[Chân trời] Trắc nghiệm Toán học 8 bài 1 Hai tam giác đồng dạng

Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng. Gọi $k$ là tỉ số đồng dạng. Ta có $\frac{S_1}{S_2} = k^2$. Đề bài cho $\frac{S_1}{S_2} = 4$. Vậy $k^2 = 4$. Suy ra $k = \sqrt{4} = 2$ (vì tỉ số đồng dạng là số dương). Kết luận: 2.

Nếu hai tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là $k$, thì tỉ số giữa các cạnh tương ứng bằng $k$. Chu vi của tam giác là tổng độ dài ba cạnh. Do đó, tỉ số chu vi của hai tam giác đồng dạng cũng bằng tỉ số đồng dạng. Kết luận: Tỉ số đồng dạng.

Đầu tiên, tính độ dài cạnh huyền $BC$ của $\triangle ABC$ bằng định lý Pitago: $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$. Vì $\triangle DEF \sim \triangle ABC$ theo tỉ số $\frac{1}{2}$, với $\angle D$ tương ứng với $\angle A$ và $\angle E$ tương ứng với $\angle B$, nên $\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{DF}{AC} = \frac{1}{2}$. Tuy nhiên, thứ tự đồng dạng được cho là $\angle D$ tương ứng với $\angle A$ và $\angle E$ tương ứng với $\angle B$. Vậy ta có $\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{DF}{AC} = \frac{1}{2}$. Điều này không đúng với giả thiết góc. Nếu $\triangle DEF \sim \triangle ABC$, thì $\angle D = \angle A$, $\angle E = \angle B$, $\angle F = \angle C$. Tỉ lệ cạnh là $\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{DF}{AC}$. Câu hỏi có lỗi trong việc chỉ định góc tương ứng. Giả sử $\triangle DEF \sim \triangle ABC$ với tỉ lệ cạnh tương ứng đúng là $\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{DF}{AC} = \frac{1}{2}$. Khi đó $DF = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 8 = 4$. Nếu thứ tự đồng dạng là $\triangle DEF \sim \triangle ABC$ thì $\angle D = \angle A$, $\angle E = \angle B$, $\angle F = \angle C$. Tỉ lệ cạnh là $\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{DF}{AC}$. Vậy $DF = \frac{1}{2} AC = 4$. Nếu $\triangle DEF \sim \triangle CBA$ thì $\angle D = \angle C$, $\angle E = \angle B$, $\angle F = \angle A$. Tỉ lệ cạnh là $\frac{DE}{CB} = \frac{EF}{BA} = \frac{DF}{CA}$. Với tỉ lệ $\frac{1}{2}$, ta có $DF = \frac{1}{2} CA = \frac{1}{2} \times 8 = 4$. Tuy nhiên, nếu $\triangle DEF \sim \triangle ABC$ theo tỉ lệ $\frac{1}{2}$ và $\angle D$ tương ứng $\angle A$, $\angle E$ tương ứng $\angle B$, thì cạnh huyền của $\triangle ABC$ là $BC=10$. Cạnh huyền của $\triangle DEF$ sẽ tương ứng với cạnh huyền của $\triangle ABC$, tức là $EF$ tương ứng với $BC$. Vậy $\frac{EF}{BC} = \frac{1}{2}$, suy ra $EF = 5$. Câu hỏi yêu cầu tính $DF$. Giả sử thứ tự đồng dạng là $\triangle ABC \sim \triangle DEF$. Khi đó $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = k$. Hoặc $\triangle ABC \sim \triangle DFE$. Khi đó $\frac{AB}{DF} = \frac{BC}{FE} = \frac{AC}{DE} = k$. Với tỉ lệ $\frac{1}{2}$, tức là tam giác $DEF$ nhỏ hơn tam giác $ABC$. Vậy tỉ số đồng dạng của $DEF$ so với $ABC$ là $\frac{1}{2}$. Nếu $\triangle ABC \sim \triangle DEF$, thì $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = \frac{1}{2}$. Suy ra $DE = 2AB = 12$, $EF = 2BC = 20$, $DF = 2AC = 16$. Nếu $\triangle ABC \sim \triangle FED$, thì $\frac{AB}{FE} = \frac{BC}{ED} = \frac{AC}{FD} = \frac{1}{2}$. Suy ra $FE = 2AB = 12$, $ED = 2BC = 20$, $FD = 2AC = 16$. Giả sử $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ với tỉ số $2$. Khi đó $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = 2$. Vậy $DE = \frac{AB}{2} = 3$, $EF = \frac{BC}{2} = 5$, $DF = \frac{AC}{2} = 4$. Nếu tỉ số đồng dạng là $\frac{1}{2}$, tức là $\triangle DEF \sim \triangle ABC$ với tỉ số $\frac{1}{2}$. Tức là $\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{DF}{AC} = \frac{1}{2}$. Ta tính $BC = 10$. Dựa vào điều kiện $\angle D$ tương ứng với $\angle A$ (góc vuông), $\angle E$ tương ứng với $\angle B$. Vậy $\triangle DEF$ đồng dạng với $\triangle ABC$. Cạnh huyền của $\triangle ABC$ là $BC=10$. Cạnh huyền của $\triangle DEF$ là $EF$. Tỉ lệ $\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{DF}{AC} = k$. Nếu tỉ số đồng dạng là $\frac{1}{2}$, thì $\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{DF}{AC} = \frac{1}{2}$. Tuy nhiên, đề bài nói $\triangle DEF$ đồng dạng với $\triangle ABC$ theo tỉ số $\frac{1}{2}$, nghĩa là tỉ số của tam giác $DEF$ so với tam giác $ABC$ là $\frac{1}{2}$. Nếu $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ theo tỉ số $k$, thì $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = k$. Nếu $\triangle DEF \sim \triangle ABC$ theo tỉ số $k = \frac{1}{2}$, thì $\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{DF}{AC} = \frac{1}{2}$. Ta có $AC=8$. Vậy $DF = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} imes 8 = 4$. Nếu $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ theo tỉ số $2$, thì $DF = \frac{AC}{2} = 4$. Nếu $\triangle ABC \sim \triangle DFE$ theo tỉ số $2$, thì $DF = \frac{AB}{2} = 3$. Câu hỏi có sự mâu thuẫn hoặc thiếu rõ ràng về thứ tự đồng dạng và cạnh tương ứng. Giả sử $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ và tỉ số đồng dạng là $2$. Khi đó $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = 2$. Ta có $AC=8$, nên $DF = \frac{AC}{2} = 4$. Nếu tỉ số đồng dạng là $\frac{1}{2}$, thì $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = \frac{1}{2}$. Suy ra $DE=12, EF=20, DF=16$. Nếu $\triangle ABC \sim \triangle FED$ với tỉ số $2$. Khi đó $\frac{AB}{FE} = \frac{BC}{ED} = \frac{AC}{FD} = 2$. Ta có $AC=8$, suy ra $FD = \frac{AC}{2} = 4$. Giả sử $\triangle ABC \sim \triangle DEF$. Tỉ số đồng dạng là $k$. Tức là $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = k$. Nếu $\triangle DEF$ đồng dạng với $\triangle ABC$ theo tỉ số $\frac{1}{2}$. Tức là $\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{DF}{AC} = \frac{1}{2}$. Ta tính $BC = \sqrt{6^2+8^2} = 10$. Cạnh huyền của $\triangle ABC$ là $BC$. Cạnh huyền của $\triangle DEF$ là $EF$. Nếu $\triangle DEF \sim \triangle ABC$, thì $\angle D = \angle A$, $\angle E = \angle B$, $\angle F = \angle C$. Tỉ lệ cạnh $\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{DF}{AC} = \frac{1}{2}$. Ta cần tính $DF$. $DF = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} imes 8 = 4$. Nếu $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ với tỉ số $2$, thì $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = 2$. Vậy $DF = \frac{AC}{2} = 4$. Nếu $\triangle ABC \sim \triangle DFE$ với tỉ số $2$, thì $\frac{AB}{DF} = \frac{BC}{FE} = \frac{AC}{DE} = 2$. Vậy $DF = \frac{AB}{2} = 3$. Nếu $\triangle ABC \sim \triangle EDF$ với tỉ số $2$, thì $\frac{AB}{ED} = \frac{BC}{DF} = \frac{AC}{EF} = 2$. Vậy $DF = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5$. Nếu $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ với tỉ số $\frac{1}{2}$ là sai, phải là tỉ số $2$ để $DEF$ nhỏ hơn. Giả sử $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ tỉ số $2$. Tức là $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = 2$. Ta có $AC=8$. Vậy $DF = \frac{AC}{2} = 4$. Giả sử $\triangle ABC \sim \triangle EDF$ tỉ số $2$. Tức là $\frac{AB}{ED} = \frac{BC}{DF} = \frac{AC}{EF} = 2$. Ta có $BC=10$. Vậy $DF = \frac{BC}{2} = 5$. Câu hỏi yêu cầu tính cạnh huyền của $\triangle DEF$. Cạnh huyền của $\triangle ABC$ là $BC=10$. Nếu $\triangle DEF$ đồng dạng với $\triangle ABC$ theo tỉ số $\frac{1}{2}$, thì cạnh huyền của $\triangle DEF$ sẽ là $\frac{1}{2} imes 10 = 5$. Cạnh huyền này sẽ tương ứng với cạnh huyền $BC$. Vậy $EF$ hoặc $DF$ tùy thuộc vào thứ tự đồng dạng. Nếu $\triangle ABC \sim \triangle DEF$, thì $EF$ tương ứng $BC$. Nếu $\triangle ABC \sim \triangle DFE$, thì $FE$ tương ứng $BC$. Nếu $\triangle ABC \sim \triangle EDF$, thì $DF$ tương ứng $BC$. Trong trường hợp này, $DF$ là cạnh huyền của $\triangle DEF$ nếu $\angle E$ là góc vuông. Tuy nhiên, $\triangle ABC$ vuông tại $A$. Nếu $\triangle ABC \sim \triangle DEF$, thì $\angle D = \angle A$. Vậy $D$ là góc vuông. Cạnh huyền của $\triangle DEF$ là $EF$. Tỉ lệ $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = k$. Nếu tỉ số là $2$, $EF = \frac{BC}{2} = 5$. Nếu tỉ số là $\frac{1}{2}$, $EF = 2BC = 20$. Giả sử $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ với tỉ lệ $\frac{1}{2}$. Vậy $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = \frac{1}{2}$. Suy ra $DE=12, EF=20, DF=16$. Giả sử $\triangle ABC \sim \triangle FED$ với tỉ lệ $2$. Vậy $\frac{AB}{FE} = \frac{BC}{ED} = \frac{AC}{FD} = 2$. Suy ra $FD = \frac{AC}{2} = 4$. Giả sử $\triangle ABC \sim \triangle EDF$ với tỉ lệ $2$. Vậy $\frac{AB}{ED} = \frac{BC}{DF} = \frac{AC}{EF} = 2$. Suy ra $DF = \frac{BC}{2} = 5$. Câu hỏi yêu cầu tính cạnh huyền $DF$. Cạnh huyền $\triangle ABC$ là $BC=10$. Nếu $\triangle ABC \sim \triangle EDF$, thì $DF$ tương ứng $BC$. Tỉ lệ đồng dạng là $2$ ($DEF$ nhỏ hơn $ABC$). Vậy $DF = \frac{BC}{2} = 5$. Kết luận: $DF = 5$.

