Đề 1 – Đề thi, câu hỏi trắc nghiệm online Đại số tuyến tính

1. Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất $Ax = 0$. Khi nào thì hệ có vô số nghiệm?

A. Khi $det(A) eq 0$

B. Khi $det(A) = 0$

C. Khi $A$ là ma trận đơn vị

D. Khi $A$ là ma trận không

2. Cho $A$ là ma trận vuông khả nghịch. Giá trị riêng của $A^{-1}$ là gì?

A. $lambda$

B. $-lambda$

C. $frac{1}{lambda}$

D. $lambda^2$

3. Cho $A$ là ma trận vuông. Ma trận chuyển vị của $A$ được ký hiệu là $A^T$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $(A + B)^T = A^T - B^T$

B. $(AB)^T = A^TB^T$

C. $(A^T)^T = A$

D. $(kA)^T = k^TA^T$ với $k$ là một số vô hướng.

4. Cho $A$ là ma trận $m imes n$. Hạng của $A$ là gì?

A. Số lượng cột của $A$.

B. Số lượng hàng của $A$.

C. Số lượng cột độc lập tuyến tính tối đa của $A$.

D. Số lượng nghiệm của hệ $Ax = 0$.

5. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Giá trị riêng của $A$ là gì?

A. Một vectơ $vec{v}$ sao cho $Avec{v} = lambda vec{v}$ với $lambda$ là một số vô hướng.

B. Một số vô hướng $lambda$ sao cho $Avec{v} = lambda vec{v}$ với $vec{v}$ là một vectơ khác không.

C. Một số vô hướng $lambda$ sao cho $det(A - lambda I) eq 0$.

D. Một vectơ $vec{v}$ sao cho $det(A - vec{v}I) = 0$.

6. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Trace của $A$ là gì?

A. Tích của các phần tử trên đường chéo chính của $A$.

B. Tổng của các phần tử trên đường chéo chính của $A$.

C. Định thức của $A$.

D. Tổng của các giá trị riêng của $A$.

7. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Khi nào thì $A$ là ma trận đối xứng?

A. Khi $A = -A^T$.

B. Khi $A = A^{-1}$.

C. Khi $A = A^T$.

D. Khi $A^2 = I$.

8. Cho hệ phương trình tuyến tính $Ax = b$. Điều kiện nào sau đây đảm bảo hệ có nghiệm duy nhất?

A. $det(A) eq 0$

B. $det(A) = 0$

C. $b = 0$

D. $A$ là ma trận vuông

9. Cho $V$ là không gian vectơ. Số chiều của $V$ là gì?

A. Số lượng vectơ trong $V$.

B. Số lượng vectơ trong một cơ sở của $V$.

C. Số lượng không gian con của $V$.

D. Số lượng vectơ độc lập tuyến tính trong $V$.

10. Ma trận nào sau đây là ma trận đơn vị?

A. $egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 end{bmatrix}$

B. $egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 end{bmatrix}$

C. $egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}$

D. $egin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{bmatrix}$

11. Cho $A$ và $B$ là hai ma trận vuông cùng cấp sao cho $AB = BA$. Khi đó, $A$ và $B$ giao hoán. Phát biểu này đúng hay sai?

A. Đúng

B. Sai

C. Chỉ đúng khi $A$ hoặc $B$ là ma trận đơn vị.

D. Chỉ đúng khi $A$ và $B$ khả nghịch.

12. Cho không gian vectơ $V$ và $W$. Ánh xạ tuyến tính $T: V ightarrow W$ được gọi là đẳng cấu nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh. Phát biểu này đúng hay sai?

A. Đúng

B. Sai

C. Chỉ đúng khi $V = W$.

D. Chỉ đúng khi $V$ và $W$ hữu hạn chiều.

13. Không gian con của $mathbb{R}^n$ là gì?

A. Một tập hợp bất kỳ các vectơ trong $mathbb{R}^n$.

B. Một tập hợp các vectơ trong $mathbb{R}^n$ đóng với phép cộng vectơ và phép nhân với một số vô hướng.

C. Một tập hợp các vectơ trong $mathbb{R}^n$ chứa vectơ không.

D. Một tập hợp các vectơ trong $mathbb{R}^n$ có số chiều bằng $n$.

14. Cho $A$ là ma trận vuông. Giá trị riêng của $A^2$ là gì?

A. $lambda$

B. $sqrt{lambda}$

C. $lambda^2$

D. $2lambda$

15. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Định thức của $A$ bằng tích của các giá trị riêng của nó. Phát biểu này đúng hay sai?

