[Cánh diều] Trắc nghiệm Toán học 7 bài 12 Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Ba đường trung trực của mọi tam giác luôn đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp. Nếu tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trên một đường trung trực, điều này có nghĩa là tâm đó cũng nằm trên đường trung trực đó. Tuy nhiên, thông tin này không mang lại tính chất đặc biệt cho tam giác. Cần xem xét lại. Nếu tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trên một cạnh của tam giác, thì cạnh đó là đường kính của đường tròn ngoại tiếp, và tam giác đó là tam giác vuông. Nhưng câu hỏi nói nằm trên một đường trung trực, không phải cạnh. Có lẽ câu hỏi muốn ám chỉ trường hợp tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trên một cạnh. Nếu tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trên một cạnh, tam giác đó là tam giác vuông. Kết luận Nếu tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trên một cạnh của tam giác, thì tam giác đó là tam giác vuông.

Theo định nghĩa, đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó. Mọi điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. Kết luận Tập hợp các điểm cách đều hai đỉnh của một cạnh là đường trung trực của cạnh đó.

Câu hỏi này liên quan đến tâm đường tròn nội tiếp, không phải tâm đường tròn ngoại tiếp. Tuy nhiên, để trả lời chính xác theo chủ đề, cần khẳng định rằng tính chất cách đều ba cạnh là của tâm đường tròn nội tiếp, được tạo bởi giao điểm ba đường phân giác. Nếu câu hỏi bị nhầm lẫn và muốn hỏi về tính chất của đường trung trực, thì không có điểm nào trong tam giác cách đều ba cạnh trừ trường hợp tam giác đều. Tuy nhiên, theo ngữ cảnh bài 12 về đường trung trực, có thể hiểu câu hỏi có ý muốn hỏi về một loại tâm khác. Nhưng dựa trên định nghĩa, điểm cách đều ba cạnh là tâm đường tròn nội tiếp. Nếu câu hỏi muốn hỏi về điểm cách đều ba đỉnh, thì đó là tâm đường tròn ngoại tiếp. Giả sử câu hỏi có ý hỏi về điểm cách đều ba đỉnh. Kết luận Điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Ba đường trung trực của một tam giác luôn đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp. Nếu tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trên một cạnh của tam giác, điều đó có nghĩa là cạnh đó là đường kính của đường tròn ngoại tiếp. Một tam giác có cạnh huyền là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì đó là tam giác vuông. Kết luận Nếu điểm đồng quy của ba đường trung trực nằm trên một cạnh, tam giác đó là tam giác vuông.

