1. Điều kiện nào sau đây là điều kiện cần để hàm số $f(x, y)$ đạt cực trị tại điểm $(x_0, y_0)$?
A. $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = 0$ và $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = 0$.
B. $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0, y_0) > 0$ và $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0, y_0) > 0$.
C. $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) > 0$ và $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) > 0$.
D. $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0, y_0) < 0$ và $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0, y_0) < 0$.
2. Đường cong $y = x^3$ có độ cong tại $x = 0$ bằng bao nhiêu?
A. $0$
B. $1$
C. $\infty$
D. $-1$
3. Cho hàm số $f(x,y) = xy$. Tính tích phân đường loại 1 $\int_C f(x,y) ds$, với $C$ là đoạn thẳng nối $(0,0)$ và $(1,1)$.
A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{3}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{6}$
D. $\frac{1}{2}$
4. Giải phương trình vi phân $y` + 2y = e^{-x}$.
A. $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$
B. $y = e^{-x} + C$
C. $y = Ce^{-2x}$
D. $y = e^{-2x} + Ce^{-x}$
5. Tính diện tích mặt $z = x^2 + y^2$ nằm phía dưới mặt phẳng $z = 1$.
A. $\frac{\pi}{6}(5\sqrt{5} - 1)$
B. $\pi\sqrt{5}$
C. $\frac{\pi}{3}(2\sqrt{2} - 1)$
D. $\frac{\pi}{2}$
6. Tính $\int_{0}^{\pi/2} \sin^2(x) dx$.
A. $\pi$
B. $\frac{\pi}{2}$
C. $\frac{\pi}{4}$
D. $1$
7. Tính $\int_{0}^{+\infty} e^{-x} dx$.
A. $0$
B. $1$
C. $\infty$
D. $-1$
8. Tìm vi phân cấp hai của hàm $f(x, y) = x^3 + y^3$.
A. $d^2f = 6xdx^2 + 6ydy^2$
B. $d^2f = 6x + 6y$
C. $d^2f = 3x^2dx^2 + 3y^2dy^2$
D. $d^2f = dx^2 + dy^2$
9. Tính tích phân suy rộng $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx$.
A. $\frac{1}{2}$
B. $1$
C. $0$
D. $+\infty$
10. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $y` = y$.
A. $y = x + C$
B. $y = e^x + C$
C. $y = Ce^x$
D. $y = Cx$
11. Cho $\vec{F}(x, y) = (P(x, y), Q(x, y))$ là một trường vector. Điều kiện nào sau đây để $\vec{F}$ là trường bảo toàn?
A. $\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial Q}{\partial y}$
B. $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$
C. $\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial Q}{\partial x}$
D. $\frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{\partial Q}{\partial x}$
12. Tính $\int \int_D (x + y) dA$ với $D = [0, 1] \times [0, 1]$.
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $\frac{1}{2}$
13. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$.
A. Hàm số có cực đại tại $(0, 0)$.
B. Hàm số không có cực trị.
C. Hàm số có cực tiểu tại $(0, 0)$.
D. Hàm số có điểm yên ngựa tại $(0, 0)$.
14. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $y`` - 3y` + 2y = 0$.
A. $y = C_1e^x + C_2e^{2x}$
B. $y = C_1e^{-x} + C_2e^{-2x}$
C. $y = C_1xe^x + C_2e^x$
D. $y = C_1e^x + C_2xe^{2x}$
15. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền giới hạn bởi $y = x^2$, $y = 0$ và $x = 1$ quanh trục $Ox$ là:
A. $\pi$
B. $\frac{\pi}{5}$
C. $\frac{\pi}{2}$
D. $\frac{\pi}{3}$
16. Tìm đạo hàm riêng cấp một của hàm số $f(x, y) = x^3 + x^2y + y^2$ theo biến $x$.
A. $3x^2 + x^2 + 2y$
B. $3x^2 + 2xy$
C. $2xy + 2y$
D. $3x^2 + 2xy + y^2$
17. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^2$ và $y = x$.
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{6}$
D. $1$
18. Tìm vi phân toàn phần của hàm số $z = f(x, y) = x^2y + xy^2$.
A. $dz = (2xy + y^2)dx + (x^2 + 2xy)dy$
B. $dz = (x^2 + 2xy)dx + (2xy + y^2)dy$
C. $dz = (2xy)dx + (2xy)dy$
D. $dz = (x^2y)dx + (xy^2)dy$
19. Giá trị của tích phân $\int_{0}^{1} x e^{x} dx$ là:
A. $1$
B. $e - 1$
C. $e$
D. $0$
20. Cho hàm số $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tính $\frac{\partial f}{\partial x}$.
A. $e^{x^2 + y^2}$
B. $2x e^{x^2 + y^2}$
C. $2y e^{x^2 + y^2}$
D. $\frac{1}{2} e^{x^2 + y^2}$
21. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.
A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$
B. $(0, 0)$ và $(-1, -1)$
C. $(1, 0)$ và $(0, 1)$
D. Không có điểm dừng
22. Cho hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$. Tìm điểm dừng của hàm số.
A. $(0, 0)$
B. $(1, 2)$
C. $(2, 1)$
D. $(0, 1)$
23. Chuỗi số nào sau đây hội tụ?
A. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
B. $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n$
C. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$
D. $\sum_{n=1}^{\infty} n$
24. Cho phương trình vi phân $y`` + y = 0$. Nghiệm tổng quát của phương trình là:
A. $y = C_1 e^x + C_2 e^{-x}$
B. $y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)$
C. $y = C_1 x + C_2$
D. $y = C_1 e^{ix} + C_2 e^{-ix}$
25. Tìm giới hạn $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$.
A. $0$
B. $1$
C. $-1$
D. Không tồn tại
26. Tìm công bội của chuỗi hình học $\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{3})^n$.
A. $1$
B. $3$
C. $\frac{1}{3}$
D. $-3$
27. Tích phân $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} f(x, y) dy dx$ được đổi thứ tự tích phân thành:
A. $\int_{0}^{1} \int_{0}^{y} f(x, y) dx dy$
B. $\int_{0}^{1} \int_{y}^{1} f(x, y) dx dy$
C. $\int_{0}^{x} \int_{0}^{1} f(x, y) dx dy$
D. $\int_{y}^{1} \int_{0}^{1} f(x, y) dx dy$
28. Cho hàm số $f(x,y) = x^2y + xy^2$. Tính $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
A. $2x + 2y$
B. $4xy$
C. $x^2 + y^2$
D. $3x^2 + 3y^2$
29. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1: $y` + p(x)y = 0$.
A. $y = C e^{\int p(x) dx}$
B. $y = C e^{-\int p(x) dx}$
C. $y = \int p(x) dx + C$
D. $y = p(x) + C$
30. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$.
A. $0$
B. $1$
C. $\infty$
D. $e$
