1. Cho $V$ là không gian vector và $W_1, W_2$ là hai không gian con của $V$. Khi đó, $W_1 cap W_2$ là:
A. Không phải là không gian con của $V$.
B. Một không gian con của $V$.
C. Bằng $V$.
D. Bằng tập rỗng.
2. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Phát biểu nào sau đây là đúng về số chiều của không gian nghiệm của $Ax=0$?
A. Số chiều của không gian nghiệm luôn bằng 0.
B. Số chiều của không gian nghiệm bằng $n - rank(A)$.
C. Số chiều của không gian nghiệm bằng $rank(A)$.
D. Số chiều của không gian nghiệm luôn bằng $n$.
3. Cho $A$ và $B$ là hai ma trận vuông cùng cấp. Phát biểu nào sau đây luôn đúng?
A. $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$
B. $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$
C. $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$
D. $(A + B)^T = A^T + B^T$
4. Cho $A$ là ma trận $m imes n$. Hạng của $A$ là:
A. Số dòng của $A$.
B. Số cột của $A$.
C. Số chiều của không gian dòng của $A$.
D. Số chiều của không gian nghiệm của $Ax = 0$.
5. Cho $A = egin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 end{bmatrix}$. Tìm một vector riêng của $A$ ứng với giá trị riêng $lambda = 3$.
A. $egin{bmatrix} 1 \ 1 end{bmatrix}$
B. $egin{bmatrix} 1 \ -1 end{bmatrix}$
C. $egin{bmatrix} 2 \ 1 end{bmatrix}$
D. $egin{bmatrix} -1 \ 1 end{bmatrix}$
6. Cho $T: mathbb{R}^2
ightarrow mathbb{R}^2$ là phép biến đổi tuyến tính được định nghĩa bởi $T(x, y) = (x + y, x - y)$. Tìm ma trận biểu diễn của $T$ đối với cơ sở chính tắc.
A. $egin{bmatrix} 1 & -1 \ 1 & 1 end{bmatrix}$
B. $egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & -1 end{bmatrix}$
C. $egin{bmatrix} 1 & 1 \ -1 & 1 end{bmatrix}$
D. $egin{bmatrix} 1 & -1 \ -1 & 1 end{bmatrix}$
7. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ có các giá trị riêng $lambda_1, lambda_2, ..., lambda_n$. Khi đó, $det(A)$ bằng:
A. $lambda_1 + lambda_2 + ... + lambda_n$
B. $lambda_1 cdot lambda_2 cdot ... cdot lambda_n$
C. $frac{lambda_1 + lambda_2 + ... + lambda_n}{n}$
D. $max{{lambda_1, lambda_2, ..., lambda_n}}$
8. Cho ma trận $A = egin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{bmatrix}$. Tính $det(A)$.
9. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu $det(A) = 0$ thì $A$ khả nghịch.
B. Nếu $A$ khả nghịch thì $det(A)
eq 0$.
C. Nếu $det(A)
eq 0$ thì $A$ không khả nghịch.
D. Nếu $A$ không khả nghịch thì $det(A)
eq 0$.
10. Cho $v_1, v_2, ..., v_n$ là các vector trong không gian vector $V$. Tổ hợp tuyến tính của các vector này có dạng:
A. $c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_nv_n$, với $c_i$ là các số thực.
B. $v_1 + v_2 + ... + v_n$.
C. $v_1v_2...v_n$.
D. $frac{v_1 + v_2 + ... + v_n}{n}$.
11. Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất $Ax = 0$. Điều kiện nào sau đây là cần và đủ để hệ có nghiệm không tầm thường?
A. $det(A)
eq 0$
B. $det(A) = 0$
C. $rank(A) = n$
D. $rank(A) < n$
12. Cho $W$ là một tập con của không gian vector $V$. Điều kiện nào sau đây là cần và đủ để $W$ là một không gian con của $V$?
A. $W$ đóng với phép cộng và phép nhân với một số vô hướng.
B. $W$ chứa vector không và đóng với phép cộng.
C. $W$ chứa vector không và đóng với phép nhân với một số vô hướng.
D. $W$ chứa vector không và đóng với phép cộng và phép nhân với một số vô hướng.
13. Cho $V$ là không gian vector. Điều kiện nào sau đây không phải là tiên đề của không gian vector?
A. $forall u, v in V: u + v in V$.
B. $exists u in V: u + 0 = u$.
C. $forall u, v in V: u + v = v + u$.
D. $forall u in V, forall c in mathbb{R}: cu in V$.
14. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Định thức của $A$ ký hiệu là $det(A)$. Nếu $A$ có hai dòng giống nhau thì:
A. $det(A) = 1$
B. $det(A) = -1$
C. $det(A) = 0$
D. $det(A)
eq 0$
15. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. $A$ được gọi là ma trận trực giao nếu:
A. $A = A^T$
B. $A = -A^T$
C. $AA^T = I$
D. $A^2 = A$
16. Cho $A$ là ma trận $n imes n$ khả nghịch. Ma trận nghịch đảo của $A$ ký hiệu là $A^{-1}$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. $AA^{-1} = A^{-1}A = 0$
B. $AA^{-1} = A^{-1}A = I$
C. $AA^{-1} = I$, nhưng $A^{-1}A
eq I$
D. $AA^{-1} = A$, nhưng $A^{-1}A = I$
17. Cho $A$ và $B$ là hai ma trận vuông cùng cấp $n$. Phát biểu nào sau đây luôn đúng?
A. $det(A + B) = det(A) + det(B)$
B. $det(AB) = det(A) cdot det(B)$
C. $det(A - B) = det(A) - det(B)$
D. $det(A^T) = -det(A)$
18. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ và $c$ là một số vô hướng. Khi đó, $det(cA)$ bằng:
A. $c cdot det(A)$
B. $c^n cdot det(A)$
C. $det(A)^c$
D. $c^{n^2} cdot det(A)$
19. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Điều kiện nào sau đây là tương đương với việc các cột của $A$ độc lập tuyến tính?
A. $det(A) = 0$
B. $rank(A) < n$
C. Hệ phương trình $Ax = 0$ có vô số nghiệm.
D. $rank(A) = n$
20. Cho $T: V
ightarrow W$ là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó, tập hợp tất cả các vector $v in V$ sao cho $T(v) = 0$ được gọi là:
A. Ảnh của $T$.
B. Hạt nhân của $T$.
C. Không gian dòng của $T$.
D. Không gian cột của $T$.
21. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Nếu $A$ lũy linh (nilpotent), tức là tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho $A^k = 0$, thì giá trị riêng của $A$ là:
A. 1
B. -1
C. 0
D. Bất kỳ số thực nào.
22. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Vết của $A$ (trace of A), ký hiệu là $tr(A)$, bằng:
A. Tổng các phần tử trên đường chéo chính của $A$.
B. Tích các phần tử trên đường chéo chính của $A$.
C. Định thức của $A$.
D. Hạng của $A$.
23. Cho $u$ và $v$ là hai vector trong không gian vector Euclid. Tích vô hướng của $u$ và $v$ ký hiệu là $langle u, v
angle$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. $langle u, v
angle = langle v, u
angle$
B. $langle u, v
angle = -langle v, u
angle$
C. $langle u, v
angle = ||u|| cdot ||v||$
D. $langle u, v
angle = 0$ nếu $u$ và $v$ cùng phương.
24. Cho $A$ là ma trận $3 imes 3$ có các giá trị riêng là 1, 2, và 3. Tính định thức của $A$.
25. Cho $V$ là không gian vector con sinh bởi các vector $v_1, v_2, ..., v_n$. Khi đó $v_1, v_2, ..., v_n$ được gọi là:
A. Độc lập tuyến tính.
B. Phụ thuộc tuyến tính.
C. Cơ sở của $V$.
D. Hệ sinh của $V$.
26. Cho $A$ là ma trận đối xứng thực. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Các giá trị riêng của $A$ là số phức.
B. Các giá trị riêng của $A$ là số thực.
C. Các vector riêng của $A$ tương ứng với các giá trị riêng khác nhau thì phụ thuộc tuyến tính.
D. $A$ không chéo hóa được.
27. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Phát biểu nào sau đây là tương đương với việc $A$ khả nghịch?
A. Các cột của $A$ phụ thuộc tuyến tính.
B. Các dòng của $A$ phụ thuộc tuyến tính.
C. Hệ phương trình $Ax = 0$ có nghiệm duy nhất.
D. $det(A) = 0$.
28. Cho $V$ là không gian vector các đa thức bậc không quá $n$. Số chiều của $V$ là:
A. $n$
B. $n - 1$
C. $n + 1$
D. $infty$
29. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Giá trị riêng của $A$ là nghiệm của phương trình:
A. $det(A - lambda I) = 0$
B. $det(A) = 0$
C. $A - lambda I = 0$
D. $A = 0$
30. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Điều kiện nào sau đây là cần và đủ để $A$ chéo hóa được?
A. $A$ có $n$ giá trị riêng phân biệt.
B. Tổng số chiều của các không gian riêng của $A$ bằng $n$.
C. $A$ là ma trận đối xứng.
D. $det(A)
eq 0$.
