Đề 8 – Đề thi, câu hỏi trắc nghiệm online Đại số tuyến tính

1. Cho $V$ là không gian vector các ma trận vuông cấp 2. Tìm số chiều của $V$.

A. 2

B. 3

C. 4

D. Vô hạn

2. Cho $V$ là không gian vector và $W_1, W_2$ là hai không gian con của $V$. $W_1 + W_2$ là gì?

A. Tập hợp tất cả các vector $w_1 + w_2$ với $w_1 in W_1$ và $w_2 in W_2$.

B. Giao của $W_1$ và $W_2$.

C. Hợp của $W_1$ và $W_2$.

D. Tập rỗng.

3. Cho hệ phương trình tuyến tính $Ax = b$. Điều kiện nào sau đây đảm bảo hệ có nghiệm duy nhất?

A. det(A) = 0

B. rank(A) < rank([A|b])

C. rank(A) = rank([A|b]) = số ẩn

D. rank(A) > rank([A|b])

4. Cho $A$ là ma trận trực giao. Tính chất nào sau đây là đúng?

A. $A = A^T$

B. $A = -A^T$

C. $A^{-1} = A^T$

D. $A^{-1} = -A^T$

5. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Khi nào $A$ được gọi là ma trận đối xứng?

A. Khi $A = A^T$.

B. Khi $A = -A^T$.

C. Khi $A^{-1} = A^T$.

D. Khi $A^{-1} = A$.

6. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Điều kiện nào sau đây đảm bảo rằng $A$ có thể chéo hóa được?

A. A có $n$ giá trị riêng phân biệt.

B. A có ít hơn $n$ giá trị riêng.

C. det(A) = 0.

D. A là ma trận tam giác.

7. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Khi nào $A$ được gọi là ma trận lũy linh?

A. Khi tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho $A^k = 0$.

B. Khi $A^2 = A$.

C. Khi $A^2 = I$.

D. Khi $A = 0$.

8. Cho $T: V ightarrow W$ là một ánh xạ tuyến tính. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. dim(V) = dim(Ker(T)) + dim(Im(T))

B. dim(V) = dim(Ker(T)) - dim(Im(T))

C. dim(V) = dim(Ker(T)) * dim(Im(T))

D. dim(V) = dim(Ker(T)) / dim(Im(T))

9. Cho $V$ là không gian vector và $S$ là một tập con của $V$. Span(S) là gì?

A. Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vector trong $S$.

B. Tập hợp tất cả các vector trong $S$.

C. Tập hợp tất cả các vector trực giao với các vector trong $S$.

D. Tập hợp rỗng.

10. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Điều kiện nào sau đây tương đương với việc $A$ khả nghịch?

A. det(A) = 0

B. rank(A) < n

C. A có ít nhất một hàng toàn số 0.

D. det(A) $ eq$ 0

11. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ có các hàng độc lập tuyến tính. Điều gì có thể kết luận về hệ phương trình tuyến tính $Ax = 0$?

A. Hệ có vô số nghiệm.

B. Hệ có nghiệm duy nhất là $x = 0$.

C. Hệ không có nghiệm.

D. Không thể kết luận gì.

12. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ và $c$ là một số vô hướng. Tính det(cA).

A. c * det(A)

B. $c^n$ * det(A)

C. det(A) / c

D. det(A)

13. Cho $u = (1, 2, 3)$ và $v = (4, 5, 6)$. Tính tích có hướng $u imes v$.

A. $(-3, 6, -3)$

B. $(3, -6, 3)$

C. $(0, 0, 0)$

D. $(1, 1, 1)$

14. Cho $V$ là không gian vector với tích vô hướng. Khi nào hai vector $u, v in V$ được gọi là trực giao?

A. Khi $u = v$.

B. Khi $u cdot v = 0$.

C. Khi $u cdot v = 1$.

D. Khi $||u|| = ||v||$.

15. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Phát biểu nào sau đây là đúng về định thức của $A$?

A. det(A) luôn dương.

B. det(A) = det(A^T).

C. det(A) = -det(A^T).

D. det(A) luôn là số nguyên.

16. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ khả nghịch. Ma trận nghịch đảo $A^{-1}$ có tính chất nào sau đây?

A. $(A^{-1})^{-1} = A$

B. $(A^{-1})^{-1} = I$

C. $(A^{-1})^{-1} = 0$

D. $(A^{-1})^{-1}$ không tồn tại.

17. Cho $V$ là không gian vector các đa thức bậc không quá 2. Xét $p_1(x) = 1 + x$, $p_2(x) = x + x^2$, $p_3(x) = 1 + x^2$. Hỏi tập hợp {$p_1, p_2, p_3$} có độc lập tuyến tính không?

