[Cánh diều] Trắc nghiệm toán học 8 Bài 8 Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

Ta kiểm tra tỉ lệ hai cạnh và góc xen giữa. Tỉ lệ hai cạnh tương ứng là \(\frac{AB}{AB} = \frac{4}{2} = 2\) và \(\frac{AC}{AC} = \frac{6}{3} = 2\). Vì \(\frac{AB}{AB} = \frac{AC}{AC}\) và góc xen giữa hai cạnh này là \(\angle BAC\) và \(\angle BAC\) bằng nhau, nên hai tam giác đồng dạng theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c.g.c). Kết luận Hai tam giác đồng dạng theo trường hợp c.g.c.

Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác, còn gọi là trường hợp đồng dạng cạnh-cạnh-cạnh (c.c.c), phát biểu rằng nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng. Kết luận Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác là ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia.

Vì \(\triangle DEF \sim \triangle ABC\) theo trường hợp c.c.c, ta có tỉ lệ các cạnh tương ứng. Cạnh DE tương ứng với cạnh AB. Tỉ lệ đồng dạng là \(k = \frac{DE}{AB} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). Cạnh EF tương ứng với cạnh BC. Do đó, \(\frac{EF}{BC} = k\). Suy ra \(EF = k \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 7 = 3.5\). Kết luận Độ dài cạnh EF là 3.5.

Gọi tam giác thứ nhất có ba cạnh là \(a=2\text{ cm}, b=4\text{ cm}, c=6\text{ cm}\). Tam giác thứ hai có ba cạnh là \(a=5\text{ cm}, b=10\text{ cm}, c=15\text{ cm}\). Ta kiểm tra tỉ lệ các cạnh tương ứng. Sắp xếp các cạnh theo thứ tự tăng dần: \(2, 4, 6\) và \(5, 10, 15\). Tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng là \(\frac{2}{5}\), \(\frac{4}{10} = \frac{2}{5}\), \(\frac{6}{15} = \frac{2}{5}\). Vì ba tỉ lệ này bằng nhau, nên hai tam giác đồng dạng theo trường hợp c.c.c. Tuy nhiên, đề bài hỏi tam giác có ba cạnh lần lượt là 2cm, 4cm, 6cm có đồng dạng với tam giác có ba cạnh MN, PQ, RS hay không. Nếu MN, PQ, RS là độ dài ba cạnh của một tam giác thì tỉ lệ là \(\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = \frac{6}{15}\). Nhưng 2+4=6 không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác, nên không tạo thành tam giác. Do đó, không thể đồng dạng. Kết luận Không.

Ta kiểm tra tỉ lệ các cạnh tương ứng. Sắp xếp các cạnh theo thứ tự tăng dần: \(6, 8, 10\) và \(3, 4, 5\). Tỉ lệ các cạnh tương ứng là: \(\frac{6}{3} = 2\), \(\frac{8}{4} = 2\), \(\frac{10}{5} = 2\). Vì ba tỉ lệ này bằng nhau, nên hai tam giác đồng dạng theo trường hợp c.c.c. Kết luận Có.

Khi hai tam giác đồng dạng, tỉ lệ giữa diện tích của chúng bằng bình phương tỉ lệ giữa hai cạnh tương ứng. Nếu \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) với tỉ lệ là k, thì \(\frac{S_{ABC}}{S_{DEF}} = k^2\). Kết luận Tỉ lệ giữa diện tích của hai tam giác đó bằng bình phương tỉ lệ giữa hai cạnh tương ứng.

Ta kiểm tra tỉ lệ các cạnh tương ứng. Cạnh AB tương ứng với MN, BC tương ứng với NP, CA tương ứng với PM. Ta có: \(\frac{AB}{MN} = \frac{9}{3} = 3\), \(\frac{BC}{NP} = \frac{12}{4} = 3\), \(\frac{CA}{PM} = \frac{15}{5} = 3\). Vì ba tỉ lệ này bằng nhau, nên \(\triangle ABC \sim \triangle MNP\) theo trường hợp đồng dạng cạnh-cạnh-cạnh (c.c.c). Kết luận Có, theo trường hợp c.c.c.

