1. Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất $Ax = 0$. Khi nào thì hệ có vô số nghiệm?
A. Khi $det(A)
eq 0$
B. Khi $det(A) = 0$
C. Khi $A$ là ma trận đơn vị
D. Khi $A$ là ma trận không
2. Cho $A$ là ma trận vuông khả nghịch. Giá trị riêng của $A^{-1}$ là gì?
A. $lambda$
B. $-lambda$
C. $frac{1}{lambda}$
D. $lambda^2$
3. Cho $A$ là ma trận vuông. Ma trận chuyển vị của $A$ được ký hiệu là $A^T$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. $(A + B)^T = A^T - B^T$
B. $(AB)^T = A^TB^T$
C. $(A^T)^T = A$
D. $(kA)^T = k^TA^T$ với $k$ là một số vô hướng.
4. Cho $A$ là ma trận $m imes n$. Hạng của $A$ là gì?
A. Số lượng cột của $A$.
B. Số lượng hàng của $A$.
C. Số lượng cột độc lập tuyến tính tối đa của $A$.
D. Số lượng nghiệm của hệ $Ax = 0$.
5. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Giá trị riêng của $A$ là gì?
A. Một vectơ $vec{v}$ sao cho $Avec{v} = lambda vec{v}$ với $lambda$ là một số vô hướng.
B. Một số vô hướng $lambda$ sao cho $Avec{v} = lambda vec{v}$ với $vec{v}$ là một vectơ khác không.
C. Một số vô hướng $lambda$ sao cho $det(A - lambda I)
eq 0$.
D. Một vectơ $vec{v}$ sao cho $det(A - vec{v}I) = 0$.
6. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Trace của $A$ là gì?
A. Tích của các phần tử trên đường chéo chính của $A$.
B. Tổng của các phần tử trên đường chéo chính của $A$.
C. Định thức của $A$.
D. Tổng của các giá trị riêng của $A$.
7. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Khi nào thì $A$ là ma trận đối xứng?
A. Khi $A = -A^T$.
B. Khi $A = A^{-1}$.
C. Khi $A = A^T$.
D. Khi $A^2 = I$.
8. Cho hệ phương trình tuyến tính $Ax = b$. Điều kiện nào sau đây đảm bảo hệ có nghiệm duy nhất?
A. $det(A)
eq 0$
B. $det(A) = 0$
C. $b = 0$
D. $A$ là ma trận vuông
9. Cho $V$ là không gian vectơ. Số chiều của $V$ là gì?
A. Số lượng vectơ trong $V$.
B. Số lượng vectơ trong một cơ sở của $V$.
C. Số lượng không gian con của $V$.
D. Số lượng vectơ độc lập tuyến tính trong $V$.
10. Ma trận nào sau đây là ma trận đơn vị?
A. $egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 end{bmatrix}$
B. $egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 end{bmatrix}$
C. $egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}$
D. $egin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{bmatrix}$
11. Cho $A$ và $B$ là hai ma trận vuông cùng cấp sao cho $AB = BA$. Khi đó, $A$ và $B$ giao hoán. Phát biểu này đúng hay sai?
A. Đúng
B. Sai
C. Chỉ đúng khi $A$ hoặc $B$ là ma trận đơn vị.
D. Chỉ đúng khi $A$ và $B$ khả nghịch.
12. Cho không gian vectơ $V$ và $W$. Ánh xạ tuyến tính $T: V
ightarrow W$ được gọi là đẳng cấu nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh. Phát biểu này đúng hay sai?
A. Đúng
B. Sai
C. Chỉ đúng khi $V = W$.
D. Chỉ đúng khi $V$ và $W$ hữu hạn chiều.
13. Không gian con của $mathbb{R}^n$ là gì?
A. Một tập hợp bất kỳ các vectơ trong $mathbb{R}^n$.
B. Một tập hợp các vectơ trong $mathbb{R}^n$ đóng với phép cộng vectơ và phép nhân với một số vô hướng.
C. Một tập hợp các vectơ trong $mathbb{R}^n$ chứa vectơ không.
D. Một tập hợp các vectơ trong $mathbb{R}^n$ có số chiều bằng $n$.
14. Cho $A$ là ma trận vuông. Giá trị riêng của $A^2$ là gì?
A. $lambda$
B. $sqrt{lambda}$
C. $lambda^2$
D. $2lambda$
15. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Định thức của $A$ bằng tích của các giá trị riêng của nó. Phát biểu này đúng hay sai?
