Đề 7 – Đề thi, câu hỏi trắc nghiệm online Toán cao cấp 2

1. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$.

A. Cực tiểu tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

B. Cực đại tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

C. Cực tiểu tại $(1, 0)$

D. Cực đại tại $(1, 0)$

2. Tính $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} x^2 + y^2 dy dx$.

A. $\frac{7}{15}$

B. $\frac{2}{5}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{1}{2}$

3. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.

A. $(0, 0), (1, 1)$

B. $(0, 0), (-1, -1)$

C. $(1, 1), (-1, -1)$

D. $(0, 0), (1, 0)$

4. Tìm nghiệm của phương trình $y' + y = 0$, $y(0) = 1$.

A. $y = e^{-x}$

B. $y = e^{x}$

C. $y = \cos(x)$

D. $y = \sin(x)$

5. Giải phương trình vi phân $y' = \frac{x}{y}$.

A. $y^2 = x^2 + C$

B. $y = x + C$

C. $y^2 = -x^2 + C$

D. $y = -x + C$

6. Tìm vi phân toàn phần của hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$.

A. $(3x^2 - 3y)dx + (3y^2 - 3x)dy$

B. $(3x^2 + 3y)dx + (3y^2 + 3x)dy$

C. $(x^2 - y)dx + (y^2 - x)dy$

D. $(x^2 + y)dx + (y^2 + x)dy$

7. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình $y'' + y = 0$.

A. $y = c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x)$

B. $y = c_1 e^x + c_2 e^{-x}$

C. $y = c_1 e^x + c_2 x e^x$

D. $y = c_1 \cos(x) + c_2 x \cos(x)$

8. Cho $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$. Tính định thức của $A$.

A. $-2$

B. $2$

C. $-10$

D. $10$

9. Giải phương trình vi phân $y'' + y = \sin(x)$.

A. $y = c_1\cos(x) + c_2\sin(x) - \frac{1}{2}x\cos(x)$

B. $y = c_1\cos(x) + c_2\sin(x) + \frac{1}{2}x\cos(x)$

C. $y = c_1\cos(x) + c_2\sin(x) - \frac{1}{2}x\sin(x)$

D. $y = c_1\cos(x) + c_2\sin(x) + \frac{1}{2}x\sin(x)$

10. Cho $\vec{a} = (1, 2, -1)$ và $\vec{b} = (2, -1, 1)$. Tính tích có hướng $\vec{a} \times \vec{b}$.

A. $(1, -3, -5)$

B. $(1, 3, 5)$

C. $(1, 3, -5)$

D. $(1, -3, 5)$

11. Tính tích phân $\int_0^{\infty} e^{-x^2} dx$.

A. $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

B. $\sqrt{\pi}$

C. $\frac{\pi}{2}$

D. $\pi$

12. Tính tích phân đường $\int_C x dy - y dx$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$ đi ngược chiều kim đồng hồ.

A. $-2\pi$

B. $2\pi$

C. $\pi$

D. $-\pi$

13. Tìm eigenvalue của ma trận $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.

A. $1, 3$

B. $-1, -3$

C. $1, -3$

D. $-1, 3$

14. Tìm gradient của hàm số $f(x, y) = x^2 + xy + y^2$ tại điểm $(1, 1)$.

A. $(3, 3)$

B. $(1, 1)$

C. $(2, 2)$

D. $(0, 0)$

15. Cho hàm số $f(x, y) = \ln(x^2 + y^2)$. Tính $\frac{\partial f}{\partial x}$.

A. $\frac{2x}{x^2 + y^2}$

B. $\frac{2y}{x^2 + y^2}$

C. $\frac{x}{x^2 + y^2}$

D. $\frac{y}{x^2 + y^2}$

16. Tính tích phân $\int \int_D (x + y) dA$, với $D$ là miền giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 4$.

A. $\frac{256}{5}$

B. $\frac{128}{5}$

C. $\frac{64}{5}$

D. $\frac{32}{5}$

17. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y'' - 4y' + 4y = 0$.

A. $y = c_1e^{2x} + c_2xe^{2x}$

B. $y = c_1e^{2x} + c_2e^{-2x}$

C. $y = c_1\cos(2x) + c_2\sin(2x)$

D. $y = c_1e^{-2x} + c_2xe^{-2x}$

18. Cho hàm số $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tính đạo hàm theo hướng $\vec{v} = (1, 1)$ tại điểm $(0, 0)$.

A. $0$

B. $\sqrt{2}$

C. $2\sqrt{2}$

D. $1$

19. Cho $f(x, y) = x^2 + y^2$. Tính $df$ tại $(1, 2)$.

A. $2dx + 4dy$

B. $dx + 2dy$

C. $4dx + 2dy$

D. $4dx + 4dy$

20. Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính sau: $\begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases}$

A. $(2, 1)$

B. $(1, 2)$

C. $(0, 3)$

D. $(3, 0)$

21. Cho hàm số $f(x, y) = x^2y$. Tính đạo hàm hỗn hợp $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.

A. $2x$

B. $x^2$

C. $2y$

D. $y^2$

22. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 2x$.

A. $\frac{4}{3}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{5}{3}$

23. Tìm đạo hàm riêng $\frac{\partial z}{\partial x}$ của hàm số $z = x^2y + \sin(xy)$.

A. $2xy + y\cos(xy)$

B. $x^2 + y\cos(xy)$

C. $2xy + x\cos(xy)$

D. $x^2 + x\cos(xy)$

24. Giải phương trình vi phân $y' + 2y = e^{-x}$.

A. $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$

B. $y = e^{-x} + Ce^{2x}$

C. $y = e^{x} + Ce^{-2x}$

D. $y = e^{x} + Ce^{2x}$

25. Tính tích phân $\int_{0}^{\pi} \sin^2(x) dx$.

A. $\frac{\pi}{2}$

B. $\pi$

C. $\frac{\pi}{4}$

D. $0$

26. Tính $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$.

A. $1$

B. $0$

C. $\infty$

D. Không tồn tại

27. Tính giới hạn $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2y}{x^4 + y^2}$.

A. Không tồn tại

B. 0

C. 1

D. $\infty$

28. Tìm hạng của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$.

A. $1$

B. $2$

C. $3$

D. $0$

29. Tìm cực trị của hàm $f(x) = x^3 - 3x$.

A. Cực đại tại $x = -1$, cực tiểu tại $x = 1$

B. Cực đại tại $x = 1$, cực tiểu tại $x = -1$

C. Cực đại tại $x = 0$, cực tiểu tại $x = 2$

D. Cực đại tại $x = 2$, cực tiểu tại $x = 0$

30. Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng $2x - y + 3z = 5$.

A. $(2, -1, 3)$

B. $(2, 1, 3)$

C. $(2, -1, -3)$

D. $\frac{1}{\sqrt{14}}(2, -1, 3)$