1. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Giá trị riêng của $A$ là nghiệm của phương trình:
A. det$(A - lambda I) = 0$
B. det$(A) = 0$
C. det$(A + lambda I) = 0$
D. det$(A - lambda) = 0$
2. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ khả nghịch. Ma trận nghịch đảo của $A^T$ là:
A. $(A^{-1})^T$
B. $(A^T)^{-1}$
C. $A^{-1}$
D. $A^T$
3. Cho $V$ là không gian vector con của $R^n$. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. V chứa vector 0.
B. V đóng với phép cộng.
C. V đóng với phép nhân với một số vô hướng.
D. V không chứa vector 0.
4. Cho $A = egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 end{bmatrix}$. Tìm tất cả các giá trị riêng của $A$.
A. 0 và 2
B. 1 và 1
C. 1 và -1
D. 0 và 1
5. Cho $A = egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 2 end{bmatrix}$. Tìm ma trận nghịch đảo $A^{-1}$.
A. $egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1/2 end{bmatrix}$
B. $egin{bmatrix} 1/2 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}$
C. $egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1/2 end{bmatrix}$
D. $egin{bmatrix} -1 & 0 \ 0 & 1/2 end{bmatrix}$
6. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Điều kiện nào sau đây là cần và đủ để $A$ khả nghịch?
A. det$(A)
eq 0$
B. rank$(A) < n$
C. det$(A) = 0$
D. rank$(A) = 0$
7. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Nếu $A$ có một hàng toàn số 0 thì:
A. det$(A) = 0$.
B. det$(A)
eq 0$.
C. $A$ khả nghịch.
D. rank$(A) = n$.
8. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ và $A^2 = A$. Giá trị riêng của $A$ có thể là:
A. 0 hoặc 1
B. 0 hoặc -1
C. 1 hoặc -1
D. Chỉ 0
9. Cho $A$ là ma trận $m imes n$. Hạng của $A$ là số chiều của không gian nào?
A. Không gian dòng của $A$.
B. Không gian cột của $A$.
C. Không gian nghiệm của $A$.
D. Không gian vector $R^n$.
10. Cho $A = egin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{bmatrix}$. Tính định thức của $A$.
11. Cho $V$ là không gian vector các đa thức bậc không quá 2. Tìm số chiều của $V$.
12. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ có các cột độc lập tuyến tính. Khi đó:
A. $A$ khả nghịch.
B. $A$ không khả nghịch.
C. det$(A) = 0$.
D. rank$(A) < n$.
13. Cho $u = (1, 2, 3)$ và $v = (4, 5, 6)$. Tính tích vô hướng $u cdot v$.
14. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu $A$ có $n$ giá trị riêng phân biệt thì $A$ chéo hóa được.
B. Nếu $A$ chéo hóa được thì $A$ có $n$ giá trị riêng phân biệt.
C. Nếu $A$ không chéo hóa được thì $A$ có $n$ giá trị riêng phân biệt.
D. Nếu $A$ có $n$ giá trị riêng bằng nhau thì $A$ chéo hóa được.
15. Cho $T: R^2
ightarrow R^3$ xác định bởi $T(x, y) = (x + y, x - y, 2x)$. Tìm số chiều của Im$(T)$.
16. Cho $T: R^3
ightarrow R^3$ là phép quay quanh trục $Oz$ một góc $ heta$. Tìm ma trận biểu diễn của $T$ đối với cơ sở chính tắc.
A. $egin{bmatrix} cos( heta) & -sin( heta) & 0 \ sin( heta) & cos( heta) & 0 \ 0 & 0 & 1 end{bmatrix}$
B. $egin{bmatrix} cos( heta) & sin( heta) & 0 \ -sin( heta) & cos( heta) & 0 \ 0 & 0 & 1 end{bmatrix}$
C. $egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & cos( heta) & -sin( heta) \ 0 & sin( heta) & cos( heta) end{bmatrix}$
D. $egin{bmatrix} cos( heta) & 0 & sin( heta) \ 0 & 1 & 0 \ -sin( heta) & 0 & cos( heta) end{bmatrix}$
17. Cho $V$ là không gian vector. Tập con $W subseteq V$ là một không gian con của $V$ nếu:
A. $W$ đóng với phép cộng vector và phép nhân với một số vô hướng.
B. $W$ đóng với phép cộng vector nhưng không đóng với phép nhân với một số vô hướng.
C. $W$ không đóng với phép cộng vector nhưng đóng với phép nhân với một số vô hướng.
D. $W$ không đóng với phép cộng vector và không đóng với phép nhân với một số vô hướng.
18. Cho $u = (1, -1, 2)$ và $v = (2, 0, 1)$. Tính tích có hướng $u imes v$.
A. (-1, 3, 2)
B. (1, -3, -2)
C. (1, 3, -2)
D. (-1, -3, -2)
19. Cho $A = egin{bmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 end{bmatrix}$. Tính $A^n$ với $n$ là số nguyên dương.
A. $egin{bmatrix} 1 & 2n \ 0 & 1 end{bmatrix}$
B. $egin{bmatrix} n & 2n \ 0 & n end{bmatrix}$
C. $egin{bmatrix} 1 & n \ 0 & 1 end{bmatrix}$
D. $egin{bmatrix} n & 2 \ 0 & n end{bmatrix}$
20. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Điều kiện nào sau đây tương đương với việc $A$ là ma trận phản đối xứng?
A. $A = -A^T$
B. $A = A^T$
C. $A = A^{-1}$
D. $A = -A^{-1}$
21. Cho $T: V
ightarrow W$ là một biến đổi tuyến tính. Khi đó, Ker$(T)$ là:
A. Tập hợp tất cả các vector $v in V$ sao cho $T(v) = 0$.
B. Tập hợp tất cả các vector $w in W$ sao cho $T(v) = w$ với mọi $v in V$.
C. Tập hợp tất cả các vector $v in V$ sao cho $T(v)
eq 0$.
D. Tập hợp tất cả các vector $w in W$ sao cho $T(v) = 0$ với mọi $v in V$.
22. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Điều kiện nào sau đây tương đương với việc $A$ là ma trận đối xứng?
A. $A = A^T$
B. $A = -A^T$
C. $A = A^{-1}$
D. $A = -A^{-1}$
23. Cho $A$ là ma trận vuông cấp 3 có các giá trị riêng là 1, 2, 3. Tính det$(A)$.
24. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Nếu $A$ là ma trận trực giao thì:
A. $A^T = A^{-1}$
B. $A^T = A$
C. $A = A^{-1}$
D. $A = -A^T$
25. Cho $V$ là không gian vector. Tập hợp $S = {v_1, v_2, ..., v_n} subset V$ được gọi là độc lập tuyến tính nếu:
A. Tồn tại các số $c_1, c_2, ..., c_n$ không đồng thời bằng 0 sao cho $c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_nv_n = 0$.
B. Với mọi $c_1, c_2, ..., c_n$, nếu $c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_nv_n = 0$ thì $c_1 = c_2 = ... = c_n = 0$.
C. Với mọi $c_1, c_2, ..., c_n$, $c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_nv_n = 0$.
D. Tồn tại các số $c_1, c_2, ..., c_n$ sao cho $c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_nv_n = 0$.
26. Cho $T: R^2
ightarrow R^2$ là phép chiếu vuông góc lên trục $Ox$. Tìm ma trận biểu diễn của $T$ đối với cơ sở chính tắc.
A. $egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 end{bmatrix}$
B. $egin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}$
C. $egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}$
D. $egin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{bmatrix}$
27. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Điều kiện nào sau đây là cần và đủ để $A$ chéo hóa được?
A. Tổng số chiều của các không gian riêng của $A$ bằng $n$.
B. $A$ có $n$ giá trị riêng phân biệt.
C. $A$ là ma trận đối xứng.
D. $A$ là ma trận khả nghịch.
28. Cho $A$ và $B$ là hai ma trận vuông cùng cấp. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. det$(AB)$ = det$(A)$det$(B)$
B. det$(A + B)$ = det$(A)$ + det$(B)$
C. det$(A - B)$ = det$(A)$ - det$(B)$
D. det$(AB)$ = det$(A)$ + det$(B)$
29. Cho $A = egin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 end{bmatrix}$. Tìm một vector riêng của $A$ ứng với giá trị riêng $lambda = 3$.
A. $egin{bmatrix} 1 \ 1 end{bmatrix}$
B. $egin{bmatrix} 1 \ -1 end{bmatrix}$
C. $egin{bmatrix} 2 \ 1 end{bmatrix}$
D. $egin{bmatrix} -1 \ 1 end{bmatrix}$
30. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Nếu $A$ lũy linh thì:
A. Tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho $A^k = 0$.
B. $A = 0$.
C. det$(A)
eq 0$.
D. $A$ khả nghịch.