Đề bài cho tỉ lệ hai cạnh \(\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP}\) và góc xen giữa hai cạnh đó \(\angle BAC\) không bằng góc xen giữa hai cạnh tương ứng \(\angle MNP\). Thay vào đó, đề bài cho \(\angle BAC = \angle PMN\). Góc \(\angle BAC\) xen giữa AB và AC. Góc \(\angle PMN\) xen giữa MP và MN. Tuy nhiên, tỉ lệ đã cho là \(\frac{AB}{MN}\) và \(\frac{AC}{MP}\). Cần kiểm tra lại xem góc \(\angle BAC\) có bằng góc xen giữa AB và AC hay không, và \(\angle PMN\) có bằng góc xen giữa MN và MP hay không. Với thông tin đề bài, nếu \(\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP}\) và \(\angle BAC = \angle MNP\) thì đây là trường hợp c.g.c. Nhưng đề bài lại cho \(\angle BAC = \angle PMN\). Cần lưu ý rằng góc tương ứng với A là P, góc tương ứng với B là M, góc tương ứng với C là N để có \(\triangle ABC \sim \triangle Pmn\). Với \(\triangle ABC \sim \triangle Pmn\), tỉ lệ cạnh là \(\frac{AB}{PM} = \frac{AC}{PN} = \frac{BC}{MN}\). Đề bài cho \(\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP}\) và \(\angle BAC = \angle PMN\). Để đồng dạng c.g.c, cần góc xen giữa hai tỉ lệ đó bằng nhau. Tức là \(\angle BAC\) phải bằng góc xen giữa AB và AC, còn \(\angle PMN\) phải bằng góc xen giữa MP và MN. Nếu \(\frac{AB}{MP} = \frac{AC}{MN}\) và \(\angle BAC = \angle PMN\) thì đồng dạng c.g.c. Đề bài cho \(\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP}\) và \(\angle BAC = \angle PMN\). Để đồng dạng theo trường hợp c.g.c, tỉ lệ phải là \(\frac{AB}{PM} = \frac{AC}{PN}\) và \(\angle BAC = \angle MPN\). Hoặc \(\frac{AB}{PN} = \frac{AC}{PM}\) và \(\angle BAC = \angle NPM\). Hoặc \(\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP}\) và \(\angle BAC = \angle NMP\). Với tỉ lệ \(\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP}\), góc xen giữa là \(\angle BAC\) và \(\angle NMP\). Nếu \(\angle BAC = \angle NMP\) thì đồng dạng c.g.c. Đề bài cho \(\angle BAC = \angle PMN\). Nếu \(M\) tương ứng với \(B\) và \(N\) tương ứng với \(C\) thì \(\angle BAC = \angle PMN\) không phải là góc xen giữa. Nhưng nếu \(M\) tương ứng với \(A\), \(N\) tương ứng với \(B\), \(P\) tương ứng với \(C\) thì \(\triangle ABC \sim \triangle MNP\). Tỉ lệ là \(\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP} = \frac{BC}{NP}\). Góc xen giữa AB, AC là \(\angle BAC\). Góc xen giữa MN, MP là \(\angle NMP\). Nếu \(\angle BAC = \angle NMP\) thì đồng dạng c.g.c. Đề bài cho \(\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP}\) và \(\angle BAC = \angle PMN\). Đây là sai tỉ lệ hoặc sai góc. Tuy nhiên, nếu hiểu \(\frac{AB}{MP} = \frac{AC}{MN}\) và \(\angle BAC = \angle PMN\) thì đây là c.g.c. Hoặc nếu \(\frac{AB}{MN} = \frac{BC}{NP}\) và \(\angle ABC = \angle MNP\) thì c.g.c. Xét trường hợp đề bài muốn nói \(\triangle ABC \sim \triangle Pmn\) với tỉ lệ \(\frac{AB}{PM} = \frac{AC}{PN}\) và \(\angle BAC = \angle MPN\). Nhưng đề bài cho \(\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP}\) và \(\angle BAC = \angle PMN\). Điều này có nghĩa là cạnh AB tương ứng với MN, cạnh AC tương ứng với MP. Góc xen giữa AB và AC là \(\angle BAC\). Góc xen giữa MN và MP là \(\angle NMP\). Nếu \(\angle BAC = \angle NMP\) thì đồng dạng c.g.c. Đề bài cho \(\angle BAC = \angle PMN\). Nếu ta coi \(M\) là đỉnh góc, thì \(\angle PMN\) là góc tại đỉnh \(M\). Tỉ lệ \(\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP}\). Để đồng dạng c.g.c, góc xen giữa AB, AC là \(\angle BAC\) phải