} = \frac{18 + 50 - 16}{4} = \frac{52}{4} = 13$. $m_b = \sqrt{13}$.

D. $m_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4} = \frac{2(3^2) + 2(5^2) - 4^2}{4} = \frac{18 + 50 - 16}{4} = \frac{52}{4} = 13$. $m_b = \sqrt{13}$.

2. Cho tam giác ABC, $a=5$, $b=6$, $c=7$. Tính độ dài đường cao $h_c$.

A. Ta cần tính diện tích tam giác. Nửa chu vi $s = \frac{5+6+7}{2} = 9$. Diện tích $S = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 imes 4 imes 3 imes 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}$. Ta có $S = \frac{1}{2} c h_c$. Suy ra $h_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 imes 6\sqrt{6}}{7} = \frac{12\sqrt{6}}{7}$.

B. Ta cần tính diện tích tam giác. Nửa chu vi $s = \frac{5+6+7}{2} = 9$. Diện tích $S = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 imes 4 imes 3 imes 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}$. Ta có $S = \frac{1}{2} c h_c$. Suy ra $h_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 imes 6\sqrt{6}}{7} = \frac{12\sqrt{6}}{7}$.

C. Ta cần tính diện tích tam giác. Nửa chu vi $s = \frac{5+6+7}{2} = 9$. Diện tích $S = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 imes 4 imes 3 imes 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}$. Ta có $S = \frac{1}{2} c h_c$. Suy ra $h_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 imes 6\sqrt{6}}{7} = \frac{12\sqrt{6}}{7}$.

D. Ta cần tính diện tích tam giác. Nửa chu vi $s = \frac{5+6+7}{2} = 9$. Diện tích $S = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 imes 4 imes 3 imes 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}$. Ta có $S = \frac{1}{2} c h_c$. Suy ra $h_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 imes 6\sqrt{6}}{7} = \frac{12\sqrt{6}}{7}$.

3. Định lý sin trong tam giác ABC cho phép ta thiết lập mối quan hệ nào giữa các cạnh và góc đối diện của tam giác?

A. Tỷ số giữa cạnh và sin của góc đối diện là không đổi và bằng đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

B. Tỷ số giữa cạnh và cos của góc đối diện là không đổi và bằng đường kính đường tròn nội tiếp tam giác.

C. Tỷ số giữa cạnh và tan của góc đối diện là không đổi và bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

D. Tỷ số giữa cạnh bình phương và sin của góc đối diện là không đổi và bằng đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

4. Định lý côsin có thể được áp dụng để giải quyết loại bài toán nào trong tam giác?

A. Chỉ để tính độ dài ba cạnh khi biết hai cạnh và góc xen giữa.

B. Để tìm độ dài một cạnh khi biết hai cạnh và góc xen giữa, hoặc để tìm số đo một góc khi biết độ dài ba cạnh.

C. Để tìm độ dài một cạnh khi biết một cạnh và hai góc kề.

D. Để tính diện tích tam giác khi biết ba góc.

5. Cho tam giác ABC với $a=10$, $b=12$, $c=14$. Tính giá trị của $\cos C$.

A. $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{10^2 + 12^2 - 14^2}{2 imes 10 imes 12} = \frac{100 + 144 - 196}{240} = \frac{48}{240} = \frac{1}{5}$

B. $\cos C = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{10^2 + 14^2 - 12^2}{2 imes 10 imes 14} = \frac{100 + 196 - 144}{280} = \frac{152}{280} = \frac{19}{35}$

C. $\cos C = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{12^2 + 14^2 - 10^2}{2 imes 12 imes 14} = \frac{144 + 196 - 100}{336} = \frac{240}{336} = \frac{5}{7}$

D. $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{10^2 + 12^2 - 14^2}{2 imes 10 imes 12} = \frac{100 + 144 - 196}{240} = \frac{48}{240} = \frac{1}{5}$

6. Cho tam giác ABC có $a=10$, $b=12$, $\sin A = \frac{1}{3}$. Tính $\sin B$.

A. $\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{12 \times \frac{1}{3}}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

B. $\sin B = \frac{a \sin A}{b} = \frac{10 \times \frac{1}{3}}{12} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$

C. $\sin B = \frac{a \sin A}{b} = \frac{10 \times \frac{1}{3}}{12} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$

D. $\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{12 \times \frac{1}{3}}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

7. Cho tam giác ABC có $a=5$, $b=7$, $c=8$. Tính diện tích tam giác.

A. Nửa chu vi $s = \frac{5+7+8}{2} = 10$. Diện tích $S = \sqrt{10(10-5)(10-7)(10-8)} = \sqrt{10 imes 5 imes 3 imes 2} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$.

