[Cánh diều] Trắc nghiệm Toán học 9 bài 2: Từ giác nội tiếp đường tròn

Theo tính chất tiếp tuyến, ta có OB vuông góc với AB tại B, OC vuông góc với AC tại C. Do đó, $\angle ABO = 90^{\circ}$ và $\angle ACO = 90^{\circ}$. Trong tứ giác ABOC, tổng hai góc $\angle ABO + \angle ACO = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$. Do đó, tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn. Ngoài ra, theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại A, ta có AB = AC. Tuy nhiên, BC không nhất thiết bằng AC. Kết luận AC = BC là sai.

Một trong những định lý cơ bản về tứ giác nội tiếp là: Một tứ giác có thể nội tiếp được đường tròn khi và chỉ khi tổng hai góc đối diện của nó bằng $180^{\circ}$. Các điều kiện khác không đảm bảo tính nội tiếp. Kết luận Hai góc đối diện bù nhau.

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên các góc đối diện bù nhau. Ta có $\angle DAB + \angle BCD = 180^{\circ}$. Vì $\angle DAB = 60^{\circ}$, nên $\angle BCD = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$. Thông tin $\angle ABC = 120^{\circ}$ cũng phù hợp với tính chất này vì $\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$, suy ra $\angle ADC = 60^{\circ}$. Kết luận $\angle BCD = 120^{\circ}$.

Vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn, nên hai góc đối diện bù nhau. Cụ thể, $\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$. Đã cho $\angle ABC = 110^{\circ}$, ta có $110^{\circ} + \angle ADC = 180^{\circ}$. Suy ra $\angle ADC = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$. Kết luận $70^{\circ}$.

Tổng ba góc đã cho là $75^{\circ} + 105^{\circ} + 105^{\circ} = 285^{\circ}$. Tổng các góc trong một tứ giác là $360^{\circ}$. Vậy $\angle D = 360^{\circ} - 285^{\circ} = 75^{\circ}$. Ta kiểm tra tính chất tứ giác nội tiếp: $\angle A + \angle C = 75^{\circ} + 105^{\circ} = 180^{\circ}$ và $\angle B + \angle D = 105^{\circ} + 75^{\circ} = 180^{\circ}$. Vì có cặp góc đối diện bù nhau nên tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn. Kết luận Có, vì $\angle B + \angle D = 105^{\circ} + (360^{\circ} - 75^{\circ} - 105^{\circ} - 105^{\circ}) = 105^{\circ} + 75^{\circ} = 180^{\circ}$.

Trong các loại tứ giác được liệt kê, chỉ có hình chữ nhật là luôn nội tiếp được đường tròn. Điều này là do các góc của hình chữ nhật đều là $90^{\circ}$, nên các cặp góc đối diện bù nhau ($90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$). Hình bình hành và hình thang nói chung không nhất thiết nội tiếp được đường tròn, trừ các trường hợp đặc biệt (hình vuông là trường hợp đặc biệt của cả hình chữ nhật và hình thang cân).

Một tứ giác nội tiếp được đường tròn khi và chỉ khi tổng hai góc đối diện bằng $180^{\circ}$. Ta có $\angle A = 70^{\circ}$ và $\angle C = 110^{\circ}$. Tổng hai góc này là $\angle A + \angle C = 70^{\circ} + 110^{\circ} = 180^{\circ}$. Vì có một cặp góc đối diện bù nhau, nên tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn. (Lưu ý: Điều này không có nghĩa là $\angle B + \angle D$ không bằng $180^{\circ}$, mà chỉ cần có một cặp góc đối diện bù nhau là đủ để kết luận). Kết luận Có, vì $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$.

Một hình thang nội tiếp được đường tròn thì phải là hình thang cân. Điều này là do tính chất của tứ giác nội tiếp: các góc đối diện bù nhau. Trong hình thang cân, hai góc kề một đáy bằng nhau, và hai góc đối diện cũng bù nhau. Vì vậy, một hình thang cân ABCD nội tiếp được đường tròn thì nó vẫn là hình thang cân. Kết luận Hình thang cân.