A. Không độc lập tuyến tính.

B. Không thể xác định.

C. Độc lập tuyến tính.

D. Tạo thành cơ sở của $V$.

18. Cho $A$ và $B$ là hai ma trận vuông cùng cấp. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$

B. $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$

C. det(A + B) = det(A) + det(B)

D. Nếu $AB = BA$ thì $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$

19. Cho $V$ là không gian vector con của $mathbb{R}^n$. Khi nào một tập hợp các vector trong $V$ tạo thành một cơ sở của $V$?

A. Khi tập hợp đó độc lập tuyến tính.

B. Khi tập hợp đó sinh ra $V$.

C. Khi tập hợp đó độc lập tuyến tính và sinh ra $V$.

D. Khi tập hợp đó phụ thuộc tuyến tính và sinh ra $V$.

20. Cho ma trận $A = egin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{bmatrix}$. Tìm ma trận nghịch đảo $A^{-1}$ (nếu có).

A. $A^{-1} = egin{bmatrix} -2 & 1 \ 1.5 & -0.5 end{bmatrix}$

B. Ma trận $A$ không khả nghịch.

C. $A^{-1} = egin{bmatrix} -2 & 1.5 \ 1 & -0.5 end{bmatrix}$

D. $A^{-1} = egin{bmatrix} 2 & -1 \ -1.5 & 0.5 end{bmatrix}$

21. Cho $A$ và $B$ là hai ma trận vuông cùng cấp. Khi nào $AB = BA$?

A. Luôn đúng.

B. Chỉ khi A hoặc B là ma trận đơn vị.

C. Chỉ khi A và B là ma trận đường chéo.

D. Không phải lúc nào cũng đúng, chỉ đúng trong một số trường hợp đặc biệt.

22. Cho ma trận $A = egin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 end{bmatrix}$. Tìm các giá trị riêng của $A$.

A. $lambda_1 = 1, lambda_2 = 3$

B. $lambda_1 = 0, lambda_2 = 4$

C. $lambda_1 = -1, lambda_2 = -3$

D. $lambda_1 = 2, lambda_2 = 2$

23. Cho $u$ và $v$ là hai vector trong không gian vector Euclid. Phát biểu nào sau đây là đúng về tích vô hướng?

A. $u cdot v = ||u|| cdot ||v|| cdot sin( heta)$

B. $u cdot v = ||u|| + ||v||$

C. $u cdot v = ||u|| cdot ||v|| cdot cos( heta)$

D. $u cdot v = 0$ khi và chỉ khi $u = v = 0$.

24. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ có các giá trị riêng $lambda_1, lambda_2, ..., lambda_n$. Tính det(A).

A. $lambda_1 + lambda_2 + ... + lambda_n$

B. $lambda_1 cdot lambda_2 cdot ... cdot lambda_n$

C. 0

D. 1

25. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ và $lambda$ là một giá trị riêng của $A$. Khi đó, vector riêng tương ứng với $lambda$ là gì?

A. Một vector $v$ khác 0 sao cho $Av = lambda v$.

B. Một vector $v$ sao cho $Av = v$.

C. Một vector $v$ sao cho $Av = 0$.

D. Một vector $v$ sao cho $A = lambda v$.

26. Cho $A$ là ma trận $m imes n$. Điều kiện nào sau đây là đúng?

A. rank(A) > min(m, n)

B. rank(A) < min(m, n)

C. rank(A) $le$ min(m, n)

D. rank(A) $ge$ min(m, n)

27. Tìm cơ sở của không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất $x + y + z = 0$.

A. {(-1, 1, 0), (-1, 0, 1)}

B. {(1, 1, 1)}

C. {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

D. Không có cơ sở.

28. Cho $V$ là không gian vector và $W$ là một tập con của $V$. Điều kiện nào sau đây là cần và đủ để $W$ là một không gian con của $V$?

A. $W$ khác rỗng.

B. $W$ đóng với phép cộng và phép nhân với một số vô hướng.

C. $W$ đóng với phép cộng nhưng không đóng với phép nhân với một số vô hướng.

D. $W$ đóng với phép nhân với một số vô hướng nhưng không đóng với phép cộng.

29. Cho $T: V ightarrow W$ là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó, Ker(T) là gì?

A. Tập hợp tất cả các vector $v in V$ sao cho $T(v) = 0$.

B. Tập hợp tất cả các vector $w in W$ sao cho $T(v) = w$ với mọi $v in V$.

C. Tập hợp tất cả các vector $v in V$ sao cho $T(v) eq 0$.

D. Tập hợp tất cả các vector $w in W$.

30. Cho ánh xạ tuyến tính $T: mathbb{R}^2 ightarrow mathbb{R}^2$ được xác định bởi $T(x, y) = (x + y, x - y)$. Tìm ma trận biểu diễn của $T$ đối với cơ sở chính tắc.

A. $egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & -1 end{bmatrix}$

B. $egin{bmatrix} 1 & -1 \ 1 & 1 end{bmatrix}$

C. $egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}$

D. $egin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{bmatrix}$