B. Nửa chu vi $s = \frac{5+7+8}{2} = 10$. Diện tích $S = \sqrt{10(10-5)(10-7)(10-8)} = \sqrt{10 imes 5 imes 3 imes 2} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$.

C. Nửa chu vi $s = \frac{5+7+8}{2} = 10$. Diện tích $S = \sqrt{10(10-5)(10-7)(10-8)} = \sqrt{10 imes 5 imes 3 imes 2} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$.

D. Nửa chu vi $s = \frac{5+7+8}{2} = 10$. Diện tích $S = \sqrt{10(10-5)(10-7)(10-8)} = \sqrt{10 imes 5 imes 3 imes 2} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$.

8. Cho tam giác ABC, $a=2$, $b=3$, $c=4$. Tính giá trị của $\cos B$.

A. $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{2^2 + 4^2 - 3^2}{2 imes 2 imes 4} = \frac{4 + 16 - 9}{16} = \frac{11}{16}$

B. $\cos B = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{2^2 + 3^2 - 4^2}{2 imes 2 imes 3} = \frac{4 + 9 - 16}{12} = \frac{-3}{12} = -\frac{1}{4}$

C. $\cos B = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{3^2 + 4^2 - 2^2}{2 imes 3 imes 4} = \frac{9 + 16 - 4}{24} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$

D. $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{2^2 + 4^2 - 3^2}{2 imes 2 imes 4} = \frac{4 + 16 - 9}{16} = \frac{11}{16}$

9. Cho tam giác ABC có $a=3$, $b=4$, $c=5$. Tính giá trị của $\cos A$.

A. $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{4^2 + 5^2 - 3^2}{2 imes 4 imes 5} = \frac{16 + 25 - 9}{40} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5}$

B. $\cos A = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{3^2 + 4^2 - 5^2}{2 imes 3 imes 4} = \frac{9 + 16 - 25}{24} = \frac{0}{24} = 0$

C. $\cos A = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{3^2 + 5^2 - 4^2}{2 imes 3 imes 5} = \frac{9 + 25 - 16}{30} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$

D. $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{4^2 + 5^2 - 3^2}{2 imes 4 imes 5} = \frac{16 + 25 - 9}{40} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5}$

10. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh lần lượt là $a=3$, $b=5$, $c=7$. Tính diện tích tam giác.

A. Nửa chu vi $s = \frac{3+5+7}{2} = \frac{15}{2}$. Diện tích $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{15}{2}(\frac{15}{2}-3)(\frac{15}{2}-5)(\frac{15}{2}-7)} = \sqrt{\frac{15}{2} imes \frac{9}{2} imes \frac{5}{2} imes \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{675}{16}} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

B. Nửa chu vi $s = \frac{3+5+7}{2} = \frac{15}{2}$. Diện tích $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{15}{2}(\frac{15}{2}-3)(\frac{15}{2}-5)(\frac{15}{2}-7)} = \sqrt{\frac{15}{2} imes \frac{9}{2} imes \frac{5}{2} imes \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{675}{16}} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

C. Nửa chu vi $s = \frac{3+5+7}{2} = \frac{15}{2}$. Diện tích $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{15}{2}(\frac{15}{2}-3)(\frac{15}{2}-5)(\frac{15}{2}-7)} = \sqrt{\frac{15}{2} imes \frac{9}{2} imes \frac{5}{2} imes \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{675}{16}} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

D. Nửa chu vi $s = \frac{3+5+7}{2} = \frac{15}{2}$. Diện tích $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{15}{2}(\frac{15}{2}-3)(\frac{15}{2}-5)(\frac{15}{2}-7)} = \sqrt{\frac{15}{2} imes \frac{9}{2} imes \frac{5}{2} imes \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{675}{16}} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

11. Tam giác ABC có $a=2$, $b=3$, $c=4$. Tính $\cos C$.

A. $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{2^2 + 3^2 - 4^2}{2 imes 2 imes 3} = \frac{4 + 9 - 16}{12} = \frac{-3}{12} = -\frac{1}{4}$.