A. Đúng

B. Sai

C. Chỉ đúng khi $A$ khả nghịch

D. Chỉ đúng khi $A$ là ma trận đường chéo

16. Cho $V$ là không gian vectơ. Cơ sở của $V$ là gì?

A. Một tập hợp con sinh của $V$.

B. Một tập hợp con độc lập tuyến tính của $V$.

C. Một tập hợp con sinh và độc lập tuyến tính của $V$.

D. Một tập hợp con hữu hạn của $V$.

17. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ và $c$ là một hằng số. Khi đó, $det(cA)$ bằng bao nhiêu?

A. $cdet(A)$

B. $c^ndet(A)$

C. $det(A)^c$

D. $det(A)$

18. Cho $T: V ightarrow W$ là một ánh xạ tuyến tính. Khi nào thì $T$ được gọi là đơn ánh?

A. Khi $T$ là toàn ánh.

B. Khi $ ext{Im}(T) = W$.

C. Khi $ ext{Ker}(T) = {0}$.

D. Khi $ ext{Ker}(T) eq {0}$.

19. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu $A$ khả nghịch thì $A^{-1}$ không tồn tại.

B. Nếu $A$ có định thức bằng 0 thì $A$ khả nghịch.

C. Nếu $A$ khả nghịch thì $A^{-1}$ tồn tại và duy nhất.

D. Nếu $A$ có các cột độc lập tuyến tính thì $A$ không khả nghịch.

20. Cho ma trận $A = egin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{bmatrix}$. Tìm định thức của $A$.

A. $-2$

B. $10$

C. $2$

D. $-10$

21. Cho $A$ là ma trận vuông. Khi nào thì $A$ chéo hóa được?

A. Khi $A$ có $n$ giá trị riêng phân biệt.

B. Khi $A$ có $n$ vectơ riêng độc lập tuyến tính.

C. Khi $A$ là ma trận đối xứng.

D. Tất cả các đáp án trên.

22. Cho $A$ và $B$ là hai ma trận vuông cùng cấp. Khi nào thì $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$?

A. Luôn đúng

B. Chỉ đúng khi $A = B$

C. Chỉ đúng khi $A$ và $B$ giao hoán

D. Không bao giờ đúng

23. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Khi nào thì $A$ là ma trận phản đối xứng?

A. Khi $A = A^T$.

B. Khi $A = -A^T$.

C. Khi $A = A^{-1}$.

D. Khi $A^2 = I$.

24. Cho $A$ là ma trận vuông. Vectơ riêng của $A$ là gì?

A. Một vectơ $vec{v}$ khác không sao cho $Avec{v} = 0$.

B. Một vectơ $vec{v}$ sao cho $Avec{v} = lambda vec{v}$ với $lambda$ là một số vô hướng.

C. Một số vô hướng $lambda$ sao cho $Avec{v} = lambda vec{v}$ với $vec{v}$ là một vectơ khác không.

D. Một vectơ $vec{v}$ sao cho $Avec{v} = vec{0}$.

25. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Đa thức đặc trưng của $A$ được định nghĩa như thế nào?

A. $det(A)$

B. $det(A - lambda I)$

C. $det(lambda I - A)$

D. $ ext{trace}(A)$

26. Cho $V$ là không gian vectơ các đa thức bậc không quá $n$. Số chiều của $V$ là bao nhiêu?

A. $n$

B. $n+1$

C. $n-1$

D. Vô hạn

27. Cho hai vectơ $vec{u} = (1, 2)$ và $vec{v} = (3, 4)$. Tính tích vô hướng của $vec{u}$ và $vec{v}$.

A. $11$

B. $5$

C. $10$

D. $7$

28. Cho $A$ là ma trận vuông. Ma trận $A$ được gọi là trực giao nếu $AA^T = I$. Phát biểu này đúng hay sai?

A. Đúng

B. Sai

C. Chỉ đúng khi $A$ khả nghịch.

D. Chỉ đúng khi $A$ là ma trận đối xứng.

29. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ có các cột độc lập tuyến tính. Khi đó, hạng của $A$ bằng bao nhiêu?

A. 0

B. 1

C. $n$

D. Không xác định

30. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Nếu $A$ lũy linh, thì tất cả các giá trị riêng của $A$ bằng 0. Phát biểu này đúng hay sai?

A. Đúng

B. Sai

C. Chỉ đúng khi $A$ khả nghịch

D. Chỉ đúng khi $A = 0$