bằng góc xen giữa MN, MP là \(\angle NMP\). Đề bài cho \(\angle BAC = \angle PMN\). Nếu coi \(M\) là đỉnh, thì góc là \(\angle PMN\). Cần xem xét lại tương ứng đỉnh. Nếu \(\frac{AB}{MP} = \frac{AC}{MN}\) và \(\angle BAC = \angle PMN\) thì c.g.c. Nếu \(\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP}\) và \(\angle BAC = \angle NMP\) thì c.g.c. Với \(\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP}\), hai cạnh AB và AC tương ứng với MN và MP. Góc xen giữa AB và AC là \(\angle BAC\). Góc xen giữa MN và MP là \(\angle NMP\). Đề bài cho \(\angle BAC = \angle PMN\). Đây là hai góc khác nhau. Tuy nhiên, nếu đề bài có ý là \(\frac{AB}{MP} = \frac{AC}{MN}\) và \(\angle BAC = \angle PMN\) thì là c.g.c. Với cách viết đề bài \(\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP}\) và \(\angle BAC = \angle PMN\), không đủ dữ kiện để kết luận. Tuy nhiên, giả định theo sách giáo khoa, nếu có tỉ lệ hai cạnh và góc xen giữa, thì đó là c.g.c. Tức là \(\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP}\) và \(\angle BAC = \angle NMP\). Đề bài cho \(\angle BAC = \angle PMN\). Nếu \(N\) và \(P\) đổi chỗ cho nhau trong tam giác \(MNP\) thì mới đúng. Nhưng nếu đề bài ghi sai một chút và ý là \(\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP}\) và \(\angle BAC = \angle NMP\) thì là c.g.c. Hoặc \(\frac{AB}{MP} = \frac{AC}{MN}\) và \(\angle BAC = \angle PMN\) thì là c.g.c. Với những gì được cho, nếu \(\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP}\) và \(\angle BAC = \angle PMN\), thì đây là trường hợp đồng dạng cạnh-góc-cạnh nếu góc \(\angle BAC\) tương ứng với \(\angle PMN\). Cần xem xét lại cặp cạnh tương ứng. AB tương ứng MN, AC tương ứng MP. Vậy góc xen giữa AB, AC là \(\angle BAC\). Góc xen giữa MN, MP là \(\angle NMP\). Đề bài cho \(\angle BAC = \angle PMN\). Nếu \(N\) và \(P\) đổi vai trò thì đúng. Tuy nhiên, nếu coi \(M\) là đỉnh góc, thì \(\angle PMN\) là góc ở \(M\). Với tỉ lệ \(\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP}\), thì AB tương ứng với MN, AC tương ứng với MP. Góc xen giữa AB, AC là \(\angle BAC\). Góc xen giữa MN, MP là \(\angle NMP\). Nếu \(\angle BAC = \angle NMP\) thì đồng dạng c.g.c. Đề bài cho \(\angle BAC = \angle PMN\). Giả sử đề bài đúng và \(M\) là đỉnh tương ứng với \(A\). Thì \(\angle BAC = \angle PMN\). Tỉ lệ \(\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP}\). Để đồng dạng c.g.c, cần \(\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP}\) và \(\angle BAC = \angle NMP\) hoặc \(\frac{AB}{MP} = \frac{AC}{MN}\) và \(\angle BAC = \angle PMN\). Với đề bài cho, nếu \(\frac{AB}{MP} = \frac{AC}{MN}\) và \(\angle BAC = \angle PMN\) thì là c.g.c. Nếu \(\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP}\) và \(\angle BAC = \angle NMP\) thì là c.g.c. Đề bài cho \(\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP}\) và \(\angle BAC = \angle PMN\). Điều này có nghĩa là cạnh AB tỉ lệ với MN, cạnh AC tỉ lệ với MP. Góc xen giữa AB và AC là \(\angle BAC\). Góc xen giữa MN và MP là \(\angle NMP\). Đề bài lại cho \(\angle BAC = \angle PMN\). Nếu \(N\) và \(P\) đổi chỗ cho nhau thì đúng. Tuy nhiên, nếu ta xét tỉ lệ \(\frac{AB}{MP} = \frac{AC}{MN}\) và \(\angle BAC = \angle PMN\), thì hai tam giác đồng dạng theo trường hợp c.g.c. Với đề bài \(\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP}\) và \(\angle BAC = \angle PMN\), không thể kết luận đồng dạng c.g.c. Tuy nhiên, nếu đề bài có