A. Đúng
B. Sai
C. Chỉ đúng khi $A$ khả nghịch
D. Chỉ đúng khi $A$ là ma trận đường chéo
16. Cho $V$ là không gian vectơ. Cơ sở của $V$ là gì?
A. Một tập hợp con sinh của $V$.
B. Một tập hợp con độc lập tuyến tính của $V$.
C. Một tập hợp con sinh và độc lập tuyến tính của $V$.
D. Một tập hợp con hữu hạn của $V$.
17. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ và $c$ là một hằng số. Khi đó, $det(cA)$ bằng bao nhiêu?
A. $cdet(A)$
B. $c^ndet(A)$
C. $det(A)^c$
D. $det(A)$
18. Cho $T: V
ightarrow W$ là một ánh xạ tuyến tính. Khi nào thì $T$ được gọi là đơn ánh?
A. Khi $T$ là toàn ánh.
B. Khi $ ext{Im}(T) = W$.
C. Khi $ ext{Ker}(T) = {0}$.
D. Khi $ ext{Ker}(T)
eq {0}$.
19. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu $A$ khả nghịch thì $A^{-1}$ không tồn tại.
B. Nếu $A$ có định thức bằng 0 thì $A$ khả nghịch.
C. Nếu $A$ khả nghịch thì $A^{-1}$ tồn tại và duy nhất.
D. Nếu $A$ có các cột độc lập tuyến tính thì $A$ không khả nghịch.
20. Cho ma trận $A = egin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{bmatrix}$. Tìm định thức của $A$.
A. $-2$
B. $10$
C. $2$
D. $-10$
21. Cho $A$ là ma trận vuông. Khi nào thì $A$ chéo hóa được?
A. Khi $A$ có $n$ giá trị riêng phân biệt.
B. Khi $A$ có $n$ vectơ riêng độc lập tuyến tính.
C. Khi $A$ là ma trận đối xứng.
D. Tất cả các đáp án trên.
22. Cho $A$ và $B$ là hai ma trận vuông cùng cấp. Khi nào thì $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$?
A. Luôn đúng
B. Chỉ đúng khi $A = B$
C. Chỉ đúng khi $A$ và $B$ giao hoán
D. Không bao giờ đúng
23. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Khi nào thì $A$ là ma trận phản đối xứng?
A. Khi $A = A^T$.
B. Khi $A = -A^T$.
C. Khi $A = A^{-1}$.
D. Khi $A^2 = I$.
24. Cho $A$ là ma trận vuông. Vectơ riêng của $A$ là gì?
A. Một vectơ $vec{v}$ khác không sao cho $Avec{v} = 0$.
B. Một vectơ $vec{v}$ sao cho $Avec{v} = lambda vec{v}$ với $lambda$ là một số vô hướng.
C. Một số vô hướng $lambda$ sao cho $Avec{v} = lambda vec{v}$ với $vec{v}$ là một vectơ khác không.
D. Một vectơ $vec{v}$ sao cho $Avec{v} = vec{0}$.
25. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Đa thức đặc trưng của $A$ được định nghĩa như thế nào?
A. $det(A)$
B. $det(A - lambda I)$
C. $det(lambda I - A)$
D. $ ext{trace}(A)$
26. Cho $V$ là không gian vectơ các đa thức bậc không quá $n$. Số chiều của $V$ là bao nhiêu?
A. $n$
B. $n+1$
C. $n-1$
D. Vô hạn
27. Cho hai vectơ $vec{u} = (1, 2)$ và $vec{v} = (3, 4)$. Tính tích vô hướng của $vec{u}$ và $vec{v}$.
A. $11$
B. $5$
C. $10$
D. $7$
28. Cho $A$ là ma trận vuông. Ma trận $A$ được gọi là trực giao nếu $AA^T = I$. Phát biểu này đúng hay sai?
A. Đúng
B. Sai
C. Chỉ đúng khi $A$ khả nghịch.
D. Chỉ đúng khi $A$ là ma trận đối xứng.
29. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ có các cột độc lập tuyến tính. Khi đó, hạng của $A$ bằng bao nhiêu?
A. 0
B. 1
C. $n$
D. Không xác định
30. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Nếu $A$ lũy linh, thì tất cả các giá trị riêng của $A$ bằng 0. Phát biểu này đúng hay sai?
A. Đúng
B. Sai
C. Chỉ đúng khi $A$ khả nghịch
D. Chỉ đúng khi $A = 0$
