Đề 5 – Đề thi, câu hỏi trắc nghiệm online Đại số tuyến tính

1. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Giá trị riêng của $A$ là nghiệm của phương trình:

A. det$(A - lambda I) = 0$

B. det$(A) = 0$

C. det$(A + lambda I) = 0$

D. det$(A - lambda) = 0$

2. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ khả nghịch. Ma trận nghịch đảo của $A^T$ là:

A. $(A^{-1})^T$

B. $(A^T)^{-1}$

C. $A^{-1}$

D. $A^T$

3. Cho $V$ là không gian vector con của $R^n$. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. V chứa vector 0.

B. V đóng với phép cộng.

C. V đóng với phép nhân với một số vô hướng.

D. V không chứa vector 0.

4. Cho $A = egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 end{bmatrix}$. Tìm tất cả các giá trị riêng của $A$.

A. 0 và 2

B. 1 và 1

C. 1 và -1

D. 0 và 1

5. Cho $A = egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 2 end{bmatrix}$. Tìm ma trận nghịch đảo $A^{-1}$.

A. $egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1/2 end{bmatrix}$

B. $egin{bmatrix} 1/2 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}$

C. $egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1/2 end{bmatrix}$

D. $egin{bmatrix} -1 & 0 \ 0 & 1/2 end{bmatrix}$

6. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Điều kiện nào sau đây là cần và đủ để $A$ khả nghịch?

A. det$(A) eq 0$

B. rank$(A) < n$

C. det$(A) = 0$

D. rank$(A) = 0$

7. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Nếu $A$ có một hàng toàn số 0 thì:

A. det$(A) = 0$.

B. det$(A) eq 0$.

C. $A$ khả nghịch.

D. rank$(A) = n$.

8. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ và $A^2 = A$. Giá trị riêng của $A$ có thể là:

A. 0 hoặc 1

B. 0 hoặc -1

C. 1 hoặc -1

D. Chỉ 0

9. Cho $A$ là ma trận $m imes n$. Hạng của $A$ là số chiều của không gian nào?

A. Không gian dòng của $A$.

B. Không gian cột của $A$.

C. Không gian nghiệm của $A$.

D. Không gian vector $R^n$.

10. Cho $A = egin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{bmatrix}$. Tính định thức của $A$.

A. -2

B. 2

C. 10

D. -10

11. Cho $V$ là không gian vector các đa thức bậc không quá 2. Tìm số chiều của $V$.

A. 3

B. 2

C. 1

D. 4

12. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ có các cột độc lập tuyến tính. Khi đó:

A. $A$ khả nghịch.

B. $A$ không khả nghịch.

C. det$(A) = 0$.

D. rank$(A) < n$.

13. Cho $u = (1, 2, 3)$ và $v = (4, 5, 6)$. Tính tích vô hướng $u cdot v$.

A. 32

B. 30

C. 31

D. 33

14. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu $A$ có $n$ giá trị riêng phân biệt thì $A$ chéo hóa được.

B. Nếu $A$ chéo hóa được thì $A$ có $n$ giá trị riêng phân biệt.

C. Nếu $A$ không chéo hóa được thì $A$ có $n$ giá trị riêng phân biệt.

D. Nếu $A$ có $n$ giá trị riêng bằng nhau thì $A$ chéo hóa được.

15. Cho $T: R^2 ightarrow R^3$ xác định bởi $T(x, y) = (x + y, x - y, 2x)$. Tìm số chiều của Im$(T)$.

A. 2

B. 1

C. 0

D. 3

16. Cho $T: R^3 ightarrow R^3$ là phép quay quanh trục $Oz$ một góc $ heta$. Tìm ma trận biểu diễn của $T$ đối với cơ sở chính tắc.

A. $egin{bmatrix} cos( heta) & -sin( heta) & 0 \ sin( heta) & cos( heta) & 0 \ 0 & 0 & 1 end{bmatrix}$

B. $egin{bmatrix} cos( heta) & sin( heta) & 0 \ -sin( heta) & cos( heta) & 0 \ 0 & 0 & 1 end{bmatrix}$

C. $egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & cos( heta) & -sin( heta) \ 0 & sin( heta) & cos( heta) end{bmatrix}$

D. $egin{bmatrix} cos( heta) & 0 & sin( heta) \ 0 & 1 & 0 \ -sin( heta) & 0 & cos( heta) end{bmatrix}$

17. Cho $V$ là không gian vector. Tập con $W subseteq V$ là một không gian con của $V$ nếu:

A. $W$ đóng với phép cộng vector và phép nhân với một số vô hướng.

B. $W$ đóng với phép cộng vector nhưng không đóng với phép nhân với một số vô hướng.

C. $W$ không đóng với phép cộng vector nhưng đóng với phép nhân với một số vô hướng.

D. $W$ không đóng với phép cộng vector và không đóng với phép nhân với một số vô hướng.

18. Cho $u = (1, -1, 2)$ và $v = (2, 0, 1)$. Tính tích có hướng $u imes v$.

A. (-1, 3, 2)

B. (1, -3, -2)

C. (1, 3, -2)

D. (-1, -3, -2)

19. Cho $A = egin{bmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 end{bmatrix}$. Tính $A^n$ với $n$ là số nguyên dương.

