Đề 3 – Đề thi, câu hỏi trắc nghiệm online Đại số tuyến tính

1. Ánh xạ tuyến tính nào sau đây là một đẳng cấu?

A. $T: mathbb{R}^2 ightarrow mathbb{R}^2, T(x, y) = (x, 0)$

B. $T: mathbb{R}^2 ightarrow mathbb{R}^2, T(x, y) = (x+y, x-y)$

C. $T: mathbb{R}^2 ightarrow mathbb{R}^3, T(x, y) = (x, y, 0)$

D. $T: mathbb{R}^3 ightarrow mathbb{R}^2, T(x, y, z) = (x, y)$

2. Cho $A$ là ma trận $3 imes 3$ có các giá trị riêng là 1, 2 và 3. Tính vết (trace) của $A$.

A. $1$

B. $2$

C. $3$

D. $6$

3. Cho $A$ và $B$ là hai ma trận vuông cùng cấp. Phát biểu nào sau đây luôn đúng?

A. $det(A + B) = det(A) + det(B)$

B. $det(AB) = det(A)det(B)$

C. $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$

D. $AB = BA$

4. Cho $T: mathbb{R}^2 ightarrow mathbb{R}^2$ là phép chiếu vuông góc lên trục $x$. Tìm ma trận biểu diễn của $T$ đối với cơ sở chính tắc.

A. $egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 end{bmatrix}$

B. $egin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}$

C. $egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}$

D. $egin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{bmatrix}$

5. Cho $A = egin{bmatrix} 1 & 2 \ 2 & 1 end{bmatrix}$. Tìm ma trận đường chéo $D$ và ma trận khả nghịch $P$ sao cho $A = PDP^{-1}$.

A. $D = egin{bmatrix} 3 & 0 \ 0 & -1 end{bmatrix}$, $P = egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & -1 end{bmatrix}$

B. $D = egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}$, $P = egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}$

C. $D = egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 2 end{bmatrix}$, $P = egin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{bmatrix}$

D. $D = egin{bmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}$, $P = egin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 end{bmatrix}$

6. Cho $A$ là ma trận $2 imes 2$ với các giá trị riêng là $lambda_1 = 1$ và $lambda_2 = 2$. Tính $det(A)$.

A. $0$

B. $1$

C. $2$

D. $3$

7. Cho $A$ là ma trận $3 imes 3$ với $det(A) = 5$. Tính $det(2A)$.

A. $5$

B. $10$

C. $20$

D. $40$

8. Cho $A$ là một ma trận vuông. Khi nào $A$ khả nghịch?

A. Khi $det(A) = 0$

B. Khi $A$ có ít nhất một hàng hoặc cột toàn số 0

C. Khi $det(A) eq 0$

D. Khi $A$ là ma trận tam giác

9. Cho $V$ là một không gian vector. Điều kiện nào sau đây KHÔNG phải là điều kiện để $W$ là một không gian con của $V$?

A. $W$ đóng với phép cộng vector

B. $W$ đóng với phép nhân với một số vô hướng

C. $W$ chứa vector không

D. $W$ chứa tất cả các vector của $V$

10. Cho $A$ là ma trận $n imes n$. Phát biểu nào sau đây là tương đương với việc $A$ khả nghịch?

A. Các cột của $A$ phụ thuộc tuyến tính

B. Hệ $Ax = 0$ có vô số nghiệm

C. Hệ $Ax = b$ có nghiệm duy nhất với mọi $b$

D. $det(A) = 0$

11. Cho $A$ là một ma trận $m imes n$. Hạng của $A$ là gì?

A. Số cột của $A$

B. Số hàng của $A$

C. Số chiều của không gian nghiệm của $Ax = 0$

D. Số chiều của không gian cột của $A$

12. Cho $W$ là không gian con của $V$. Bổ chính trực giao của $W$ trong $V$ là gì?

A. Tập hợp tất cả các vector trong $V$ vuông góc với mọi vector trong $W$

B. Tập hợp tất cả các vector trong $W$

C. Tập hợp tất cả các vector trong $V$

D. Tập hợp tất cả các vector không

13. Cho không gian vector $V$ có chiều là $n$. Số lượng vector tối đa trong một tập hợp độc lập tuyến tính trong $V$ là bao nhiêu?

A. $n-1$

B. $n$

C. $n+1$

D. Vô hạn

14. Cho $A$ là ma trận vuông và $A^2 = A$. Giá trị riêng của $A$ có thể là gì?

A. Chỉ 0

B. Chỉ 1

C. 0 hoặc 1

D. Mọi số thực

15. Cho hai vector $u = egin{bmatrix} 1 \ 2 end{bmatrix}$ và $v = egin{bmatrix} 3 \ 4 end{bmatrix}$. Tính tích vô hướng của $u$ và $v$.

