1. Ánh xạ tuyến tính nào sau đây là một đẳng cấu?
A. $T: mathbb{R}^2
ightarrow mathbb{R}^2, T(x, y) = (x, 0)$
B. $T: mathbb{R}^2
ightarrow mathbb{R}^2, T(x, y) = (x+y, x-y)$
C. $T: mathbb{R}^2
ightarrow mathbb{R}^3, T(x, y) = (x, y, 0)$
D. $T: mathbb{R}^3
ightarrow mathbb{R}^2, T(x, y, z) = (x, y)$
2. Cho $A$ là ma trận $3 imes 3$ có các giá trị riêng là 1, 2 và 3. Tính vết (trace) của $A$.
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $6$
3. Cho $A$ và $B$ là hai ma trận vuông cùng cấp. Phát biểu nào sau đây luôn đúng?
A. $det(A + B) = det(A) + det(B)$
B. $det(AB) = det(A)det(B)$
C. $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$
D. $AB = BA$
4. Cho $T: mathbb{R}^2
ightarrow mathbb{R}^2$ là phép chiếu vuông góc lên trục $x$. Tìm ma trận biểu diễn của $T$ đối với cơ sở chính tắc.
A. $egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 end{bmatrix}$
B. $egin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}$
C. $egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}$
D. $egin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{bmatrix}$
5. Cho $A = egin{bmatrix} 1 & 2 \ 2 & 1 end{bmatrix}$. Tìm ma trận đường chéo $D$ và ma trận khả nghịch $P$ sao cho $A = PDP^{-1}$.
A. $D = egin{bmatrix} 3 & 0 \ 0 & -1 end{bmatrix}$, $P = egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & -1 end{bmatrix}$
B. $D = egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}$, $P = egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}$
C. $D = egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 2 end{bmatrix}$, $P = egin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{bmatrix}$
D. $D = egin{bmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}$, $P = egin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 end{bmatrix}$
6. Cho $A$ là ma trận $2 imes 2$ với các giá trị riêng là $lambda_1 = 1$ và $lambda_2 = 2$. Tính $det(A)$.
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $3$
7. Cho $A$ là ma trận $3 imes 3$ với $det(A) = 5$. Tính $det(2A)$.
A. $5$
B. $10$
C. $20$
D. $40$
8. Cho $A$ là một ma trận vuông. Khi nào $A$ khả nghịch?
A. Khi $det(A) = 0$
B. Khi $A$ có ít nhất một hàng hoặc cột toàn số 0
C. Khi $det(A)
eq 0$
D. Khi $A$ là ma trận tam giác
9. Cho $V$ là một không gian vector. Điều kiện nào sau đây KHÔNG phải là điều kiện để $W$ là một không gian con của $V$?
A. $W$ đóng với phép cộng vector
B. $W$ đóng với phép nhân với một số vô hướng
C. $W$ chứa vector không
D. $W$ chứa tất cả các vector của $V$
10. Cho $A$ là ma trận $n imes n$. Phát biểu nào sau đây là tương đương với việc $A$ khả nghịch?
A. Các cột của $A$ phụ thuộc tuyến tính
B. Hệ $Ax = 0$ có vô số nghiệm
C. Hệ $Ax = b$ có nghiệm duy nhất với mọi $b$
D. $det(A) = 0$
11. Cho $A$ là một ma trận $m imes n$. Hạng của $A$ là gì?
A. Số cột của $A$
B. Số hàng của $A$
C. Số chiều của không gian nghiệm của $Ax = 0$
D. Số chiều của không gian cột của $A$
12. Cho $W$ là không gian con của $V$. Bổ chính trực giao của $W$ trong $V$ là gì?
A. Tập hợp tất cả các vector trong $V$ vuông góc với mọi vector trong $W$
B. Tập hợp tất cả các vector trong $W$
C. Tập hợp tất cả các vector trong $V$
D. Tập hợp tất cả các vector không
13. Cho không gian vector $V$ có chiều là $n$. Số lượng vector tối đa trong một tập hợp độc lập tuyến tính trong $V$ là bao nhiêu?
A. $n-1$
B. $n$
C. $n+1$
D. Vô hạn
14. Cho $A$ là ma trận vuông và $A^2 = A$. Giá trị riêng của $A$ có thể là gì?
A. Chỉ 0
B. Chỉ 1
C. 0 hoặc 1
D. Mọi số thực
15. Cho hai vector $u = egin{bmatrix} 1 \ 2 end{bmatrix}$ và $v = egin{bmatrix} 3 \ 4 end{bmatrix}$. Tính tích vô hướng của $u$ và $v$.