B. $\cos C = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{2^2 + 4^2 - 3^2}{2 imes 2 imes 4} = \frac{4 + 16 - 9}{16} = \frac{11}{16}$.

C. $\cos C = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{3^2 + 4^2 - 2^2}{2 imes 3 imes 4} = \frac{9 + 16 - 4}{24} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$.

D. $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{2^2 + 3^2 - 4^2}{2 imes 2 imes 3} = \frac{4 + 9 - 16}{12} = \frac{-3}{12} = -\frac{1}{4}$.

12. Cho tam giác ABC có $a=10$, $b=10$. Nếu $\sin A = \frac{3}{5}$, tính $\sin B$.

A. Vì $a=b=10$, tam giác ABC cân tại C. Do đó, góc A bằng góc B. Vậy $\sin B = \sin A = \frac{3}{5}$.

B. Theo Định lý sin, $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$. Vì $a=b$, nên $\sin A = \sin B$. Do $\sin A = \frac{3}{5}$, suy ra $\sin B = \frac{3}{5}$.

C. Vì $a=b=10$, tam giác ABC cân tại C. Do đó, góc A bằng góc B. Vậy $\sin B = \sin A = \frac{3}{5}$.

D. Theo Định lý sin, $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$. Vì $a=b$, nên $\sin A = \sin B$. Do $\sin A = \frac{3}{5}$, suy ra $\sin B = \frac{3}{5}$.

13. Cho tam giác ABC, $a=4$, $b=5$, $c=6$. Tính giá trị của $\cos A$.

A. $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{5^2 + 6^2 - 4^2}{2 imes 5 imes 6} = \frac{25 + 36 - 16}{60} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$

B. $\cos A = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{4^2 + 6^2 - 5^2}{2 imes 4 imes 6} = \frac{16 + 36 - 25}{48} = \frac{27}{48} = \frac{9}{16}$

C. $\cos A = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{4^2 + 5^2 - 6^2}{2 imes 4 imes 5} = \frac{16 + 25 - 36}{40} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$

D. $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{5^2 + 6^2 - 4^2}{2 imes 5 imes 6} = \frac{25 + 36 - 16}{60} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$

14. Cho tam giác ABC với độ dài ba cạnh lần lượt là $a=7$, $b=8$, $c=5$. Tính độ dài đường trung tuyến $m_a$ ứng với cạnh $a$.

A. $m_a = \sqrt{\frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}} = \sqrt{\frac{2(8^2) + 2(5^2) - 7^2}{4}} = \sqrt{\frac{128 + 50 - 49}{4}} = \sqrt{\frac{129}{4}} = \frac{\sqrt{129}}{2}$

B. $m_a = \sqrt{\frac{a^2 + 2b^2 + 2c^2}{4}} = \sqrt{\frac{7^2 + 2(8^2) + 2(5^2)}{4}} = \sqrt{\frac{49 + 128 + 50}{4}} = \sqrt{\frac{227}{4}} = \frac{\sqrt{227}}{2}$

C. $m_a = \sqrt{\frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}} = \sqrt{\frac{2(7^2) + 2(8^2) - 5^2}{4}} = \sqrt{\frac{98 + 128 - 25}{4}} = \sqrt{\frac{201}{4}} = \frac{\sqrt{201}}{2}$

D. $m_a = \sqrt{\frac{2b^2 + 2c^2 + a^2}{4}} = \sqrt{\frac{2(8^2) + 2(5^2) + 7^2}{4}} = \sqrt{\frac{128 + 50 + 49}{4}} = \sqrt{\frac{227}{4}} = \frac{\sqrt{227}}{2}$

15. Cho tam giác ABC, $a=6$, $b=8$, $c=10$. Tam giác này thuộc loại tam giác gì?

A. Tam giác cân

B. Tam giác đều

C. Tam giác vuông

D. Tam giác tù