Đề 9 – Đề thi, câu hỏi trắc nghiệm online Toán cao cấp 2

1. Cho $z = f(x, y)$, với $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$. Tính $\frac{\partial z}{\partial r}$.

A. $\frac{\partial z}{\partial x} \cos \theta + \frac{\partial z}{\partial y} \sin \theta$

B. $\frac{\partial z}{\partial x} \sin \theta + \frac{\partial z}{\partial y} \cos \theta$

C. $\frac{\partial z}{\partial x} r \cos \theta + \frac{\partial z}{\partial y} r \sin \theta$

D. $\frac{\partial z}{\partial x} \cos \theta - \frac{\partial z}{\partial y} \sin \theta$

2. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^{\infty} n! x^n$.

A. $0$

B. $1$

C. $\infty$

D. $e$

3. Tìm cực trị của hàm $f(x,y) = x^2 + y^2 -2x - 4y + 5$.

A. Hàm số đạt cực tiểu tại (1,2)

B. Hàm số đạt cực đại tại (1,2)

C. Hàm số không có cực trị

D. Hàm số đạt cực tiểu tại (-1,-2)

4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = x$.

A. $\frac{1}{6}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $1$

5. Tính tích phân đường loại 2: $\int_C (x^2 + y^2)dx + 2xydy$ với C là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$ lấy theo chiều dương.

A. 0

B. $\pi$

C. $2\pi$

D. 1

6. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x^3 - 3x$ trên đoạn $[-2, 3]$.

A. $2$

B. $18$

C. $-2$

D. $-18$

7. Tính định thức của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$.

A. $2$

B. $-2$

C. $10$

D. $-10$

8. Tìm gradient của hàm số $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$ tại điểm $(1, 1, 1)$.

A. $(1, 1, 1)$

B. $(2, 2, 2)$

C. $(3, 3, 3)$

D. $(0, 0, 0)$

9. Tính tích phân $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx$.

A. $1$

B. $\sqrt{\pi}$

C. $\pi$

D. $2\sqrt{\pi}$

10. Tìm đạo hàm của hàm số $y = \ln(\sin x)$.

A. $\cot x$

B. $\tan x$

C. $\frac{1}{\sin x}$

D. $\frac{1}{\cos x}$

11. Giải hệ phương trình tuyến tính $\begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases}$.

A. $x = 1, y = 2$

B. $x = 2, y = 1$

C. $x = 2, y = 2$

D. $x = 1, y = 1$

12. Cho hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$. Tìm vi phân toàn phần của hàm số.

A. $df = 2x dx + 2y dy$

B. $df = x dx + y dy$

C. $df = dx + dy$

D. $df = x^2 dx + y^2 dy$

13. Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng $x + y + z = 1$.

A. $(1, 1, 1)$

B. $(1, 0, 0)$

C. $(0, 1, 0)$

D. $(0, 0, 1)$

14. Tính $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2 + 1}$.

A. $0$

B. $1$

C. $\infty$

D. Không tồn tại

15. Tính tích phân $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} xy \, dy \, dx$.

A. $\frac{1}{8}$

B. $\frac{1}{6}$

C. $\frac{1}{4}$

D. $\frac{1}{2}$

16. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm điểm dừng của hàm số.

A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$

B. $(0, 1)$ và $(1, 0)$

C. $(0, 0)$ và $(-1, -1)$

D. $(1, 1)$ và $(-1, -1)$

17. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$.

A. Cực đại tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

B. Cực tiểu tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

C. Cực đại tại $(1, 0)$

D. Cực tiểu tại $(0, 1)$

18. Tính đạo hàm của hàm số $f(x, y) = x^2y + xy^2$ tại điểm $(1, 1)$ theo hướng $\vec{v} = (1, 1)$.

A. $2\sqrt{2}$

B. $3\sqrt{2}$

C. $4\sqrt{2}$

D. $\sqrt{2}$

19. Giải phương trình vi phân $y' + y = e^{-x}$.

A. $y = (x + C)e^{-x}$

B. $y = xe^{-x} + C$

C. $y = e^{-x} + Cx$

D. $y = (C - x)e^{-x}$

20. Tính $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$.

A. $0$

B. $1$

C. $\infty$

D. Không tồn tại

21. Tính tích phân đường $\int_C x \, ds$, với $C$ là đoạn thẳng nối $(0, 0)$ và $(1, 1)$.

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

B. $\sqrt{2}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $1$

22. Tìm nghiệm của phương trình $y' = y$.

A. $y = Ce^x$

B. $y = Cx$

C. $y = C$

D. $y = e^x + C$

23. Tìm eigenvalue của ma trận $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.

A. $1$ và $2$

B. $1$ và $3$

C. $2$ và $3$

D. $-1$ và $-3$

24. Cho hàm số $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tính $\frac{\partial f}{\partial x}$ tại điểm $(0, 0)$.

A. $0$

B. $1$

C. $2$

D. $e$

25. Tìm hạng của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$.

A. $0$

B. $1$

C. $2$

D. $3$

26. Tìm miền hội tụ của chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$.

A. $(-1, 1)$

B. $[-1, 1)$

C. $(-1, 1]$

D. $[-1, 1]$

27. Tính tích phân bội hai $\iint_D (x + y) \, dA$, với $D = [0, 1] \times [0, 1]$.

A. $0$

B. $1$

C. $2$

D. $\frac{1}{2}$

28. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y'' + y = 0$.

A. $y = C_1 \cos x + C_2 \sin x$

B. $y = C_1 e^x + C_2 e^{-x}$

C. $y = C_1 x + C_2$

D. $y = C_1 \cos x - C_2 \sin x$

29. Tính tích phân $\int \frac{1}{x} dx$.

A. $\ln |x| + C$

B. $-\frac{1}{x^2} + C$

C. $x + C$

D. $\frac{1}{x^2} + C$

30. Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x}) & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$. Tính $f'(0)$.

A. $0$

B. $1$

C. $\infty$

D. Không tồn tại