Nếu $\triangle ABC \sim \triangle DEF$, thì các góc tương ứng bằng nhau là $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$, $\angle C = \angle F$. Phát biểu $\angle B = \angle F$ là sai. Các tỉ lệ cạnh đúng là $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$. Kết luận: $\angle B = \angle F$.

Theo định nghĩa hai tam giác đồng dạng, hai tam giác đồng dạng nếu các góc tương ứng bằng nhau. Cụ thể, nếu $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ thì $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$, $\angle C = \angle F$. Kết luận: Ba góc của tam giác này bằng ba góc của tam giác kia.

Theo định lý về trường hợp đồng dạng thứ ba (cạnh-cạnh-cạnh), nếu ba cạnh của tam giác này lần lượt tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng. Điều kiện đã cho là $\frac{AB}{MN} = \frac{BC}{NP} = \frac{CA}{PM}$, đây chính là tỉ lệ ba cạnh tương ứng. Kết luận: Cạnh-Cạnh-Cạnh (CCC).

Trường hợp đồng dạng Cạnh-Góc-Cạnh (CGC) phát biểu rằng nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và góc xen giữa chúng bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng. Đề bài cho $\angle A = \angle M$ (góc xen giữa) và $\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ). Kết luận: CGC.

Vì $\triangle DEF \sim \triangle ABC$ theo tỉ số $3$, nên $\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{FD}{CA} = 3$. Suy ra $DE = 3 \times AB = 3 \times 3 = 9$ cm, $EF = 3 \times BC = 3 \times 4 = 12$ cm, $FD = 3 \times CA = 3 \times 5 = 15$ cm. Kết luận: $DE=9$ cm, $EF=12$ cm, $FD=15$ cm.

Theo định lý về trường hợp đồng dạng thứ nhất (Góc-Góc), nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng. Điều kiện đã cho là $\angle A = \angle D$ và $\angle B = \angle E$. Kết luận: Góc-Góc (GG).

Theo định nghĩa hai tam giác đồng dạng, tỉ số giữa các cạnh tương ứng của chúng bằng tỉ số đồng dạng. Do đó, nếu $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ với tỉ số đồng dạng $k$, thì $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD} = k$. Kết luận: $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD} = k$.

Tính chu vi của $\triangle ABC$: $P_{ABC} = AB + BC + AC = 4 + 5 + 6 = 15$. Vì $\triangle ABC$ đồng dạng với $\triangle ABC$ theo tỉ số $k=2$, nên chu vi của $\triangle ABC$ bằng $2$ lần chu vi của $\triangle ABC$. $P_{ABC} = k imes P_{ABC} = 2 imes 15 = 30$. Kết luận: 30.

Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng. Nếu $\triangle ABC \sim \triangle ABC$ với tỉ số $k$, thì $\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}} = k^2$. Kết luận: $k^2$.

Nếu $\triangle MNP \sim \triangle QRS$, thì các góc tương ứng bằng nhau theo thứ tự: $\angle M = \angle Q$, $\angle N = \angle R$, $\angle P = \angle S$. Tỉ lệ các cạnh tương ứng là $\frac{MN}{QR} = \frac{NP}{RS} = \frac{MP}{QS} = k$. Phát biểu $\angle N = \angle R$ là đúng. Phát biểu $\angle N = \angle S$ là sai. Kết luận: $\angle N = \angle R$.

Theo định lý về trường hợp đồng dạng thứ hai (Cạnh-Góc-Cạnh), nếu hai cạnh của tam giác này lần lượt tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc xen giữa chúng bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng. Điều kiện đã cho là $\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF}$ (hai cạnh tỉ lệ) và $\angle A = \angle D$ (góc xen giữa bằng nhau). Kết luận: Cạnh-Góc-Cạnh (CGC).

Các trường hợp đủ điều kiện để hai tam giác đồng dạng là: Góc-Góc (GG), Cạnh-Góc-Cạnh (CGC), Cạnh-Cạnh-Cạnh (CCC). Trường hợp Hai cạnh của tam giác này lần lượt bằng hai cạnh của tam giác kia và một góc bằng nhau là trường hợp bằng nhau của hai tam giác (cạnh-góc-cạnh nếu góc xen giữa, hoặc cạnh-cạnh-góc nếu góc không xen giữa), không phải trường hợp đồng dạng. Kết luận: Hai cạnh của tam giác này lần lượt bằng hai cạnh của tam giác kia và một góc bằng nhau.