Gọi M là trung điểm AB, N là trung điểm AC. Giả sử đường trung trực của AB đi qua N. Điều này có nghĩa là N cách đều A và B (NA = NB). Vì N là trung điểm AC nên NA = NC. Suy ra NB = NC. Trong tam giác ABC, có NA = NC và NB = NC. Điều này không đủ để kết luận tam giác cân. Tuy nhiên, nếu đường trung trực của AB đi qua trung điểm N của AC, thì N phải cách đều A và B. Vì N là trung điểm của AC, nên NA = NC. Vậy ta có NA = NB. Trong tam giác ABC, nếu N là trung điểm của AC và NA = NB, thì NB là đường trung tuyến ứng với cạnh AC. Một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó vuông tại đỉnh đối diện với cạnh đó. Điều này không đúng. Xét lại: Nếu đường trung trực của AB đi qua trung điểm N của AC, thì N cách đều A và B. Do đó NA = NB. Vì N là trung điểm của AC, ta có NA = NC. Từ NA = NB và NA = NC, ta có NB = NC. Trong tam giác ABC, NB là đường trung tuyến từ B đến AC. Vì NB = NA = NC, nên tam giác ABC cân tại B. Tuy nhiên, một cách diễn đạt khác: Nếu đường trung trực của AB đi qua trung điểm N của AC, thì N cách đều A và B. Do đó NA = NB. Vì N là trung điểm của AC, nên NA = NC. Suy ra NB = NC. Xét tam giác ABC. Điểm N trên AC sao cho NA = NC và NA = NB. Vậy NB = NC. Điều này có nghĩa là N là trung điểm của BC. Nhưng N lại là trung điểm của AC. Điều này chỉ xảy ra khi B trùng với C, không phải tam giác. Quay lại: Gọi M là trung điểm AB. Đường trung trực của AB là đường d đi qua M, d vuông góc AB. Nếu d đi qua N (trung điểm AC). Trong tam giác ABC, MN là đường trung bình của tam giác ABC (nếu N là trung điểm BC). Nhưng N là trung điểm AC. MN nối trung điểm AB và AC. MN song song BC. Nếu đường trung trực của AB đi qua N (trung điểm AC), thì N cách đều A và B, tức là NA = NB. Vì N là trung điểm AC, nên NA = NC. Suy ra NB = NC. Trong tam giác ABC, đường trung tuyến BN làm cho NB = NC. Điều này có nghĩa là tam giác ABC cân tại B. Tuy nhiên, đề bài cho đường trung trực của AB đi qua trung điểm AC. Điều này có nghĩa là trung điểm AC (N) cách đều A và B. Do đó NA = NB. Vì N là trung điểm của AC, ta có NA = NC. Từ NA = NB và NA = NC, ta có NB = NC. Trong tam giác ABC, điều này có nghĩa là N là trung điểm của AC và N nằm trên đường trung trực của AB. Nếu N là trung điểm của AC và NA = NB, thì tam giác ABC cân tại B. Nhưng điều này lại không phải là tính chất phổ biến. Hãy xem xét một trường hợp khác. Nếu đường trung trực của AB đi qua trung điểm N của AC, thì điểm N cách đều A và B. Nghĩa là NA = NB. Vì N là trung điểm của AC, ta có NA = NC. Từ NA = NB và NA = NC, suy ra NB = NC. Điều này có nghĩa là N là trung điểm của AC và cũng là điểm cách đều A và B. Trong tam giác ABC, nếu đường trung tuyến BN bằng một nửa cạnh AC (NB = NA = NC), thì tam giác ABC vuông tại B. Tuy nhiên, đề bài không nói đường trung trực của AB đi qua trung điểm của BC. Đề bài nói đường trung trực của AB đi qua trung điểm của AC. Gọi M là trung điểm AB. Đường trung trực của AB là đường thẳng d qua M và vuông góc AB. Nếu d đi qua N (trung điểm AC), thì N cách đều A và B, tức là NA = NB. Vì N là trung điểm AC, nên NA = NC. Do đó, NB = NC. Trong tam giác ABC, NB là đường trung tuyến ứng với cạnh AC. Vì NB = NC, tam giác NBC cân tại N. Điều này không giúp ích. Quay lại NA = NB. N là trung điểm AC. Vậy NA = NC. Vậy NA = NB = NC. Điều này chỉ xảy ra khi tam giác ABC vuông tại B và N là trung điểm của cạnh huyền AC. Nhưng đề bài nói đường trung trực của AB đi qua N. Đường trung trực của AB vuông góc với AB tại trung điểm M. Nếu đường này đi qua N, thì tam giác AMN vuông tại M. Điều này không cho ta kết luận về tam giác ABC. Hãy xét trường hợp tam giác ABC cân tại A. Khi đó AB = AC. Đường trung trực của AB sẽ cắt AC tại một điểm. Liệu điểm đó có phải là trung điểm của AC? Không chắc. Quay lại: NA = NB. N là trung điểm AC. Vậy NA = NC. Suy ra NB = NC. Tam giác ABC có đường trung tuyến BN bằng NC. Điều này có nghĩa là tam giác ABC cân tại B. Tuy nhiên, đề bài cho đường trung trực của AB đi qua trung điểm AC. Điều này có nghĩa là trung điểm AC (N) cách đều A và B. Do đó NA = NB. Vì N là trung điểm AC, ta có NA = NC. Vậy NB = NC. Trong tam giác ABC, NB là đường trung tuyến ứng với cạnh AC. Nếu NB = NC, thì tam giác ABC cân tại B. Nhưng đề bài này có vẻ như có một sự nhầm lẫn hoặc cần suy luận khác. Một cách suy luận khác: Nếu đường trung trực của AB đi qua trung điểm N của AC, thì N cách đều A và B. Tức là NA = NB. Vì N là trung điểm của AC, ta có NA = NC. Vậy NA = NB = NC. Điều này có nghĩa là điểm N cách đều ba đỉnh A, B, C. Do đó N là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. Nếu N là trung điểm của AC và là tâm đường tròn ngoại tiếp, thì AC phải là đường kính. Tam giác ABC có đường kính là cạnh huyền AC. Vậy tam giác ABC vuông tại B. Tuy nhiên, đề bài hỏi về đường trung trực của AB. Nếu tam giác ABC vuông tại B, thì đường trung trực của AB sẽ cắt AC tại trung điểm của AC. Điều này đúng. Vậy, nếu đường trung trực của AB đi qua trung điểm của AC, thì tam giác ABC vuông tại B. Xét lại các lựa chọn. Lựa chọn 4 là tam giác cân tại A. Nếu tam giác ABC cân tại A, thì AB = AC. Đường trung trực của AB sẽ vuông góc với AB tại trung điểm M của AB. Nếu đường này đi qua trung điểm N của AC, thì N cách đều A và B. Tức là NA = NB. Mà NA = NC (do N trung điểm AC). Vậy NB = NC. Suy ra tam giác ABC cân tại B. Nếu tam giác ABC cân tại A, nó không nhất thiết cân tại B. Quay lại tính chất: đường trung trực của AB đi qua trung điểm N của AC. Điều này có nghĩa là N cách đều A và B. Tức là NA = NB. Vì N là trung điểm của AC, ta có NA = NC. Vậy NB = NC. Trong tam giác ABC, NB là đường trung tuyến ứng với cạnh AC. Nếu NB = NC, thì tam giác ABC cân tại B. Điều này cũng không đúng với mọi trường hợp. Có một tính chất khác: Nếu đường trung trực của một cạnh đi qua một đỉnh đối diện, thì tam giác đó cân. Ở đây, đường trung trực của AB đi qua trung điểm N của AC. Điều này không giống với trường hợp trên. Hãy xem xét tính chất của đường trung bình. Nếu M là trung điểm AB, N là trung điểm AC, thì MN song song BC. Đường trung trực của AB vuông góc AB tại M. Nếu đường này đi qua N, thì MN vuông góc AB. Điều này có nghĩa là AB vuông góc với AC, tức là tam giác ABC vuông tại A. Hãy kiểm tra lại: Tam giác ABC vuông tại A. Gọi N là trung điểm AC. Đường trung trực của AB vuông góc với AB tại M (trung điểm AB). Nếu đường này đi qua N, thì góc AMN = 90 độ. Trong tam giác ABC vuông tại A, MN là đường trung bình nối trung điểm AB và AC. MN song song BC. Nếu MN vuông góc AB, thì BC vuông góc AB, điều này là đúng khi tam giác ABC vuông tại A. Vậy, nếu đường trung trực của AB đi qua trung điểm N của AC, thì tam giác ABC vuông tại A. Lựa chọn 2 là tam giác vuông tại A. Kết luận Nếu đường trung trực của AB đi qua trung điểm của AC, thì tam giác ABC vuông tại A.

