Đề 2 – Đề thi, câu hỏi trắc nghiệm online Đại số tuyến tính

1. Cho $V$ là không gian vector và $W_1, W_2$ là hai không gian con của $V$. Khi đó, $W_1 cap W_2$ là:

A. Không phải là không gian con của $V$.

B. Một không gian con của $V$.

C. Bằng $V$.

D. Bằng tập rỗng.

2. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Phát biểu nào sau đây là đúng về số chiều của không gian nghiệm của $Ax=0$?

A. Số chiều của không gian nghiệm luôn bằng 0.

B. Số chiều của không gian nghiệm bằng $n - rank(A)$.

C. Số chiều của không gian nghiệm bằng $rank(A)$.

D. Số chiều của không gian nghiệm luôn bằng $n$.

3. Cho $A$ và $B$ là hai ma trận vuông cùng cấp. Phát biểu nào sau đây luôn đúng?

A. $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$

B. $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$

C. $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$

D. $(A + B)^T = A^T + B^T$

4. Cho $A$ là ma trận $m imes n$. Hạng của $A$ là:

A. Số dòng của $A$.

B. Số cột của $A$.

C. Số chiều của không gian dòng của $A$.

D. Số chiều của không gian nghiệm của $Ax = 0$.

5. Cho $A = egin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 end{bmatrix}$. Tìm một vector riêng của $A$ ứng với giá trị riêng $lambda = 3$.

A. $egin{bmatrix} 1 \ 1 end{bmatrix}$

B. $egin{bmatrix} 1 \ -1 end{bmatrix}$

C. $egin{bmatrix} 2 \ 1 end{bmatrix}$

D. $egin{bmatrix} -1 \ 1 end{bmatrix}$

6. Cho $T: mathbb{R}^2 ightarrow mathbb{R}^2$ là phép biến đổi tuyến tính được định nghĩa bởi $T(x, y) = (x + y, x - y)$. Tìm ma trận biểu diễn của $T$ đối với cơ sở chính tắc.

A. $egin{bmatrix} 1 & -1 \ 1 & 1 end{bmatrix}$

B. $egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & -1 end{bmatrix}$

C. $egin{bmatrix} 1 & 1 \ -1 & 1 end{bmatrix}$

D. $egin{bmatrix} 1 & -1 \ -1 & 1 end{bmatrix}$

7. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ có các giá trị riêng $lambda_1, lambda_2, ..., lambda_n$. Khi đó, $det(A)$ bằng:

A. $lambda_1 + lambda_2 + ... + lambda_n$

B. $lambda_1 cdot lambda_2 cdot ... cdot lambda_n$

C. $frac{lambda_1 + lambda_2 + ... + lambda_n}{n}$

D. $max{{lambda_1, lambda_2, ..., lambda_n}}$

8. Cho ma trận $A = egin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{bmatrix}$. Tính $det(A)$.

A. 2

B. -2

C. 10

D. -10

9. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu $det(A) = 0$ thì $A$ khả nghịch.

B. Nếu $A$ khả nghịch thì $det(A) eq 0$.

C. Nếu $det(A) eq 0$ thì $A$ không khả nghịch.

D. Nếu $A$ không khả nghịch thì $det(A) eq 0$.

10. Cho $v_1, v_2, ..., v_n$ là các vector trong không gian vector $V$. Tổ hợp tuyến tính của các vector này có dạng:

A. $c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_nv_n$, với $c_i$ là các số thực.

B. $v_1 + v_2 + ... + v_n$.

C. $v_1v_2...v_n$.

D. $frac{v_1 + v_2 + ... + v_n}{n}$.

11. Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất $Ax = 0$. Điều kiện nào sau đây là cần và đủ để hệ có nghiệm không tầm thường?

A. $det(A) eq 0$

B. $det(A) = 0$

C. $rank(A) = n$

D. $rank(A) < n$

12. Cho $W$ là một tập con của không gian vector $V$. Điều kiện nào sau đây là cần và đủ để $W$ là một không gian con của $V$?

A. $W$ đóng với phép cộng và phép nhân với một số vô hướng.

B. $W$ chứa vector không và đóng với phép cộng.

C. $W$ chứa vector không và đóng với phép nhân với một số vô hướng.

D. $W$ chứa vector không và đóng với phép cộng và phép nhân với một số vô hướng.

13. Cho $V$ là không gian vector. Điều kiện nào sau đây không phải là tiên đề của không gian vector?

A. $forall u, v in V: u + v in V$.

B. $exists u in V: u + 0 = u$.

C. $forall u, v in V: u + v = v + u$.

D. $forall u in V, forall c in mathbb{R}: cu in V$.

14. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Định thức của $A$ ký hiệu là $det(A)$. Nếu $A$ có hai dòng giống nhau thì:

A. $det(A) = 1$

B. $det(A) = -1$

C. $det(A) = 0$

D. $det(A) eq 0$

15. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. $A$ được gọi là ma trận trực giao nếu:

A. $A = A^T$

B. $A = -A^T$

C. $AA^T = I$

D. $A^2 = A$

16. Cho $A$ là ma trận $n imes n$ khả nghịch. Ma trận nghịch đảo của $A$ ký hiệu là $A^{-1}$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $AA^{-1} = A^{-1}A = 0$

B. $AA^{-1} = A^{-1}A = I$

C. $AA^{-1} = I$, nhưng $A^{-1}A eq I$

D. $AA^{-1} = A$, nhưng $A^{-1}A = I$

17. Cho $A$ và $B$ là hai ma trận vuông cùng cấp $n$. Phát biểu nào sau đây luôn đúng?

A. $det(A + B) = det(A) + det(B)$

B. $det(AB) = det(A) cdot det(B)$

C. $det(A - B) = det(A) - det(B)$

D. $det(A^T) = -det(A)$

18. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ và $c$ là một số vô hướng. Khi đó, $det(cA)$ bằng:

A. $c cdot det(A)$

B. $c^n cdot det(A)$

C. $det(A)^c$

D. $c^{n^2} cdot det(A)$

19. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Điều kiện nào sau đây là tương đương với việc các cột của $A$ độc lập tuyến tính?

A. $det(A) = 0$

B. $rank(A) < n$

C. Hệ phương trình $Ax = 0$ có vô số nghiệm.

D. $rank(A) = n$

20. Cho $T: V ightarrow W$ là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó, tập hợp tất cả các vector $v in V$ sao cho $T(v) = 0$ được gọi là:

A. Ảnh của $T$.

B. Hạt nhân của $T$.

C. Không gian dòng của $T$.

D. Không gian cột của $T$.

21. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Nếu $A$ lũy linh (nilpotent), tức là tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho $A^k = 0$, thì giá trị riêng của $A$ là:

A. 1

B. -1

C. 0

D. Bất kỳ số thực nào.

22. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Vết của $A$ (trace of A), ký hiệu là $tr(A)$, bằng:

A. Tổng các phần tử trên đường chéo chính của $A$.

B. Tích các phần tử trên đường chéo chính của $A$.

C. Định thức của $A$.

D. Hạng của $A$.

23. Cho $u$ và $v$ là hai vector trong không gian vector Euclid. Tích vô hướng của $u$ và $v$ ký hiệu là $langle u, v angle$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $langle u, v angle = langle v, u angle$

B. $langle u, v angle = -langle v, u angle$

C. $langle u, v angle = ||u|| cdot ||v||$

D. $langle u, v angle = 0$ nếu $u$ và $v$ cùng phương.

24. Cho $A$ là ma trận $3 imes 3$ có các giá trị riêng là 1, 2, và 3. Tính định thức của $A$.

A. 0

B. 6

C. 5

D. 36

25. Cho $V$ là không gian vector con sinh bởi các vector $v_1, v_2, ..., v_n$. Khi đó $v_1, v_2, ..., v_n$ được gọi là:

A. Độc lập tuyến tính.

B. Phụ thuộc tuyến tính.

C. Cơ sở của $V$.

D. Hệ sinh của $V$.

26. Cho $A$ là ma trận đối xứng thực. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Các giá trị riêng của $A$ là số phức.

B. Các giá trị riêng của $A$ là số thực.

C. Các vector riêng của $A$ tương ứng với các giá trị riêng khác nhau thì phụ thuộc tuyến tính.

D. $A$ không chéo hóa được.

27. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Phát biểu nào sau đây là tương đương với việc $A$ khả nghịch?

A. Các cột của $A$ phụ thuộc tuyến tính.

B. Các dòng của $A$ phụ thuộc tuyến tính.

C. Hệ phương trình $Ax = 0$ có nghiệm duy nhất.

D. $det(A) = 0$.

28. Cho $V$ là không gian vector các đa thức bậc không quá $n$. Số chiều của $V$ là:

A. $n$

B. $n - 1$

C. $n + 1$

D. $infty$

29. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Giá trị riêng của $A$ là nghiệm của phương trình:

A. $det(A - lambda I) = 0$

B. $det(A) = 0$

C. $A - lambda I = 0$

D. $A = 0$

30. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Điều kiện nào sau đây là cần và đủ để $A$ chéo hóa được?

A. $A$ có $n$ giá trị riêng phân biệt.

B. Tổng số chiều của các không gian riêng của $A$ bằng $n$.

C. $A$ là ma trận đối xứng.

D. $det(A) eq 0$.