Đề 4 – Đề thi, câu hỏi trắc nghiệm online Toán cao cấp 2

1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 2x$.

A. $\frac{4}{3}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $1$

D. $\frac{5}{3}$

2. Tính $\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx$.

A. $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

B. $\sqrt{\pi}$

C. $\frac{\pi}{2}$

D. $\pi$

3. Cho hàm số $f(x,y) = x^3 + y^3$. Tính vi phân toàn phần của hàm số.

A. $df = 3x^2 dx + 3y^2 dy$

B. $df = x^2 dx + y^2 dy$

C. $df = 3x dx + 3y dy$

D. $df = x dx + y dy$

4. Tìm giới hạn $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y}{x^4 + y^2}$.

A. Không tồn tại

B. $0$

C. $1$

D. $\infty$

5. Cho $f(x, y) = x^2y + xy^2$. Tính $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.

A. $2x + 2y$

B. $2x - 2y$

C. $x + y$

D. $x - y$

6. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y' = xy$.

A. $y = Ce^{\frac{x^2}{2}}$

B. $y = Ce^{-\frac{x^2}{2}}$

C. $y = Cx^2$

D. $y = Ce^x$

7. Giải phương trình vi phân $y' + 2y = e^{-x}$.

A. $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$

B. $y = e^{x} + Ce^{2x}$

C. $y = e^{-2x} + Ce^{-x}$

D. $y = e^{2x} + Ce^{x}$

8. Tính tích phân đường $\int_{C} x dy - y dx$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$ đi ngược chiều kim đồng hồ.

A. $-2\pi$

B. $2\pi$

C. $\pi$

D. $-\pi$

9. Giải phương trình $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ theo tọa độ cầu.

A. $(\rho, \theta, \phi)$ với $0 \le \rho \le 1$, $0 \le \theta \le 2\pi$, $0 \le \phi \le \pi$

B. $(\rho, \theta, \phi)$ với $0 \le \rho \le 1$, $0 \le \theta \le \pi$, $0 \le \phi \le 2\pi$

C. $(\rho, \theta, \phi)$ với $0 \le \rho \le 2\pi$, $0 \le \theta \le 1$, $0 \le \phi \le \pi$

D. $(\rho, \theta, \phi)$ với $0 \le \rho \le \pi$, $0 \le \theta \le 2\pi$, $0 \le \phi \le 1$

10. Tính tích phân lặp $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} (x^2 + y^2) dy dx$.

A. $\frac{7}{15}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{1}{2}$

11. Cho hàm số $f(x, y) = e^{xy}$. Tính $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$.

A. $y^2e^{xy}$

B. $x^2e^{xy}$

C. $e^{xy}$

D. $xy e^{xy}$

12. Tìm điều kiện để tích phân suy rộng $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx$ hội tụ.

A. $p > 1$

B. $p < 1$

C. $p = 1$

D. $p \ge 1$

13. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$.

A. Hàm số đạt cực tiểu tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

B. Hàm số đạt cực đại tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

C. Hàm số không có cực trị

D. Hàm số đạt cực tiểu tại $(0, 1)$

14. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y'' - 4y' + 4y = 0$.

A. $y = C_1e^{2x} + C_2xe^{2x}$

B. $y = C_1e^{2x} + C_2e^{-2x}$

C. $y = C_1e^{4x} + C_2xe^{4x}$

D. $y = C_1e^{4x} + C_2e^{-4x}$

15. Cho hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2 - xy$. Tìm điểm dừng của hàm số.

A. $(0, 0)$

B. $(1, 1)$

C. $(2, 2)$

D. Không có điểm dừng

16. Cho miền $D$ giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = x$. Tính $\iint_{D} x dA$.

A. $\frac{1}{12}$

B. $\frac{1}{6}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{1}{2}$

17. Tìm cực trị của hàm $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$.

A. Hàm số đạt cực tiểu tại $(1, 2)$

B. Hàm số đạt cực đại tại $(1, 2)$

C. Hàm số đạt cực tiểu tại $(-1, -2)$

D. Hàm số đạt cực đại tại $(-1, -2)$

18. Cho phương trình vi phân $y'' + y = 0$. Tìm nghiệm tổng quát.

A. $y = C_1\cos(x) + C_2\sin(x)$

B. $y = C_1e^x + C_2e^{-x}$

C. $y = C_1\cosh(x) + C_2\sinh(x)$

D. $y = C_1x + C_2$

19. Tìm ma trận nghịch đảo của $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.

A. $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$

B. $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$

C. $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

D. $\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$

20. Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính sau: $\begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases}$

A. $x = 2, y = 1$

B. $x = 1, y = 2$

C. $x = 3, y = 0$

D. $x = 0, y = 3$

21. Cho hàm số $f(x,y) = e^{x^2 + y^2}$. Tìm đạo hàm riêng $\frac{\partial f}{\partial x}$.

A. $2xe^{x^2 + y^2}$

B. $2ye^{x^2 + y^2}$

C. $e^{x^2 + y^2}$

D. $xe^{x^2 + y^2}$

22. Tìm eigenvalue của ma trận $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.

A. $1$ và $3$

B. $-1$ và $-3$

C. $2$ và $1$

D. $2$ và $3$

23. Tính $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (x + y) dx dy$.

A. $1$

B. $2$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{3}{2}$

24. Tìm vector riêng ứng với eigenvalue $\lambda = 1$ của ma trận $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.

A. $t\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$

B. $t\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

C. $t\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$

D. $t\begin{bmatrix} -1 \\ -1 \end{bmatrix}$

25. Tìm vector gradient của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$ tại điểm $(1, 1)$.

A. $\vec{\nabla}f(1, 1) = (2, 2)$

B. $\vec{\nabla}f(1, 1) = (1, 1)$

C. $\vec{\nabla}f(1, 1) = (0, 0)$

D. $\vec{\nabla}f(1, 1) = (4, 4)$

26. Tìm hạng của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$.

A. $1$

B. $2$

C. $3$

D. $0$

27. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.

A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$

B. $(0, 0)$ và $(-1, -1)$

C. $(0, 1)$ và $(1, 0)$

D. $(0, 0)$

28. Tính $\int_{C} (x^2 + y^2) ds$, với $C$ là đoạn thẳng nối $(0, 0)$ đến $(1, 1)$.

A. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{3}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{1}{3}$

29. Tính định thức của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$.

A. $-2$

B. $2$

C. $10$

D. $-10$

30. Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x}) & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$. Tính $f'(0)$.

A. $0$

B. $1$

C. Không tồn tại

D. $\infty$