1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 2x$.
A. $\frac{4}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $1$
D. $\frac{5}{3}$
2. Tính $\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx$.
A. $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
B. $\sqrt{\pi}$
C. $\frac{\pi}{2}$
D. $\pi$
3. Cho hàm số $f(x,y) = x^3 + y^3$. Tính vi phân toàn phần của hàm số.
A. $df = 3x^2 dx + 3y^2 dy$
B. $df = x^2 dx + y^2 dy$
C. $df = 3x dx + 3y dy$
D. $df = x dx + y dy$
4. Tìm giới hạn $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y}{x^4 + y^2}$.
A. Không tồn tại
B. $0$
C. $1$
D. $\infty$
5. Cho $f(x, y) = x^2y + xy^2$. Tính $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
A. $2x + 2y$
B. $2x - 2y$
C. $x + y$
D. $x - y$
6. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y` = xy$.
A. $y = Ce^{\frac{x^2}{2}}$
B. $y = Ce^{-\frac{x^2}{2}}$
C. $y = Cx^2$
D. $y = Ce^x$
7. Giải phương trình vi phân $y` + 2y = e^{-x}$.
A. $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$
B. $y = e^{x} + Ce^{2x}$
C. $y = e^{-2x} + Ce^{-x}$
D. $y = e^{2x} + Ce^{x}$
8. Tính tích phân đường $\int_{C} x dy - y dx$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$ đi ngược chiều kim đồng hồ.
A. $-2\pi$
B. $2\pi$
C. $\pi$
D. $-\pi$
9. Giải phương trình $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ theo tọa độ cầu.
A. $(\rho, \theta, \phi)$ với $0 \le \rho \le 1$, $0 \le \theta \le 2\pi$, $0 \le \phi \le \pi$
B. $(\rho, \theta, \phi)$ với $0 \le \rho \le 1$, $0 \le \theta \le \pi$, $0 \le \phi \le 2\pi$
C. $(\rho, \theta, \phi)$ với $0 \le \rho \le 2\pi$, $0 \le \theta \le 1$, $0 \le \phi \le \pi$
D. $(\rho, \theta, \phi)$ với $0 \le \rho \le \pi$, $0 \le \theta \le 2\pi$, $0 \le \phi \le 1$
10. Tính tích phân lặp $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} (x^2 + y^2) dy dx$.
A. $\frac{7}{15}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{2}$
11. Cho hàm số $f(x, y) = e^{xy}$. Tính $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$.
A. $y^2e^{xy}$
B. $x^2e^{xy}$
C. $e^{xy}$
D. $xy e^{xy}$
12. Tìm điều kiện để tích phân suy rộng $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx$ hội tụ.
A. $p > 1$
B. $p < 1$
C. $p = 1$
D. $p \ge 1$
13. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$.
A. Hàm số đạt cực tiểu tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
B. Hàm số đạt cực đại tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
C. Hàm số không có cực trị
D. Hàm số đạt cực tiểu tại $(0, 1)$
14. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y`` - 4y` + 4y = 0$.
A. $y = C_1e^{2x} + C_2xe^{2x}$
B. $y = C_1e^{2x} + C_2e^{-2x}$
C. $y = C_1e^{4x} + C_2xe^{4x}$
D. $y = C_1e^{4x} + C_2e^{-4x}$
15. Cho hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2 - xy$. Tìm điểm dừng của hàm số.
A. $(0, 0)$
B. $(1, 1)$
C. $(2, 2)$
D. Không có điểm dừng
16. Cho miền $D$ giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = x$. Tính $\iint_{D} x dA$.
A. $\frac{1}{12}$
B. $\frac{1}{6}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{2}$
17. Tìm cực trị của hàm $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$.
A. Hàm số đạt cực tiểu tại $(1, 2)$
B. Hàm số đạt cực đại tại $(1, 2)$
C. Hàm số đạt cực tiểu tại $(-1, -2)$
D. Hàm số đạt cực đại tại $(-1, -2)$
18. Cho phương trình vi phân $y`` + y = 0$. Tìm nghiệm tổng quát.
A. $y = C_1\cos(x) + C_2\sin(x)$
B. $y = C_1e^x + C_2e^{-x}$
C. $y = C_1\cosh(x) + C_2\sinh(x)$
D. $y = C_1x + C_2$
19. Tìm ma trận nghịch đảo của $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.
A. $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$
20. Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính sau: $\begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases}$
A. $x = 2, y = 1$
B. $x = 1, y = 2$
C. $x = 3, y = 0$
D. $x = 0, y = 3$
21. Cho hàm số $f(x,y) = e^{x^2 + y^2}$. Tìm đạo hàm riêng $\frac{\partial f}{\partial x}$.
A. $2xe^{x^2 + y^2}$
B. $2ye^{x^2 + y^2}$
C. $e^{x^2 + y^2}$
D. $xe^{x^2 + y^2}$
22. Tìm eigenvalue của ma trận $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.
A. $1$ và $3$
B. $-1$ và $-3$
C. $2$ và $1$
D. $2$ và $3$
23. Tính $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (x + y) dx dy$.
A. $1$
B. $2$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{3}{2}$
24. Tìm vector riêng ứng với eigenvalue $\lambda = 1$ của ma trận $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.
A. $t\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$
B. $t\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$
C. $t\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$
D. $t\begin{bmatrix} -1 \\ -1 \end{bmatrix}$
25. Tìm vector gradient của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$ tại điểm $(1, 1)$.
A. $\vec{\nabla}f(1, 1) = (2, 2)$
B. $\vec{\nabla}f(1, 1) = (1, 1)$
C. $\vec{\nabla}f(1, 1) = (0, 0)$
D. $\vec{\nabla}f(1, 1) = (4, 4)$
26. Tìm hạng của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$.
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $0$
27. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.
A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$
B. $(0, 0)$ và $(-1, -1)$
C. $(0, 1)$ và $(1, 0)$
D. $(0, 0)$
28. Tính $\int_{C} (x^2 + y^2) ds$, với $C$ là đoạn thẳng nối $(0, 0)$ đến $(1, 1)$.
A. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{3}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{1}{3}$
29. Tính định thức của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$.
A. $-2$
B. $2$
C. $10$
D. $-10$
30. Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x}) & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$. Tính $f`(0)$.
A. $0$
B. $1$
C. Không tồn tại
D. $\infty$