A. $14$
B. $11$
C. $5$
D. $2$
16. Tìm cơ sở của không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất $x + y + z = 0$.
A. $egin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 end{bmatrix}, egin{bmatrix} 0 \ 1 \ 0 end{bmatrix}$
B. $egin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1 end{bmatrix}$
C. $egin{bmatrix} 1 \ -1 \ 0 end{bmatrix}, egin{bmatrix} 1 \ 0 \ -1 end{bmatrix}$
D. $egin{bmatrix} 0 \ 0 \ 0 end{bmatrix}$
17. Cho $A = egin{bmatrix} 1 & 0 \ 1 & 1 end{bmatrix}$. Tính $A^n$ với $n$ là số nguyên dương.
A. $egin{bmatrix} 1 & 0 \ n & 1 end{bmatrix}$
B. $egin{bmatrix} n & 0 \ n & n end{bmatrix}$
C. $egin{bmatrix} 1 & 0 \ 1 & n end{bmatrix}$
D. $egin{bmatrix} n & 0 \ 1 & 1 end{bmatrix}$
18. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ và $A$ lũy linh (nilpotent), tức là tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho $A^k = 0$. Giá trị riêng của $A$ là gì?
A. Tất cả đều bằng 1
B. Tất cả đều khác 0
C. Tất cả đều bằng 0
D. Có ít nhất một giá trị riêng bằng 0
19. Cho không gian vector $V = mathbb{R}^3$. Tập hợp nào sau đây là một cơ sở của $V$?
A. $egin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 end{bmatrix}, egin{bmatrix} 0 \ 1 \ 0 end{bmatrix}$
B. $egin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 end{bmatrix}, egin{bmatrix} 0 \ 1 \ 0 end{bmatrix}, egin{bmatrix} 0 \ 0 \ 1 end{bmatrix}, egin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1 end{bmatrix}$
C. $egin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 end{bmatrix}, egin{bmatrix} 0 \ 1 \ 0 end{bmatrix}, egin{bmatrix} 0 \ 0 \ 1 end{bmatrix}$
D. $egin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1 end{bmatrix}, egin{bmatrix} 2 \ 2 \ 2 end{bmatrix}, egin{bmatrix} 3 \ 3 \ 3 end{bmatrix}$
20. Cho $A$ là một ma trận vuông. Khi nào $A$ là xác định dương?
A. Khi tất cả các giá trị riêng của $A$ đều âm
B. Khi tất cả các giá trị riêng của $A$ đều không âm
C. Khi tất cả các giá trị riêng của $A$ đều dương
D. Khi tất cả các giá trị riêng của $A$ đều là số phức
21. Ma trận nào sau đây là ma trận đơn vị?
A. $egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 end{bmatrix}$
B. $egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}$
C. $egin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{bmatrix}$
D. $egin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 end{bmatrix}$
22. Cho $A$ là một ma trận vuông. Giá trị riêng của $A$ là gì?
A. Các giá trị của $x$ sao cho $Ax = 0$
B. Các giá trị của $lambda$ sao cho $A - lambda I = 0$
C. Các giá trị của $lambda$ sao cho $det(A - lambda I) = 0$
D. Các giá trị của $lambda$ sao cho $Ax = x$
23. Cho $v_1, v_2, ..., v_n$ là các vector trong không gian vector $V$. Khi nào các vector này độc lập tuyến tính?
A. Khi tổ hợp tuyến tính của chúng bằng vector không chỉ khi tất cả các hệ số bằng 0
B. Khi tổ hợp tuyến tính của chúng bằng vector không với ít nhất một hệ số khác 0
C. Khi chúng vuông góc với nhau
D. Khi chúng có cùng độ dài
24. Cho ma trận $A$ có các cột là cơ sở trực chuẩn. Điều gì có thể nói về ma trận $A^T A$?
A. Nó là ma trận không
B. Nó là ma trận đơn vị
C. Nó là ma trận đối xứng
D. Nó là ma trận chéo
25. Cho $A$ là một ma trận đối xứng. Điều gì có thể kết luận về các giá trị riêng của $A$?
A. Chúng đều là số phức
B. Chúng đều là số thực
C. Chúng đều bằng 0
D. Chúng đều dương
26. Cho hệ phương trình tuyến tính $Ax = b$. Nếu $det(A)
eq 0$, hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm?
A. Vô số nghiệm
B. Không có nghiệm
C. Một nghiệm duy nhất
D. Hai nghiệm
27. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Khi nào $A$ trực giao?
A. Khi $A^T = A$
B. Khi $A^T = -A$
C. Khi $AA^T = I$
D. Khi $det(A) = 0$
28. Cho $T: V
ightarrow W$ là một ánh xạ tuyến tính. Khi nào $T$ là đơn ánh?
A. Khi $ker(T) = {0}$
B. Khi $ ext{Im}(T) = W$
C. Khi $dim(V) = dim(W)$
D. Khi $T$ là toàn ánh
29. Cho ma trận $A = egin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{bmatrix}$. Tính định thức của $A$.
A. $-2$
B. $10$
C. $2$
D. $-10$
30. Tìm hạng của ma trận $A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & 4 & 6 \ 3 & 6 & 9 end{bmatrix}$.
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $3$