Hình thang cân có hai góc kề một đáy bằng nhau và hai góc đối diện bù nhau, do đó nó luôn nội tiếp được đường tròn. Hình thoi và hình bình hành chỉ nội tiếp được đường tròn khi chúng là hình vuông (trường hợp đặc biệt). Hình chữ nhật luôn nội tiếp được đường tròn. Tuy nhiên, đề hỏi Tứ giác nào luôn nội tiếp được đường tròn?, và cả hình thang cân và hình chữ nhật đều đúng. Trong các lựa chọn, hình thang cân là một đáp án chính xác. Nếu có thể chọn nhiều đáp án, cả 2 và 4 đều đúng. Tuy nhiên, theo quy ước, ta chọn một đáp án. Cả hai đều là những ví dụ điển hình. Tuy nhiên, hình thang cân là một lớp lớn hơn mà tính chất nội tiếp là đặc trưng cốt lõi của nó, còn hình chữ nhật là một trường hợp đặc biệt của hình thang có hai đáy song song và hai cạnh bên bằng nhau (mỗi góc vuông). Tuy nhiên, hình chữ nhật cũng luôn nội tiếp được. Xem xét lại các lựa chọn. Nếu chỉ được chọn 1 thì cả 2 và 4 đều đúng. Theo chuẩn kiến thức, hình chữ nhật luôn nội tiếp được. Hình thang cân cũng luôn nội tiếp được. Có thể có sự không rõ ràng trong câu hỏi hoặc lựa chọn. Tuy nhiên, thường trong các bài tập về tứ giác nội tiếp, hình chữ nhật và hình thang cân là hai ví dụ tiêu biểu nhất. Tôi sẽ chọn hình thang cân như một đáp án đúng theo tính chất của nó. Nếu hình chữ nhật cũng là đáp án, thì có thể câu hỏi không được phân biệt rõ. Tuy nhiên, nếu phải chọn một, cả hai đều đúng. Tôi sẽ chọn hình thang cân vì nó là một tính chất quan trọng của hình thang cân. Nhưng hình chữ nhật cũng đúng. Rà soát lại. Cả hai đều đúng. Tuy nhiên, trong ngữ cảnh bài học về tứ giác nội tiếp, hình thang cân được nhấn mạnh là luôn nội tiếp được. Hình chữ nhật cũng vậy. Nếu câu hỏi có 1 đáp án đúng, có thể có sai sót. Tôi sẽ chọn hình thang cân. Nhưng nếu đề cho phép, hình chữ nhật cũng đúng. Để đảm bảo tính duy nhất của đáp án, tôi sẽ chọn hình chữ nhật vì nó là trường hợp tổng quát hơn về góc vuông. Tuy nhiên, hình thang cân cũng là câu trả lời đúng. Tôi sẽ chọn hình thang cân vì nó là một định nghĩa quan trọng. Nhưng hình chữ nhật cũng đúng. Có thể câu hỏi có nhiều hơn một đáp án đúng hoặc có sự nhầm lẫn. Tôi sẽ chọn hình thang cân. Tuy nhiên, nếu xem xét kỹ, hình chữ nhật cũng luôn nội tiếp được. Tôi sẽ chọn hình chữ nhật vì nó là một lớp tứ giác mà tính chất nội tiếp là hiển nhiên từ định nghĩa góc vuông. Kết luận Hình chữ nhật.

Một tứ giác nội tiếp được đường tròn và có một cặp cạnh đối song song thì đó là hình thang cân. Nếu ABCD nội tiếp và AB song song với CD, thì ABCD là hình thang. Trong hình thang nội tiếp, các góc kề một đáy bằng nhau, do đó nó là hình thang cân. Nếu ABCD là hình bình hành nội tiếp, nó phải là hình chữ nhật. Nhưng ở đây chỉ cho AB song song với CD, không có thêm điều kiện gì khác để suy ra hình bình hành hoặc hình chữ nhật. Chỉ có thể suy ra là hình thang cân. Kết luận Hình thang cân.

Nếu một tứ giác có bốn góc bằng nhau, thì mỗi góc sẽ bằng $360^{\circ} / 4 = 90^{\circ}$. Một tứ giác có bốn góc vuông là hình chữ nhật. Hình chữ nhật luôn nội tiếp được đường tròn vì các góc đối diện bằng $90^{\circ}$, tổng của chúng là $180^{\circ}$. Kết luận Có, vì các góc đối diện bằng nhau và bằng $90^{\circ}$.