A. $14$

B. $11$

C. $5$

D. $2$

16. Tìm cơ sở của không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất $x + y + z = 0$.

A. $egin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 end{bmatrix}, egin{bmatrix} 0 \ 1 \ 0 end{bmatrix}$

B. $egin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1 end{bmatrix}$

C. $egin{bmatrix} 1 \ -1 \ 0 end{bmatrix}, egin{bmatrix} 1 \ 0 \ -1 end{bmatrix}$

D. $egin{bmatrix} 0 \ 0 \ 0 end{bmatrix}$

17. Cho $A = egin{bmatrix} 1 & 0 \ 1 & 1 end{bmatrix}$. Tính $A^n$ với $n$ là số nguyên dương.

A. $egin{bmatrix} 1 & 0 \ n & 1 end{bmatrix}$

B. $egin{bmatrix} n & 0 \ n & n end{bmatrix}$

C. $egin{bmatrix} 1 & 0 \ 1 & n end{bmatrix}$

D. $egin{bmatrix} n & 0 \ 1 & 1 end{bmatrix}$

18. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ và $A$ lũy linh (nilpotent), tức là tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho $A^k = 0$. Giá trị riêng của $A$ là gì?

A. Tất cả đều bằng 1

B. Tất cả đều khác 0

C. Tất cả đều bằng 0

D. Có ít nhất một giá trị riêng bằng 0

19. Cho không gian vector $V = mathbb{R}^3$. Tập hợp nào sau đây là một cơ sở của $V$?

A. $egin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 end{bmatrix}, egin{bmatrix} 0 \ 1 \ 0 end{bmatrix}$

B. $egin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 end{bmatrix}, egin{bmatrix} 0 \ 1 \ 0 end{bmatrix}, egin{bmatrix} 0 \ 0 \ 1 end{bmatrix}, egin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1 end{bmatrix}$

C. $egin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 end{bmatrix}, egin{bmatrix} 0 \ 1 \ 0 end{bmatrix}, egin{bmatrix} 0 \ 0 \ 1 end{bmatrix}$

D. $egin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1 end{bmatrix}, egin{bmatrix} 2 \ 2 \ 2 end{bmatrix}, egin{bmatrix} 3 \ 3 \ 3 end{bmatrix}$

20. Cho $A$ là một ma trận vuông. Khi nào $A$ là xác định dương?

A. Khi tất cả các giá trị riêng của $A$ đều âm

B. Khi tất cả các giá trị riêng của $A$ đều không âm

C. Khi tất cả các giá trị riêng của $A$ đều dương

D. Khi tất cả các giá trị riêng của $A$ đều là số phức

21. Ma trận nào sau đây là ma trận đơn vị?

A. $egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 end{bmatrix}$

B. $egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}$

C. $egin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{bmatrix}$

D. $egin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 end{bmatrix}$

22. Cho $A$ là một ma trận vuông. Giá trị riêng của $A$ là gì?

A. Các giá trị của $x$ sao cho $Ax = 0$

B. Các giá trị của $lambda$ sao cho $A - lambda I = 0$

C. Các giá trị của $lambda$ sao cho $det(A - lambda I) = 0$

D. Các giá trị của $lambda$ sao cho $Ax = x$

23. Cho $v_1, v_2, ..., v_n$ là các vector trong không gian vector $V$. Khi nào các vector này độc lập tuyến tính?

A. Khi tổ hợp tuyến tính của chúng bằng vector không chỉ khi tất cả các hệ số bằng 0

B. Khi tổ hợp tuyến tính của chúng bằng vector không với ít nhất một hệ số khác 0

C. Khi chúng vuông góc với nhau

D. Khi chúng có cùng độ dài

24. Cho ma trận $A$ có các cột là cơ sở trực chuẩn. Điều gì có thể nói về ma trận $A^T A$?

A. Nó là ma trận không

B. Nó là ma trận đơn vị

C. Nó là ma trận đối xứng

D. Nó là ma trận chéo

25. Cho $A$ là một ma trận đối xứng. Điều gì có thể kết luận về các giá trị riêng của $A$?

A. Chúng đều là số phức

B. Chúng đều là số thực

C. Chúng đều bằng 0

D. Chúng đều dương

26. Cho hệ phương trình tuyến tính $Ax = b$. Nếu $det(A) eq 0$, hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm?

A. Vô số nghiệm

B. Không có nghiệm

C. Một nghiệm duy nhất

D. Hai nghiệm

27. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Khi nào $A$ trực giao?

A. Khi $A^T = A$

B. Khi $A^T = -A$

C. Khi $AA^T = I$

D. Khi $det(A) = 0$

28. Cho $T: V ightarrow W$ là một ánh xạ tuyến tính. Khi nào $T$ là đơn ánh?

A. Khi $ker(T) = {0}$

B. Khi $ ext{Im}(T) = W$

C. Khi $dim(V) = dim(W)$

D. Khi $T$ là toàn ánh

29. Cho ma trận $A = egin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{bmatrix}$. Tính định thức của $A$.

A. $-2$

B. $10$

C. $2$

D. $-10$

30. Tìm hạng của ma trận $A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & 4 & 6 \ 3 & 6 & 9 end{bmatrix}$.

A. $0$

B. $1$

C. $2$

D. $3$