1. Cho $A$ là ma trận vuông. Nếu $A^2 = A$, thì $A$ được gọi là ma trận gì?
A. Ma trận lũy đẳng
B. Ma trận đối xứng
C. Ma trận phản đối xứng
D. Ma trận trực giao
2. Cho $A$ là ma trận vuông khả nghịch. Ma trận nghịch đảo của $A$, ký hiệu là $A^{-1}$, thỏa mãn điều kiện nào?
A. $AA^{-1} = A^{-1}A = I$
B. $AA^{-1} = A^{-1}A = 0$
C. $AA^{-1} = I$, nhưng $A^{-1}A$ có thể khác $I$
D. $AA^{-1} = A^{-1}A = A$
3. Cho $A$ là ma trận vuông. Nếu $A^T = A^{-1}$, thì $A$ được gọi là ma trận gì?
A. Ma trận trực giao
B. Ma trận đối xứng
C. Ma trận phản đối xứng
D. Ma trận lũy đẳng
4. Cho $A$ và $B$ là hai ma trận vuông cùng cấp. Phát biểu nào sau đây luôn đúng?
A. $det(AB) = det(A)det(B)$
B. $det(A+B) = det(A) + det(B)$
C. $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$
D. $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$
5. Cho $A$ là ma trận vuông. Khi nào thì $A$ và $A^T$ có cùng eigenvalue?
A. Luôn đúng
B. Chỉ khi $A$ là ma trận đối xứng
C. Chỉ khi $A$ là ma trận khả nghịch
D. Chỉ khi $A$ là ma trận đơn vị
6. Cho ma trận $A$ và $B$ cùng kích thước. Khi nào thì $A+B = B+A$?
A. Luôn đúng
B. Chỉ khi $A$ và $B$ là ma trận vuông
C. Chỉ khi $A = B$
D. Chỉ khi $A$ và $B$ là ma trận đơn vị
7. Cho ma trận $A$ kích thước $m imes n$. Hạng của ma trận $A$ là gì?
A. Số lượng cột độc lập tuyến tính tối đa của $A$
B. Số lượng hàng của $A$
C. Số lượng cột của $A$
D. Định thức của $A$
8. Cho ma trận $A$ và $B$ là hai ma trận vuông cùng cấp. Khi nào thì $(A+B)^T = A^T + B^T$?
A. Luôn đúng
B. Chỉ khi $A$ và $B$ là ma trận đối xứng
C. Chỉ khi $A$ và $B$ là ma trận khả nghịch
D. Chỉ khi $A$ và $B$ là ma trận đơn vị
9. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Nếu $A$ khả nghịch thì hạng của $A$ bằng bao nhiêu?
A. $n$
B. $0$
C. $1$
D. Không xác định
10. Cho biến đổi tuyến tính $T: mathbb{R}^2
ightarrow mathbb{R}^2$ được định nghĩa bởi $T(x, y) = (x + y, x - y)$. Tìm ma trận biểu diễn của $T$ đối với cơ sở chính tắc.
A. $egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & -1 end{bmatrix}$
B. $egin{bmatrix} 1 & -1 \ 1 & 1 end{bmatrix}$
C. $egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}$
D. $egin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{bmatrix}$
11. Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$. Khi nào thì $A$ được gọi là ma trận đối xứng?
A. $A = A^T$
B. $A = -A^T$
C. $A = A^{-1}$
D. $A = -A^{-1}$
12. Trong không gian vector $mathbb{R}^3$, mặt phẳng $ax + by + cz = 0$ (với $a, b, c$ không đồng thời bằng 0) là một không gian con. Tìm một vector pháp tuyến của mặt phẳng này.
A. $(a, b, c)$
B. $(x, y, z)$
C. $(a, b, 0)$
D. $(1, 1, 1)$
13. Cho biến đổi tuyến tính $T: mathbb{R}^n
ightarrow mathbb{R}^m$. Điều kiện nào sau đây là cần và đủ để $T$ là toàn ánh?
A. $Im(T) = mathbb{R}^m$
B. $Ker(T) = {0}$
C. $n = m$
D. $rank(T) = n$
14. Hai vector $vec{u}$ và $vec{v}$ được gọi là trực giao khi nào?
A. $vec{u} cdot vec{v} = 0$
B. $vec{u} = vec{v}$
C. $vec{u} cdot vec{v} = 1$
D. $vec{u} = -vec{v}$
15. Cho $A$ là một ma trận vuông. Khi nào thì hệ phương trình $Ax = 0$ có nghiệm không tầm thường?
A. Khi $det(A) = 0$
B. Khi $det(A)
eq 0$
C. Khi $A$ là ma trận đơn vị
D. Khi $A$ là ma trận đối xứng
16. Cho $A$ là ma trận $3 imes 3$ có các eigenvalue là $1, 2, 3$. Tính định thức của $A$.
A. $6$
B. $5$
C. $36$
D. $0$
17. Cho ma trận $A = egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 end{bmatrix}$. Ma trận này có khả nghịch không?
A. Không
B. Có
C. Chỉ khi thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên hàng
D. Chỉ khi thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên cột
18. Ma trận nào sau đây là ma trận đơn vị?
A. $egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}$
B. $egin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{bmatrix}$
C. $egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 end{bmatrix}$
D. $egin{bmatrix} 1 & 0 \ 1 & 1 end{bmatrix}$
19. Cho hệ vector {$v_1, v_2, ..., v_n$}. Khi nào hệ vector này được gọi là độc lập tuyến tính?
A. Khi tổ hợp tuyến tính $c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_nv_n = 0$ chỉ có nghiệm tầm thường $c_1 = c_2 = ... = c_n = 0$
B. Khi tất cả các vector đều khác vector không
C. Khi các vector đôi một trực giao
D. Khi $n$ lớn hơn số chiều của không gian vector
20. Cho $T: V
ightarrow W$ là một biến đổi tuyến tính. Khi nào thì $T$ được gọi là đơn ánh?
A. Nếu $T(u) = T(v)$ thì $u = v$
B. Nếu $u = v$ thì $T(u) = T(v)$
C. Nếu $T(u) = 0$ thì $u = 0$
D. Với mọi $w in W$ tồn tại $v in V$ sao cho $T(v) = w$
21. Cho vector $vec{v} = (1, 2, 3)$. Tìm độ dài của vector $vec{v}$.
A. $sqrt{14}$
B. $6$
C. $14$
D. $sqrt{6}$
22. Cho $A$ là ma trận $n imes n$. Trace của $A$ là gì?
A. Tổng các phần tử trên đường chéo chính của $A$
B. Tích các phần tử trên đường chéo chính của $A$
C. Định thức của $A$
D. Hạng của $A$
23. Cho $V$ là không gian vector các đa thức bậc không quá $n$. Tìm số chiều của $V$.
A. $n+1$
B. $n$
C. $n-1$
D. $2n$
24. Cho ma trận $A = egin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{bmatrix}$. Tính định thức của ma trận $A$.
A. $-2$
B. $10$
C. $2$
D. $-10$
25. Cho hai vector $vec{u} = (1, 2)$ và $vec{v} = (3, 4)$. Tính tích vô hướng của hai vector này.
A. $11$
B. $5$
C. $10$
D. $2$
26. Cho ma trận $A = egin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 end{bmatrix}$. Tìm eigenvalue của ma trận $A$.
A. $3$ và $1$
B. $2$ và $2$
C. $4$ và $0$
D. $1$ và $-1$
27. Cho hệ phương trình tuyến tính $Ax = b$. Điều kiện nào sau đây đảm bảo hệ phương trình có nghiệm duy nhất?
A. $det(A)
eq 0$
B. $det(A) = 0$
C. $A$ là ma trận vuông
D. $b = 0$
28. Cho $W$ là không gian con của không gian vector $V$. Số chiều của $W$ và $V$ liên hệ với nhau như thế nào?
A. $dim(W) le dim(V)$
B. $dim(W) ge dim(V)$
C. $dim(W) = dim(V)$
D. $dim(W) > dim(V)$
29. Cho không gian vector $V$ và $W$ là một không gian con của $V$. Điều kiện nào sau đây KHÔNG đúng?
A. W phải chứa vector 0
B. W phải đóng với phép cộng
C. W phải đóng với phép nhân với một số vô hướng
D. W phải chứa tất cả các vector của V
30. Cho ma trận $A$ kích thước $m imes n$. Không gian nghiệm của $A$ (null space) là gì?
A. Tập hợp tất cả các vector $x$ sao cho $Ax = 0$
B. Tập hợp tất cả các vector $x$ sao cho $Ax = b$ với $b
eq 0$
C. Tập hợp tất cả các vector $b$ sao cho $Ax = b$ có nghiệm
D. Tập hợp tất cả các vector $x$ sao cho $x^TAx = 0$
