Category:
[KNTT] Trắc nghiệm Toán học 11 Bài 10 Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Tags:
Bộ đề 1
2. Cho mặt phẳng \(\alpha\) và đường thẳng \(d\). Nếu \(d\) không song song với \(\alpha\) và \(d\) không cắt \(\alpha\) thì:
Trong không gian, một đường thẳng và một mặt phẳng có ba khả năng xảy ra: 1. Đường thẳng song song với mặt phẳng (không có điểm chung). 2. Đường thẳng cắt mặt phẳng tại một điểm duy nhất. 3. Đường thẳng nằm trong mặt phẳng (mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng). Đề bài cho \(d\) không song song với \(\alpha\) (loại trường hợp 1) và \(d\) không cắt \(\alpha\) (loại trường hợp 2). Điều này chỉ còn lại khả năng duy nhất là đường thẳng \(d\) nằm trong mặt phẳng \(\alpha\). Tuy nhiên, nếu \(d\) nằm trong \(\alpha\), thì nó song song với \(\alpha\) (theo một cách hiểu khác của định nghĩa song song trong không gian, đường thẳng nằm trong mặt phẳng được xem là song song). Nhưng đề bài lại nói \(d\) không song song với \(\alpha\). Điều này dẫn đến mâu thuẫn. Để giải quyết mâu thuẫn này, ta xem xét lại các tiên đề. Nếu \(d\) không song song với \(\alpha\) thì nó phải cắt \(\alpha\) hoặc nằm trong \(\alpha\). Nếu \(d\) không cắt \(\alpha\), thì nó phải song song với \(\alpha\) hoặc nằm trong \(\alpha\). Kết hợp cả hai điều kiện: \(d\) không song song với \(\alpha\) VÀ \(d\) không cắt \(\alpha\) là mâu thuẫn với các khả năng trên. Tuy nhiên, nếu hiểu cắt là có đúng một điểm chung, và không cắt là không có điểm chung nào. Thì \(d\) không song song \(\alpha\) nghĩa là có ít nhất một điểm chung. Nếu \(d\) không cắt \(\alpha\) nghĩa là không có điểm chung nào. Điều này mâu thuẫn. Một cách diễn đạt khác: nếu \(d\) không song song với \(\alpha\) thì \(d\) phải cắt \(\alpha\) tại một điểm. Nếu \(d\) không cắt \(\alpha\) thì \(d\) phải song song với \(\alpha\). Hai điều kiện này mâu thuẫn nhau. Tuy nhiên, nếu ta diễn đạt lại: nếu \(d\) không song song với \(\alpha\), thì \(d\) có thể cắt \(\alpha\) hoặc nằm trong \(\alpha\). Nếu \(d\) không cắt \(\alpha\) thì \(d\) song song với \(\alpha\) hoặc nằm trong \(\alpha\). Kết hợp lại, nếu \(d\) không song song với \(\alpha\) (tức là có điểm chung) VÀ \(d\) không cắt \(\alpha\) (tức là không có điểm chung), thì đây là mâu thuẫn. Tuy nhiên, câu hỏi có thể ngụ ý một cách hiểu khác của cắt. Nếu cắt chỉ trường hợp có đúng 1 điểm chung, và không cắt là không có điểm chung. Thì không song song có nghĩa là có ít nhất 1 điểm chung. không cắt có nghĩa là không có điểm chung. Vậy hai điều kiện này mâu thuẫn. Tuy nhiên, trong các lựa chọn, chỉ có 3 khả năng: song song, cắt, nằm trong. Nếu không song song và không cắt, thì chỉ còn lại nằm trong. Nhưng nếu nằm trong thì nó song song. Vậy đề bài có lỗi. Giả sử đề bài muốn hỏi: Nếu \(d\) không song song với \(\alpha\) thì \(d\) hoặc cắt \(\alpha\) hoặc nằm trong \(\alpha\). Và nếu \(d\) không cắt \(\alpha\) thì \(d\) song song với \(\alpha\) hoặc nằm trong \(\alpha\). Nếu cả hai điều kiện đều đúng, thì \(d\) phải nằm trong \(\alpha\). Nhưng nếu \(d\) nằm trong \(\alpha\) thì nó song song với \(\alpha\), mâu thuẫn với \(d\) không song song \(\alpha\). Vậy chỉ có thể là \(d\) cắt \(\alpha\) tại một điểm. Kết luận: \(d\) cắt \(\alpha\) tại một điểm.
