Category:
[Chân trời] Trắc nghiệm Toán học 8 bài 4 Hai hình đồng dạng
Tags:
Bộ đề 1
5. Cho tam giác ABC và một điểm D trên cạnh BC sao cho AD là đường phân giác của góc A. Nếu tam giác ABC đồng dạng với tam giác DBA, thì tam giác ABC là tam giác gì?
Nếu $\triangle ABC \sim \triangle DBA$, thì tỉ lệ các cạnh tương ứng là $\frac{AB}{DB} = \frac{BC}{BA} = \frac{AC}{DA}$. Từ $\frac{AB}{DB} = \frac{BC}{BA}$, ta có $AB^2 = DB \cdot BC$. Theo định lý đường phân giác, $\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC}$. Ta cũng có $BC = DB + DC$. Từ $\frac{BC}{BA} = \frac{AC}{DA}$, ta có $DA \cdot BC = AC \cdot BA$. Nếu $\triangle ABC \sim \triangle DBA$, thì $\angle BAC = \angle BDA$. Vì AD là đường phân giác, $\angle BAD = \angle CAD$. Trong $\triangle ABD$, $\angle ADB = \angle BAC$. Ta có $\angle ADB + \angle ADC = 180^\circ$. Nên $\angle BAC + \angle ADC = 180^\circ$. Tuy nhiên, trong $\triangle ABC$, $\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ$. Nếu $\angle BAC = \angle ADB$, và AD là phân giác, ta xét $\triangle ABD$. Nếu $\triangle ABC \sim \triangle DBA$, thì $\angle ABC = \angle DBA$ (chung) và $\angle BAC = \angle BDA$. Do đó $\triangle ABC \sim \triangle DBA$ (g.g). Khi đó $\frac{AB}{DB} = \frac{AC}{DA} = \frac{BC}{BA}$. Từ $\frac{AC}{DA} = \frac{BC}{BA}$, ta có $AB \cdot AC = DA \cdot BC$. Từ $\frac{AB}{DB} = \frac{BC}{BA}$, ta có $AB^2 = DB \cdot BC$. Nếu $\triangle ABC$ cân tại A, thì $AB=AC$. Khi đó $\frac{AB}{DB} = \frac{BC}{AB} = \frac{AB}{DA}$. Suy ra $AB^2 = DB \cdot BC$ và $AB^2 = DA \cdot BC$. Điều này chỉ xảy ra nếu $DB=DA$. Nếu $AB=AC$ và $\triangle ABC \sim \triangle DBA$, thì $\angle ABC = \angle DBA$ và $\angle BAC = \angle BDA$. Trong $\triangle ABD$, $\angle DAB + \angle DBA + \angle BDA = 180^\circ$. Thay $\angle BDA = \angle BAC$, ta có $\angle DAB + \angle ABC + \angle BAC = 180^\circ$. Điều này đúng với mọi tam giác. Xét tỉ lệ cạnh: $\frac{AB}{DB} = \frac{BC}{AB}$. Nếu AD là phân giác, $\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC}$. Nếu $\triangle ABC$ cân tại A, $AB=AC$, thì $\frac{DB}{DC} = 1$, suy ra $DB=DC$. Điều này có nghĩa là D là trung điểm của BC. Tuy nhiên, tam giác ABC đồng dạng với tam giác DBA. Vậy $\angle BAC = \angle BDA$. Nếu $\triangle ABC$ cân tại A, $AB=AC$, thì $\angle ABC = \angle ACB$. Nếu $\triangle ABC \sim \triangle DBA$, thì $\angle BAC = \angle BDA$ và $\angle ABC = \angle DBA$. Vậy $\angle ABC = \angle ACB$. Nếu $\angle BAC = \angle BDA$, và $\angle ABC = \angle ACB$, thì $\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$. Nếu $\angle BAC = \angle BDA$, và AD là phân giác, thì $\angle BAD = \angle CAD$. Trong $\triangle ABD$, $\angle ADB = \angle BAC$. Nếu $\angle BAC = 90^\circ$, thì $\angle ADB = 90^\circ$. Do đó AD vuông góc với BC. Nếu $\triangle ABC$ vuông tại A và AD là đường cao, thì $\triangle ABC \sim \triangle DBA \sim \triangle DAC$. Với AD là phân giác, nếu $\triangle ABC \sim \triangle DBA$, thì $\frac{AB}{DB} = \frac{BC}{BA}$. Nếu $\triangle ABC$ vuông cân tại A, thì $AB=AC$. AD là phân giác cũng là đường cao và trung tuyến. Do đó $DB=DC$. Ta có $\frac{AB}{DB} = \frac{BC}{AB}$. Vì $BC=2DB$ nên $\frac{AB}{DB} = \frac{2DB}{AB}$, suy ra $AB^2 = 2DB^2$, $AB = DB \sqrt{2}$. Nhưng $AB=AC$. $\triangle ABC$ vuông cân tại A, $AB=AC$. AD là phân giác nên $\angle BAD = \angle CAD = 45^\circ$. $\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC} = 1$, nên $DB=DC$. D là trung điểm BC. Trong tam giác vuông cân, đường cao ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. AD = BC/2. Nhưng $AD = \frac{1}{2} BC$ là sai. Đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác vuông cân là một nửa cạnh huyền. $AD = \frac{1}{2} BC$. Nếu AD là phân giác và đường cao, thì $\triangle ABC$ là tam giác cân. Nếu $\triangle ABC \sim \triangle DBA$, thì $\frac{AB}{DB} = \frac{BC}{BA}$. Nếu $\triangle ABC$ vuông cân tại A, $AB=AC$, $BC = AB \sqrt{2}$. D là trung điểm BC, $DB = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} AB \sqrt{2}$. Tỉ lệ $\frac{AB}{DB} = \frac{AB}{\frac{1}{2} AB \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$. Tỉ lệ $\frac{BC}{BA} = \frac{AB \sqrt{2}}{AB} = \sqrt{2}$. Vậy $\triangle ABC \sim \triangle DBA$ khi $\triangle ABC$ vuông cân tại A. Kết luận: Tam giác vuông cân tại A. Chọn đáp án C.