A. $egin{bmatrix} 1 & 2n \ 0 & 1 end{bmatrix}$

B. $egin{bmatrix} n & 2n \ 0 & n end{bmatrix}$

C. $egin{bmatrix} 1 & n \ 0 & 1 end{bmatrix}$

D. $egin{bmatrix} n & 2 \ 0 & n end{bmatrix}$

20. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Điều kiện nào sau đây tương đương với việc $A$ là ma trận phản đối xứng?

A. $A = -A^T$

B. $A = A^T$

C. $A = A^{-1}$

D. $A = -A^{-1}$

21. Cho $T: V ightarrow W$ là một biến đổi tuyến tính. Khi đó, Ker$(T)$ là:

A. Tập hợp tất cả các vector $v in V$ sao cho $T(v) = 0$.

B. Tập hợp tất cả các vector $w in W$ sao cho $T(v) = w$ với mọi $v in V$.

C. Tập hợp tất cả các vector $v in V$ sao cho $T(v) eq 0$.

D. Tập hợp tất cả các vector $w in W$ sao cho $T(v) = 0$ với mọi $v in V$.

22. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Điều kiện nào sau đây tương đương với việc $A$ là ma trận đối xứng?

A. $A = A^T$

B. $A = -A^T$

C. $A = A^{-1}$

D. $A = -A^{-1}$

23. Cho $A$ là ma trận vuông cấp 3 có các giá trị riêng là 1, 2, 3. Tính det$(A)$.

A. 6

B. 5

C. 0

D. 1

24. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Nếu $A$ là ma trận trực giao thì:

A. $A^T = A^{-1}$

B. $A^T = A$

C. $A = A^{-1}$

D. $A = -A^T$

25. Cho $V$ là không gian vector. Tập hợp $S = {v_1, v_2, ..., v_n} subset V$ được gọi là độc lập tuyến tính nếu:

A. Tồn tại các số $c_1, c_2, ..., c_n$ không đồng thời bằng 0 sao cho $c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_nv_n = 0$.

B. Với mọi $c_1, c_2, ..., c_n$, nếu $c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_nv_n = 0$ thì $c_1 = c_2 = ... = c_n = 0$.

C. Với mọi $c_1, c_2, ..., c_n$, $c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_nv_n = 0$.

D. Tồn tại các số $c_1, c_2, ..., c_n$ sao cho $c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_nv_n = 0$.

26. Cho $T: R^2 ightarrow R^2$ là phép chiếu vuông góc lên trục $Ox$. Tìm ma trận biểu diễn của $T$ đối với cơ sở chính tắc.

A. $egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 end{bmatrix}$

B. $egin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}$

C. $egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}$

D. $egin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{bmatrix}$

27. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Điều kiện nào sau đây là cần và đủ để $A$ chéo hóa được?

A. Tổng số chiều của các không gian riêng của $A$ bằng $n$.

B. $A$ có $n$ giá trị riêng phân biệt.

C. $A$ là ma trận đối xứng.

D. $A$ là ma trận khả nghịch.

28. Cho $A$ và $B$ là hai ma trận vuông cùng cấp. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. det$(AB)$ = det$(A)$det$(B)$

B. det$(A + B)$ = det$(A)$ + det$(B)$

C. det$(A - B)$ = det$(A)$ - det$(B)$

D. det$(AB)$ = det$(A)$ + det$(B)$

29. Cho $A = egin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 end{bmatrix}$. Tìm một vector riêng của $A$ ứng với giá trị riêng $lambda = 3$.

A. $egin{bmatrix} 1 \ 1 end{bmatrix}$

B. $egin{bmatrix} 1 \ -1 end{bmatrix}$

C. $egin{bmatrix} 2 \ 1 end{bmatrix}$

D. $egin{bmatrix} -1 \ 1 end{bmatrix}$

30. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Nếu $A$ lũy linh thì:

A. Tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho $A^k = 0$.

B. $A = 0$.

C. det$(A) eq 0$.

D. $A$ khả nghịch.