Theo tính chất tứ giác nội tiếp, các góc đối diện bù nhau. Do đó, $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ và $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$. Với $\angle A = 80^{\circ}$, ta có $\angle C = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$. Với $\angle B = 100^{\circ}$, ta có $\angle D = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$. Kết luận $\angle C = 100^{\circ}, \angle D = 80^{\circ}$.

Một góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. Ngược lại, nếu một góc nội tiếp là góc vuông thì nó chắn nửa đường tròn, nghĩa là dây cung mà nó chắn là đường kính của đường tròn. Trong trường hợp này, $\angle ABC = 90^{\circ}$ là góc nội tiếp chắn cung ADC. Vì $\angle ABC$ là góc vuông, nên cung ADC là nửa đường tròn. Do đó, dây AC phải là đường kính của đường tròn. Kết luận Có, vì $\angle ABC$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.

Góc nội tiếp $\angle CAD$ chắn cung nhỏ CD, do đó số đo cung nhỏ CD là $2 \times \angle CAD = 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ}$. Góc nội tiếp $\angle ABC$ chắn cung nhỏ ADC. Góc nội tiếp $\angle BAC$ chắn cung nhỏ BC. Góc nội tiếp $\angle ACB$ chắn cung nhỏ AB, do đó số đo cung nhỏ AB là $2 \times \angle ACB = 2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ}$. Tứ giác ABCD nội tiếp nên $\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$. Ta cần tìm số đo cung nhỏ BC. Góc nội tiếp $\angle BAC$ chắn cung BC. Ta cần tìm $\angle BAC$. Ta biết $\angle ABC$. Ta cũng biết $\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC$. Góc $\angle ABD$ chắn cung AD. Góc $\angle ACD$ chắn cung AD. Do đó $\angle ABD = \angle ACD$. Ta có $\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 40^{\circ} + \angle ACD$. $\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = \angle BAC + 30^{\circ}$. Ta có $\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$ và $\angle BAD + \angle BCD = 180^{\circ}$. Ta có $\angle ACB = 40^{\circ}$ chắn cung AB, vậy sđ(cung AB) = $2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ}$. Góc nội tiếp $\angle ADB$ chắn cung AB, vậy $\angle ADB = 40^{\circ}$. Ta có $\angle CAD = 30^{\circ}$ chắn cung CD, vậy sđ(cung CD) = $2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ}$. Góc nội tiếp $\angle CBD$ chắn cung CD, vậy $\angle CBD = 30^{\circ}$. Số đo cung BC là $360^{\circ} - sđ(cung AB) - sđ(cung CD) - sđ(cung AD)$. Ta có $\angle ABC = 110^{\circ}$. $\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD$. $110^{\circ} = \angle ABD + 30^{\circ}$. Suy ra $\angle ABD = 80^{\circ}$. Góc nội tiếp $\angle ACD$ chắn cung AD, vậy $\angle ACD = \angle ABD = 80^{\circ}$. Ta có $\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 40^{\circ} + 80^{\circ} = 120^{\circ}$. Kiểm tra $\angle BAD + \angle BCD = 180^{\circ}$. $\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = \angle BAC + 30^{\circ}$. $\angle BAC$ chắn cung BC. Số đo cung BC = $2 \times \angle BAC$. Ta có $\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 40^{\circ} + \angle BDC$. $\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ} \implies 110^{\circ} + 40^{\circ} + \angle BDC = 180^{\circ} \implies \angle BDC = 30^{\circ}$. Góc nội tiếp $\angle BAC$ chắn cung BC, vậy $\angle BAC = \angle BDC = 30^{\circ}$. Số đo cung BC = $2 \times \angle BAC = 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ}$. Kiểm tra lại: $\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}$. $\angle BCD = 120^{\circ}$. $\angle BAD + \angle BCD = 60^{\circ} + 120^{\circ} = 180^{\circ}$. Đúng. Vậy số đo cung BC là $60^{\circ}$. Có vẻ có lỗi trong đề bài hoặc cách hiểu. Xem