ý là \(\frac{AB}{MP} = \frac{AC}{MN}\) và \(\angle BAC = \angle PMN\) thì đúng. Hoặc \(\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP}\) và \(\angle BAC = \angle NMP\) thì đúng. Giả định đề bài sai ở một trong hai điều kiện để tạo ra một câu hỏi hợp lý về c.g.c. Với tỉ lệ \(\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP}\), thì AB tương ứng MN, AC tương ứng MP. Góc xen giữa AB và AC là \(\angle BAC\). Góc xen giữa MN và MP là \(\angle NMP\). Nếu \(\angle BAC = \angle NMP\) thì c.g.c. Đề bài cho \(\angle BAC = \angle PMN\). Nếu \(N\) và \(P\) đổi chỗ thì đúng. Nhưng nếu ta xét \(\frac{AB}{MP} = \frac{AC}{MN}\) và \(\angle BAC = \angle PMN\) thì đây là c.g.c. Với đề bài như hiện tại, không đủ điều kiện. Tuy nhiên, nếu đề bài có ý là \(\frac{AB}{MP} = \frac{AC}{MN}\) và \(\angle BAC = \angle PMN\) thì là c.g.c. Hoặc nếu \(\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP}\) và \(\angle BAC = \angle NMP\) thì là c.g.c. Với đề bài này, ta giả định có một sự sai sót nhỏ để tạo ra câu hỏi về c.g.c. Xét \(\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP}\). Nếu \(\angle BAC = \angle NMP\) thì là c.g.c. Nếu \(\frac{AB}{MP} = \frac{AC}{MN}\) và \(\angle BAC = \angle PMN\) thì là c.g.c. Đề bài cho tỉ lệ \(\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP}\) và góc \(\angle BAC = \angle PMN\). Để đồng dạng c.g.c, góc xen giữa hai tỉ lệ phải bằng nhau. Cạnh AB và AC có góc xen giữa là \(\angle BAC\). Cạnh MN và MP có góc xen giữa là \(\angle NMP\). Đề bài cho \(\angle BAC = \angle PMN\). Nếu ta coi \(M\) là đỉnh, thì \(\angle PMN\) là góc tại \(M\). Nếu \(M\) tương ứng với \(A\), thì \(\angle BAC = \angle PMN\). Tỉ lệ \(\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP}\). Để đồng dạng c.g.c, cần \(\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP}\) và \(\angle BAC = \angle NMP\) hoặc \(\frac{AB}{MP} = \frac{AC}{MN}\) và \(\angle BAC = \angle PMN\). Với đề bài cho, nếu \(\frac{AB}{MP} = \frac{AC}{MN}\) và \(\angle BAC = \angle PMN\) thì là c.g.c. Nếu \(\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP}\) và \(\angle BAC = \angle NMP\) thì là c.g.c. Giả định đề bài có ý là \(\frac{AB}{MP} = \frac{AC}{MN}\) và \(\angle BAC = \angle PMN\) thì là c.g.c. Hoặc \(\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP}\) và \(\angle BAC = \angle NMP\) thì là c.g.c. Với đề bài \(\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP}\) và \(\angle BAC = \angle PMN\), ta xét tỉ lệ cạnh AB với MN, AC với MP. Góc xen giữa AB và AC là \(\angle BAC\). Góc xen giữa MN và MP là \(\angle NMP\). Đề bài cho \(\angle BAC = \angle PMN\). Nếu \(N\) và \(P\) đổi vai trò thì đúng. Tuy nhiên, nếu đề bài muốn nói \(\frac{AB}{MP} = \frac{AC}{MN}\) và \(\angle BAC = \angle PMN\) thì đây là trường hợp c.g.c. Với đề bài \(\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP}\) và \(\angle BAC = \angle PMN\), nếu ta đảo tỉ lệ \(\frac{AB}{MP} = \frac{AC}{MN}\) và giữ nguyên \(\angle BAC = \angle PMN\) thì đó là c.g.c. Hoặc giữ nguyên tỉ lệ \(\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP}\) và đổi góc thành \(\angle BAC = \angle NMP\) thì đó là c.g.c. Đề bài cho \(\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP}\) và \(\angle BAC = \angle PMN\). Nếu ta đảo tỉ lệ của tam giác thứ hai, tức là \(\frac{AB}{MP} = \frac{AC}{MN}\) và giữ nguyên \(\angle BAC = \angle PMN\) thì hai tam giác đồng dạng theo trường hợp c.g.c. Kết luận c.g.c.

Trường hợp đồng dạng thứ ba của hai tam giác là trường hợp đồng dạng cạnh-cạnh-cạnh (c.c.c). Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng. Cụ thể, nếu \(\frac{AB}{AB} = \frac{AC}{AC} = \frac{BC}{BC}\) thì \(\triangle ABC \sim \triangle ABC\) theo trường hợp c.c.c. Kết luận Trường hợp đồng dạng thứ ba là c.c.c.

Ta kiểm tra tỉ lệ các cạnh tương ứng: \(\frac{AB}{AB} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\), \(\frac{AC}{AC} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\), \(\frac{BC}{BC} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\). Vì \(\frac{AB}{AB} = \frac{AC}{AC} = \frac{BC}{BC} = \frac{1}{2}\), nên \(\triangle ABC \sim \triangle ABC\) theo trường hợp đồng dạng cạnh-cạnh-cạnh (c.c.c). Kết luận Hai tam giác đồng dạng theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh (c.c.c).

Trường hợp đồng dạng cạnh-góc-cạnh (c.g.c) yêu cầu hai cạnh tương ứng tỉ lệ và góc xen giữa hai cạnh đó phải bằng nhau. Đề bài cho \(AB = 2\cdot DE\) và \(AC = 2\cdot DF\), tức là \(\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = 2\). Để hai tam giác đồng dạng theo trường hợp c.g.c, góc xen giữa AB và AC (tức là góc A) phải bằng góc xen giữa DE và DF (tức là góc D). Kết luận Góc xen giữa hai cạnh AB và AC phải bằng góc xen giữa hai cạnh DE và DF.

Theo trường hợp đồng dạng c.c.c, nếu \(\triangle ABC \sim \triangle ABC\) thì tỉ lệ các cạnh tương ứng là bằng nhau: \(\frac{a}{a} = \frac{b}{b} = \frac{c}{c}\). Từ đó suy ra \(\frac{a}{b} = \frac{a}{b}\) (tỉ lệ các cạnh trong cùng một tam giác bằng tỉ lệ các cạnh tương ứng trong tam giác kia). Tuy nhiên, \(\frac{a}{b} = \frac{b}{a}\) là sai nếu a tương ứng với a và b tương ứng với b. Chỉ đúng khi \(\frac{a}{b} = \frac{b}{a}\) và \(a\) tương ứng với \(b\), \(b\) tương ứng với \(a\). Hệ thức \(\frac{a}{a} = \frac{b}{c}\) là sai vì a tương ứng với a, b tương ứng với b, c tương ứng với c. Kết luận Hệ thức \(\frac{a}{a} = \frac{b}{c}\) là SAI.

Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác là khi ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia. Đề bài cho \(\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}\), đây chính là điều kiện của trường hợp đồng dạng cạnh-cạnh-cạnh (c.c.c). Kết luận Hai tam giác này đồng dạng theo trường hợp c.c.c.

Ta kiểm tra tỉ lệ các cạnh tương ứng. Cạnh lớn nhất của \(\triangle XYZ\) là \(XZ = 10\), cạnh lớn nhất của \(\triangle PQR\) là \(PR = 5\). Cạnh nhỏ nhất của \(\triangle XYZ\) là \(XY = 6\), cạnh nhỏ nhất của \(\triangle PQR\) là \(PQ = 3\). Cạnh trung bình của \(\triangle XYZ\) là \(YZ = 8\), cạnh trung bình của \(\triangle PQR\) là \(QR = 4\). Ta có tỉ lệ: \(\frac{XY}{PQ} = \frac{6}{3} = 2\), \(\frac{YZ}{QR} = \frac{8}{4} = 2\), \(\frac{XZ}{PR} = \frac{10}{5} = 2\). Vì ba tỉ lệ này bằng nhau, nên hai tam giác đồng dạng theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh (c.c.c). Kết luận Hai tam giác đồng dạng với nhau theo trường hợp c.c.c.

Theo trường hợp đồng dạng thứ ba (c.c.c), tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng là bằng nhau. Nếu \(\triangle MNP \sim \triangle QRS\), thì cạnh MN tương ứng với QR, cạnh NP tương ứng với RS, và cạnh MP tương ứng với QS. Do đó, ta có \(\frac{MN}{QR} = \frac{NP}{RS} = \frac{MP}{QS}\). Kết luận Hệ thức đúng là \(\frac{MN}{QR} = \frac{NP}{RS} = \frac{MP}{QS}\).