1. Cho $z = f(x, y)$, với $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$. Tính $\frac{\partial z}{\partial r}$.
A. $\frac{\partial z}{\partial x} \cos \theta + \frac{\partial z}{\partial y} \sin \theta$
B. $\frac{\partial z}{\partial x} \sin \theta + \frac{\partial z}{\partial y} \cos \theta$
C. $\frac{\partial z}{\partial x} r \cos \theta + \frac{\partial z}{\partial y} r \sin \theta$
D. $\frac{\partial z}{\partial x} \cos \theta - \frac{\partial z}{\partial y} \sin \theta$
2. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^{\infty} n! x^n$.
A. $0$
B. $1$
C. $\infty$
D. $e$
3. Tìm cực trị của hàm $f(x,y) = x^2 + y^2 -2x - 4y + 5$.
A. Hàm số đạt cực tiểu tại (1,2)
B. Hàm số đạt cực đại tại (1,2)
C. Hàm số không có cực trị
D. Hàm số đạt cực tiểu tại (-1,-2)
4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = x$.
A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $1$
5. Tính tích phân đường loại 2: $\int_C (x^2 + y^2)dx + 2xydy$ với C là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$ lấy theo chiều dương.
A. 0
B. $\pi$
C. $2\pi$
D. 1
6. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x^3 - 3x$ trên đoạn $[-2, 3]$.
A. $2$
B. $18$
C. $-2$
D. $-18$
7. Tính định thức của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$.
A. $2$
B. $-2$
C. $10$
D. $-10$
8. Tìm gradient của hàm số $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$ tại điểm $(1, 1, 1)$.
A. $(1, 1, 1)$
B. $(2, 2, 2)$
C. $(3, 3, 3)$
D. $(0, 0, 0)$
9. Tính tích phân $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx$.
A. $1$
B. $\sqrt{\pi}$
C. $\pi$
D. $2\sqrt{\pi}$
10. Tìm đạo hàm của hàm số $y = \ln(\sin x)$.
A. $\cot x$
B. $\tan x$
C. $\frac{1}{\sin x}$
D. $\frac{1}{\cos x}$
11. Giải hệ phương trình tuyến tính $\begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases}$.
A. $x = 1, y = 2$
B. $x = 2, y = 1$
C. $x = 2, y = 2$
D. $x = 1, y = 1$
12. Cho hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$. Tìm vi phân toàn phần của hàm số.
A. $df = 2x dx + 2y dy$
B. $df = x dx + y dy$
C. $df = dx + dy$
D. $df = x^2 dx + y^2 dy$
13. Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng $x + y + z = 1$.
A. $(1, 1, 1)$
B. $(1, 0, 0)$
C. $(0, 1, 0)$
D. $(0, 0, 1)$
14. Tính $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2 + 1}$.
A. $0$
B. $1$
C. $\infty$
D. Không tồn tại
15. Tính tích phân $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} xy \, dy \, dx$.
A. $\frac{1}{8}$
B. $\frac{1}{6}$
C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{1}{2}$
16. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm điểm dừng của hàm số.
A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$
B. $(0, 1)$ và $(1, 0)$
C. $(0, 0)$ và $(-1, -1)$
D. $(1, 1)$ và $(-1, -1)$
17. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$.
A. Cực đại tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
B. Cực tiểu tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
C. Cực đại tại $(1, 0)$
D. Cực tiểu tại $(0, 1)$
18. Tính đạo hàm của hàm số $f(x, y) = x^2y + xy^2$ tại điểm $(1, 1)$ theo hướng $\vec{v} = (1, 1)$.
A. $2\sqrt{2}$
B. $3\sqrt{2}$
C. $4\sqrt{2}$
D. $\sqrt{2}$
19. Giải phương trình vi phân $y` + y = e^{-x}$.
A. $y = (x + C)e^{-x}$
B. $y = xe^{-x} + C$
C. $y = e^{-x} + Cx$
D. $y = (C - x)e^{-x}$
20. Tính $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$.
A. $0$
B. $1$
C. $\infty$
D. Không tồn tại
21. Tính tích phân đường $\int_C x \, ds$, với $C$ là đoạn thẳng nối $(0, 0)$ và $(1, 1)$.
A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
B. $\sqrt{2}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $1$
22. Tìm nghiệm của phương trình $y` = y$.
A. $y = Ce^x$
B. $y = Cx$
C. $y = C$
D. $y = e^x + C$
23. Tìm eigenvalue của ma trận $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.
A. $1$ và $2$
B. $1$ và $3$
C. $2$ và $3$
D. $-1$ và $-3$
24. Cho hàm số $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tính $\frac{\partial f}{\partial x}$ tại điểm $(0, 0)$.
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $e$
25. Tìm hạng của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$.
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $3$
26. Tìm miền hội tụ của chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$.
A. $(-1, 1)$
B. $[-1, 1)$
C. $(-1, 1]$
D. $[-1, 1]$
27. Tính tích phân bội hai $\iint_D (x + y) \, dA$, với $D = [0, 1] \times [0, 1]$.
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $\frac{1}{2}$
28. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y`` + y = 0$.
A. $y = C_1 \cos x + C_2 \sin x$
B. $y = C_1 e^x + C_2 e^{-x}$
C. $y = C_1 x + C_2$
D. $y = C_1 \cos x - C_2 \sin x$
29. Tính tích phân $\int \frac{1}{x} dx$.
A. $\ln |x| + C$
B. $-\frac{1}{x^2} + C$
C. $x + C$
D. $\frac{1}{x^2} + C$
30. Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x}) & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$. Tính $f`(0)$.
A. $0$
B. $1$
C. $\infty$
D. Không tồn tại
