1. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$.
A. Cực tiểu tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
B. Cực đại tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
C. Cực tiểu tại $(1, 0)$
D. Cực đại tại $(1, 0)$
2. Tính $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} x^2 + y^2 dy dx$.
A. $\frac{7}{15}$
B. $\frac{2}{5}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{2}$
3. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.
A. $(0, 0), (1, 1)$
B. $(0, 0), (-1, -1)$
C. $(1, 1), (-1, -1)$
D. $(0, 0), (1, 0)$
4. Tìm nghiệm của phương trình $y` + y = 0$, $y(0) = 1$.
A. $y = e^{-x}$
B. $y = e^{x}$
C. $y = \cos(x)$
D. $y = \sin(x)$
5. Giải phương trình vi phân $y` = \frac{x}{y}$.
A. $y^2 = x^2 + C$
B. $y = x + C$
C. $y^2 = -x^2 + C$
D. $y = -x + C$
6. Tìm vi phân toàn phần của hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$.
A. $(3x^2 - 3y)dx + (3y^2 - 3x)dy$
B. $(3x^2 + 3y)dx + (3y^2 + 3x)dy$
C. $(x^2 - y)dx + (y^2 - x)dy$
D. $(x^2 + y)dx + (y^2 + x)dy$
7. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình $y`` + y = 0$.
A. $y = c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x)$
B. $y = c_1 e^x + c_2 e^{-x}$
C. $y = c_1 e^x + c_2 x e^x$
D. $y = c_1 \cos(x) + c_2 x \cos(x)$
8. Cho $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$. Tính định thức của $A$.
A. $-2$
B. $2$
C. $-10$
D. $10$
9. Giải phương trình vi phân $y`` + y = \sin(x)$.
A. $y = c_1\cos(x) + c_2\sin(x) - \frac{1}{2}x\cos(x)$
B. $y = c_1\cos(x) + c_2\sin(x) + \frac{1}{2}x\cos(x)$
C. $y = c_1\cos(x) + c_2\sin(x) - \frac{1}{2}x\sin(x)$
D. $y = c_1\cos(x) + c_2\sin(x) + \frac{1}{2}x\sin(x)$
10. Cho $\vec{a} = (1, 2, -1)$ và $\vec{b} = (2, -1, 1)$. Tính tích có hướng $\vec{a} \times \vec{b}$.
A. $(1, -3, -5)$
B. $(1, 3, 5)$
C. $(1, 3, -5)$
D. $(1, -3, 5)$
11. Tính tích phân $\int_0^{\infty} e^{-x^2} dx$.
A. $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
B. $\sqrt{\pi}$
C. $\frac{\pi}{2}$
D. $\pi$
12. Tính tích phân đường $\int_C x dy - y dx$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$ đi ngược chiều kim đồng hồ.
A. $-2\pi$
B. $2\pi$
C. $\pi$
D. $-\pi$
13. Tìm eigenvalue của ma trận $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.
A. $1, 3$
B. $-1, -3$
C. $1, -3$
D. $-1, 3$
14. Tìm gradient của hàm số $f(x, y) = x^2 + xy + y^2$ tại điểm $(1, 1)$.
A. $(3, 3)$
B. $(1, 1)$
C. $(2, 2)$
D. $(0, 0)$
15. Cho hàm số $f(x, y) = \ln(x^2 + y^2)$. Tính $\frac{\partial f}{\partial x}$.
A. $\frac{2x}{x^2 + y^2}$
B. $\frac{2y}{x^2 + y^2}$
C. $\frac{x}{x^2 + y^2}$
D. $\frac{y}{x^2 + y^2}$
16. Tính tích phân $\int \int_D (x + y) dA$, với $D$ là miền giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 4$.
A. $\frac{256}{5}$
B. $\frac{128}{5}$
C. $\frac{64}{5}$
D. $\frac{32}{5}$
17. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y`` - 4y` + 4y = 0$.
A. $y = c_1e^{2x} + c_2xe^{2x}$
B. $y = c_1e^{2x} + c_2e^{-2x}$
C. $y = c_1\cos(2x) + c_2\sin(2x)$
D. $y = c_1e^{-2x} + c_2xe^{-2x}$
18. Cho hàm số $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tính đạo hàm theo hướng $\vec{v} = (1, 1)$ tại điểm $(0, 0)$.
A. $0$
B. $\sqrt{2}$
C. $2\sqrt{2}$
D. $1$
19. Cho $f(x, y) = x^2 + y^2$. Tính $df$ tại $(1, 2)$.
A. $2dx + 4dy$
B. $dx + 2dy$
C. $4dx + 2dy$
D. $4dx + 4dy$
20. Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính sau: $\begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases}$
A. $(2, 1)$
B. $(1, 2)$
C. $(0, 3)$
D. $(3, 0)$
21. Cho hàm số $f(x, y) = x^2y$. Tính đạo hàm hỗn hợp $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
A. $2x$
B. $x^2$
C. $2y$
D. $y^2$
22. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 2x$.
A. $\frac{4}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{5}{3}$
23. Tìm đạo hàm riêng $\frac{\partial z}{\partial x}$ của hàm số $z = x^2y + \sin(xy)$.
A. $2xy + y\cos(xy)$
B. $x^2 + y\cos(xy)$
C. $2xy + x\cos(xy)$
D. $x^2 + x\cos(xy)$
24. Giải phương trình vi phân $y` + 2y = e^{-x}$.
A. $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$
B. $y = e^{-x} + Ce^{2x}$
C. $y = e^{x} + Ce^{-2x}$
D. $y = e^{x} + Ce^{2x}$
25. Tính tích phân $\int_{0}^{\pi} \sin^2(x) dx$.
A. $\frac{\pi}{2}$
B. $\pi$
C. $\frac{\pi}{4}$
D. $0$
26. Tính $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$.
A. $1$
B. $0$
C. $\infty$
D. Không tồn tại
27. Tính giới hạn $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2y}{x^4 + y^2}$.
A. Không tồn tại
B. 0
C. 1
D. $\infty$
28. Tìm hạng của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$.
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $0$
29. Tìm cực trị của hàm $f(x) = x^3 - 3x$.
A. Cực đại tại $x = -1$, cực tiểu tại $x = 1$
B. Cực đại tại $x = 1$, cực tiểu tại $x = -1$
C. Cực đại tại $x = 0$, cực tiểu tại $x = 2$
D. Cực đại tại $x = 2$, cực tiểu tại $x = 0$
30. Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng $2x - y + 3z = 5$.
A. $(2, -1, 3)$
B. $(2, 1, 3)$
C. $(2, -1, -3)$
D. $\frac{1}{\sqrt{14}}(2, -1, 3)$