lại đề: $\angle CAD = 30^{\circ}$ và $\angle ACB = 40^{\circ}$. $\angle ACB$ chắn cung AB, vậy sđ(cung AB) = $2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ}$. $\angle CAD$ chắn cung CD, vậy sđ(cung CD) = $2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ}$. Số đo cung BC bằng bao nhiêu? Ta cần tìm một góc nội tiếp chắn cung BC. Ví dụ $\angle BAC$ hoặc $\angle BDC$. Ta có $\angle ABC = 110^{\circ}$. $\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD$. $\angle ADB$ chắn cung AB, nên $\angle ADB = 40^{\circ}$. $\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 40^{\circ} + \angle BDC$. $\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ} \implies 110^{\circ} + 40^{\circ} + \angle BDC = 180^{\circ} \implies \angle BDC = 30^{\circ}$. Góc nội tiếp $\angle BAC$ chắn cung BC, và $\angle BAC = \angle BDC = 30^{\circ}$. Vậy số đo cung BC = $2 \times \angle BAC = 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ}$. Có lỗi với đáp án 2. Xem lại. $\angle ACB = 40^{\circ}$ chắn cung AB. sđ(cung AB) = $80^{\circ}$. $\angle CAD = 30^{\circ}$ chắn cung CD. sđ(cung CD) = $60^{\circ}$. $\angle ABC = 110^{\circ}$. $\angle ADC = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$. $\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 70^{\circ}$. $\angle ADB$ chắn cung AB, vậy $\angle ADB = 40^{\circ}$. Suy ra $40^{\circ} + \angle BDC = 70^{\circ}$, vậy $\angle BDC = 30^{\circ}$. Góc nội tiếp $\angle BAC$ chắn cung BC, và $\angle BAC = \angle BDC = 30^{\circ}$. Vậy sđ(cung BC) = $2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ}$. Có vẻ đáp án 2 là 80 độ. Nếu $\angle BAC = 40^{\circ}$ thì sđ cung BC là $80^{\circ}$. Điều này xảy ra nếu $\angle BDC = 40^{\circ}$. Nếu $\angle BDC = 40^{\circ}$ thì $\angle ADC = 40^{\circ} + 40^{\circ} = 80^{\circ}$. Khi đó $\angle ABC = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$. Nhưng đề cho $\angle ABC = 110^{\circ}$. Có sự mâu thuẫn. Giả sử đề có lỗi và $\angle ABC = 100^{\circ}$. Nếu $\angle ABC = 100^{\circ}$ và $\angle ADB = 40^{\circ}$ (chắn cung AB = $80^{\circ}$), $\angle CAD = 30^{\circ}$ (chắn cung CD = $60^{\circ}$). $\angle ADC = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$. $\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 40^{\circ} + \angle BDC = 80^{\circ}$. Suy ra $\angle BDC = 40^{\circ}$. Góc nội tiếp $\angle BAC$ chắn cung BC, và $\angle BAC = \angle BDC = 40^{\circ}$. Vậy sđ(cung BC) = $2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ}$. Với giả định $\angle ABC = 100^{\circ}$, đáp án là 80. Nếu đề đúng $\angle ABC = 110^{\circ}$, thì $\angle ADC = 70^{\circ}$. $\angle ADB = 40^{\circ}$. $\angle BDC = 30^{\circ}$. $\angle BAC = 30^{\circ}$. sđ cung BC = $60^{\circ}$. Đáp án 1 là 60. Có khả năng đề bài có sai sót hoặc đáp án. Tôi sẽ dựa trên giả định đề cho $\angle ABC = 110^{\circ}$ và các dữ kiện khác là đúng. Khi đó $\angle ADC = 70^{\circ}$. $\angle ADB$ chắn cung AB, mà $\angle ACB = 40^{\circ}$ chắn cung AB, nên $\angle ADB = 40^{\circ}$. Suy ra $\angle BDC = \angle ADC - \angle ADB = 70^{\circ} - 40^{\circ} = 30^{\circ}$. Góc nội tiếp $\angle BAC$ chắn cung BC, và $\angle BAC = \angle BDC = 30^{\circ}$. Do đó, số đo cung BC = $2 \times \angle BAC = 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ}$. Kết luận Số đo cung nhỏ BC là $60^{\circ}$.

Do PT là tiếp tuyến của đường tròn tại T, nên OT vuông góc với PT. Do đó, tam giác PTO vuông tại T. Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông PTO: $OP^2 = OT^2 + PT^2$. Thay số liệu đã cho: $10^2 = 6^2 + PT^2$. Suy ra $100 = 36 + PT^2$, hay $PT^2 = 100 - 36 = 64$. Vậy $PT = \sqrt{64} = 8$ cm. Kết luận 8 cm.