Trong tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền. Điều này xuất phát từ việc đường trung trực của hai cạnh góc vuông cắt nhau tại trung điểm của cạnh huyền. Cụ thể, đường trung trực của AB đi qua trung điểm AB và vuông góc AB. Đường trung trực của AC đi qua trung điểm AC và vuông góc AC. Hai đường này cắt nhau tại trung điểm của BC. Kết luận Trong tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp nằm ở trung điểm của cạnh huyền.

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó. Vì vậy, đường trung trực của AB sẽ vuông góc với chính cạnh AB tại trung điểm M của AB. Các lựa chọn khác không phải là định nghĩa hoặc tính chất trực tiếp của đường trung trực của AB. Kết luận Đường trung trực của AB vuông góc với cạnh AB.

Điểm O nằm trên đường trung trực của AB nên cách đều A và B (OA = OB). Điểm O cũng nằm trên đường trung trực của AC nên cách đều A và C (OA = OC). Từ OA = OB và OA = OC, ta suy ra OA = OB = OC. Điều này có nghĩa là O cách đều ba đỉnh A, B và C. Kết luận Điểm O cách đều ba đỉnh A, B và C.

Trong tam giác đều, ba đường trung trực đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp. Do tính đối xứng của tam giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp cũng chính là tâm đường tròn nội tiếp, trọng tâm và trực tâm. Vì vậy, điểm O cách đều ba đỉnh và cũng cách đều ba cạnh. Kết luận Trong tam giác đều, giao điểm ba đường trung trực cách đều ba đỉnh và là tâm đường tròn nội tiếp.

Tâm đường tròn ngoại tiếp của một tam giác là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác đó. Điều này là do tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của ba đường trung trực của các cạnh, và mỗi đường trung trực là tập hợp các điểm cách đều hai mút của đoạn thẳng. Do đó, tâm đường tròn ngoại tiếp cách đều ba đỉnh của tam giác. Kết luận Điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp có tính chất OA = OB = OC.

Trong tam giác cân ABC với AB = AC, đường trung tuyến AM đồng thời là đường cao và đường phân giác ứng với đỉnh A. Đường trung trực của BC là đường thẳng đi qua trung điểm M của BC và vuông góc với BC. Trong trường hợp tam giác cân, đường trung tuyến AM chính là đường thẳng này. Tuy nhiên, câu hỏi hỏi về đường trung trực của BC, và định nghĩa của nó là đường đi qua trung điểm M và vuông góc với BC. Kết luận Đường trung trực của BC là đường thẳng đi qua M và vuông góc với BC.

Theo tính chất ba đường trung trực của tam giác, điểm đồng quy của ba đường trung trực chính là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác. Điểm này là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Kết luận Điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Tính chất cơ bản của ba đường trung trực trong bất kỳ tam giác nào là chúng luôn đồng quy tại một điểm duy nhất. Điểm này được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Kết luận Ba đường trung trực của một tam giác luôn đồng quy tại một điểm.

Theo định nghĩa và tính chất của đường trung trực, mọi điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. Nếu M nằm trên đường trung trực của AB, thì khoảng cách từ M đến A bằng khoảng cách từ M đến B. Kết luận Nếu điểm M nằm trên đường trung trực của cạnh AB, thì MA = MB.

Ba đường trung trực của một tam giác luôn đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy này có tính chất cách đều ba đỉnh của tam giác, do đó nó là tâm của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác, hay còn gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp. Kết luận Điểm đồng quy của ba đường trung trực là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác.