1. Cho $V$ là không gian vector các ma trận vuông cấp 2. Tìm số chiều của $V$.
2. Cho $V$ là không gian vector và $W_1, W_2$ là hai không gian con của $V$. $W_1 + W_2$ là gì?
A. Tập hợp tất cả các vector $w_1 + w_2$ với $w_1 in W_1$ và $w_2 in W_2$.
B. Giao của $W_1$ và $W_2$.
C. Hợp của $W_1$ và $W_2$.
D. Tập rỗng.
3. Cho hệ phương trình tuyến tính $Ax = b$. Điều kiện nào sau đây đảm bảo hệ có nghiệm duy nhất?
A. det(A) = 0
B. rank(A) < rank([A|b])
C. rank(A) = rank([A|b]) = số ẩn
D. rank(A) > rank([A|b])
4. Cho $A$ là ma trận trực giao. Tính chất nào sau đây là đúng?
A. $A = A^T$
B. $A = -A^T$
C. $A^{-1} = A^T$
D. $A^{-1} = -A^T$
5. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Khi nào $A$ được gọi là ma trận đối xứng?
A. Khi $A = A^T$.
B. Khi $A = -A^T$.
C. Khi $A^{-1} = A^T$.
D. Khi $A^{-1} = A$.
6. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Điều kiện nào sau đây đảm bảo rằng $A$ có thể chéo hóa được?
A. A có $n$ giá trị riêng phân biệt.
B. A có ít hơn $n$ giá trị riêng.
C. det(A) = 0.
D. A là ma trận tam giác.
7. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Khi nào $A$ được gọi là ma trận lũy linh?
A. Khi tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho $A^k = 0$.
B. Khi $A^2 = A$.
C. Khi $A^2 = I$.
D. Khi $A = 0$.
8. Cho $T: V
ightarrow W$ là một ánh xạ tuyến tính. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. dim(V) = dim(Ker(T)) + dim(Im(T))
B. dim(V) = dim(Ker(T)) - dim(Im(T))
C. dim(V) = dim(Ker(T)) * dim(Im(T))
D. dim(V) = dim(Ker(T)) / dim(Im(T))
9. Cho $V$ là không gian vector và $S$ là một tập con của $V$. Span(S) là gì?
A. Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vector trong $S$.
B. Tập hợp tất cả các vector trong $S$.
C. Tập hợp tất cả các vector trực giao với các vector trong $S$.
D. Tập hợp rỗng.
10. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Điều kiện nào sau đây tương đương với việc $A$ khả nghịch?
A. det(A) = 0
B. rank(A) < n
C. A có ít nhất một hàng toàn số 0.
D. det(A) $
eq$ 0
11. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ có các hàng độc lập tuyến tính. Điều gì có thể kết luận về hệ phương trình tuyến tính $Ax = 0$?
A. Hệ có vô số nghiệm.
B. Hệ có nghiệm duy nhất là $x = 0$.
C. Hệ không có nghiệm.
D. Không thể kết luận gì.
12. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ và $c$ là một số vô hướng. Tính det(cA).
A. c * det(A)
B. $c^n$ * det(A)
C. det(A) / c
D. det(A)
13. Cho $u = (1, 2, 3)$ và $v = (4, 5, 6)$. Tính tích có hướng $u imes v$.
A. $(-3, 6, -3)$
B. $(3, -6, 3)$
C. $(0, 0, 0)$
D. $(1, 1, 1)$
14. Cho $V$ là không gian vector với tích vô hướng. Khi nào hai vector $u, v in V$ được gọi là trực giao?
A. Khi $u = v$.
B. Khi $u cdot v = 0$.
C. Khi $u cdot v = 1$.
D. Khi $||u|| = ||v||$.
15. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Phát biểu nào sau đây là đúng về định thức của $A$?
A. det(A) luôn dương.
B. det(A) = det(A^T).
C. det(A) = -det(A^T).
D. det(A) luôn là số nguyên.
16. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ khả nghịch. Ma trận nghịch đảo $A^{-1}$ có tính chất nào sau đây?
A. $(A^{-1})^{-1} = A$
B. $(A^{-1})^{-1} = I$
C. $(A^{-1})^{-1} = 0$
D. $(A^{-1})^{-1}$ không tồn tại.
17. Cho $V$ là không gian vector các đa thức bậc không quá 2. Xét $p_1(x) = 1 + x$, $p_2(x) = x + x^2$, $p_3(x) = 1 + x^2$. Hỏi tập hợp {$p_1, p_2, p_3$} có độc lập tuyến tính không?
A. Không độc lập tuyến tính.
B. Không thể xác định.
C. Độc lập tuyến tính.
D. Tạo thành cơ sở của $V$.
18. Cho $A$ và $B$ là hai ma trận vuông cùng cấp. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$
B. $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$
C. det(A + B) = det(A) + det(B)
D. Nếu $AB = BA$ thì $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$
19. Cho $V$ là không gian vector con của $mathbb{R}^n$. Khi nào một tập hợp các vector trong $V$ tạo thành một cơ sở của $V$?
A. Khi tập hợp đó độc lập tuyến tính.
B. Khi tập hợp đó sinh ra $V$.
C. Khi tập hợp đó độc lập tuyến tính và sinh ra $V$.
D. Khi tập hợp đó phụ thuộc tuyến tính và sinh ra $V$.
20. Cho ma trận $A = egin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{bmatrix}$. Tìm ma trận nghịch đảo $A^{-1}$ (nếu có).
A. $A^{-1} = egin{bmatrix} -2 & 1 \ 1.5 & -0.5 end{bmatrix}$
B. Ma trận $A$ không khả nghịch.
C. $A^{-1} = egin{bmatrix} -2 & 1.5 \ 1 & -0.5 end{bmatrix}$
D. $A^{-1} = egin{bmatrix} 2 & -1 \ -1.5 & 0.5 end{bmatrix}$
21. Cho $A$ và $B$ là hai ma trận vuông cùng cấp. Khi nào $AB = BA$?
A. Luôn đúng.
B. Chỉ khi A hoặc B là ma trận đơn vị.
C. Chỉ khi A và B là ma trận đường chéo.
D. Không phải lúc nào cũng đúng, chỉ đúng trong một số trường hợp đặc biệt.
22. Cho ma trận $A = egin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 end{bmatrix}$. Tìm các giá trị riêng của $A$.
A. $lambda_1 = 1, lambda_2 = 3$
B. $lambda_1 = 0, lambda_2 = 4$
C. $lambda_1 = -1, lambda_2 = -3$
D. $lambda_1 = 2, lambda_2 = 2$
23. Cho $u$ và $v$ là hai vector trong không gian vector Euclid. Phát biểu nào sau đây là đúng về tích vô hướng?
A. $u cdot v = ||u|| cdot ||v|| cdot sin( heta)$
B. $u cdot v = ||u|| + ||v||$
C. $u cdot v = ||u|| cdot ||v|| cdot cos( heta)$
D. $u cdot v = 0$ khi và chỉ khi $u = v = 0$.
24. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ có các giá trị riêng $lambda_1, lambda_2, ..., lambda_n$. Tính det(A).
A. $lambda_1 + lambda_2 + ... + lambda_n$
B. $lambda_1 cdot lambda_2 cdot ... cdot lambda_n$
C. 0
D. 1
25. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ và $lambda$ là một giá trị riêng của $A$. Khi đó, vector riêng tương ứng với $lambda$ là gì?
A. Một vector $v$ khác 0 sao cho $Av = lambda v$.
B. Một vector $v$ sao cho $Av = v$.
C. Một vector $v$ sao cho $Av = 0$.
D. Một vector $v$ sao cho $A = lambda v$.
26. Cho $A$ là ma trận $m imes n$. Điều kiện nào sau đây là đúng?
A. rank(A) > min(m, n)
B. rank(A) < min(m, n)
C. rank(A) $le$ min(m, n)
D. rank(A) $ge$ min(m, n)
27. Tìm cơ sở của không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất $x + y + z = 0$.
A. {(-1, 1, 0), (-1, 0, 1)}
B. {(1, 1, 1)}
C. {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
D. Không có cơ sở.
28. Cho $V$ là không gian vector và $W$ là một tập con của $V$. Điều kiện nào sau đây là cần và đủ để $W$ là một không gian con của $V$?
A. $W$ khác rỗng.
B. $W$ đóng với phép cộng và phép nhân với một số vô hướng.
C. $W$ đóng với phép cộng nhưng không đóng với phép nhân với một số vô hướng.
D. $W$ đóng với phép nhân với một số vô hướng nhưng không đóng với phép cộng.
29. Cho $T: V
ightarrow W$ là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó, Ker(T) là gì?
A. Tập hợp tất cả các vector $v in V$ sao cho $T(v) = 0$.
B. Tập hợp tất cả các vector $w in W$ sao cho $T(v) = w$ với mọi $v in V$.
C. Tập hợp tất cả các vector $v in V$ sao cho $T(v)
eq 0$.
D. Tập hợp tất cả các vector $w in W$.
30. Cho ánh xạ tuyến tính $T: mathbb{R}^2
ightarrow mathbb{R}^2$ được xác định bởi $T(x, y) = (x + y, x - y)$. Tìm ma trận biểu diễn của $T$ đối với cơ sở chính tắc.
A. $egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & -1 end{bmatrix}$
B. $egin{bmatrix} 1 & -1 \ 1 & 1 end{bmatrix}$
C. $egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}$
D. $egin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{bmatrix}$
