1. Tìm đạo hàm của hàm số $y = \arctan(x)$.
A. $\frac{1}{1 + x^2}$
B. $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
C. $\frac{-1}{1 + x^2}$
D. $\frac{1}{x}$
2. Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$.
A. $x = 1$
B. $x = 0$
C. $x = -1$
D. $x = 2$
3. Tìm đạo hàm của hàm số $y = \ln(x^2 + 1)$.
A. $\frac{2x}{x^2 + 1}$
B. $\frac{1}{x^2 + 1}$
C. $\frac{2x}{\ln(x^2 + 1)}$
D. $\frac{x}{x^2 + 1}$
4. Tìm nghiệm của phương trình $y`` + y = 0$.
A. $y = A\cos(x) + B\sin(x)$
B. $y = Ae^x + Be^{-x}$
C. $y = Ax + B$
D. $y = e^x(A\cos(x) + B\sin(x))$
5. Tìm vi phân của hàm số $y = \sin(2x)$.
A. $2\cos(2x)dx$
B. $\cos(2x)dx$
C. $-2\cos(2x)dx$
D. $- \cos(2x)dx$
6. Tìm đạo hàm của hàm số $y = x^{\sin(x)}$.
A. $x^{\sin(x)} \left( \cos(x) \ln(x) + \frac{\sin(x)}{x} \right)$
B. $x^{\sin(x)} \cos(x) \ln(x)$
C. $x^{\sin(x)} \frac{\sin(x)}{x}$
D. $\sin(x) x^{\sin(x) - 1}$
7. Cho hàm số $f(x) = \frac{1}{x}$. Tìm $f^{(n)}(x)$, đạo hàm cấp n của f(x).
A. $(-1)^n \frac{n!}{x^{n+1}}$
B. $\frac{n!}{x^{n+1}}$
C. $(-1)^n \frac{1}{x^{n+1}}$
D. $(-1)^{n+1} \frac{n!}{x^{n+1}}$
8. Tìm đạo hàm của hàm số $y = x^3 + 2x^2 - 5x + 1$.
A. $3x^2 + 4x - 5$
B. $x^2 + 4x - 5$
C. $3x^2 + 4x + 5$
D. $3x^2 + 2x - 5$
9. Tính tích phân $\int_0^1 x^2 dx$.
A. $\frac{1}{3}$
B. 1
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{4}$
10. Cho hàm số $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$. Tìm khoảng đồng biến của hàm số.
A. $(-\infty, 1)$ và $(3, +\infty)$
B. $(1, 3)$
C. $\mathbb{R}$
D. $(0, +\infty)$
11. Cho hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$. Tính đạo hàm riêng $\frac{\partial f}{\partial x}$.
A. $2x$
B. $2y$
C. 0
D. $x + y$
12. Tính giới hạn $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$.
A. 4
B. 0
C. 1
D. Không tồn tại
13. Tìm miền xác định của hàm số $y = \sqrt{4 - x^2}$.
A. $[-2, 2]$
B. $\mathbb{R}$
C. $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$
D. $(-\infty, 2]$
14. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2x + 1}{x - 1}$.
A. $y = 2$
B. $x = 1$
C. $y = 1$
D. $x = 2$
15. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$.
A. $\infty$
B. 0
C. 1
D. 2
16. Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(ax)}{x}, & x \neq 0 \\ 2, & x = 0 \end{cases}$. Tìm a để hàm số liên tục tại x = 0.
17. Tính giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$.
A. 1
B. 0
C. $\infty$
D. Không tồn tại
18. Tìm đạo hàm của hàm số $y = e^{\cos(x)}$.
A. $-e^{\cos(x)} \sin(x)$
B. $e^{\cos(x)} \sin(x)$
C. $e^{\cos(x)}$
D. $\cos(x) e^{\cos(x) - 1}$
19. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sin(x)$.
A. $\cos(x) + C$
B. $-\cos(x) + C$
C. $\sin(x) + C$
D. $-\sin(x) + C$
20. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $y` = y$.
A. $y = Ce^x$
B. $y = Cx$
C. $y = C\sin(x)$
D. $y = C\cos(x)$
21. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x^3 - 3x$ trên đoạn $[-2, 3]$.
22. Cho hàm số $f(x, y) = x^2y + xy^2 + x^3 + y^3$. Tính $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
A. $2x + 2y$
B. $2x + 2y + 3x^2 + 3y^2$
C. $x^2 + y^2$
D. $4xy$
23. Tính gần đúng giá trị của $\sqrt{4.01}$ sử dụng vi phân.
A. 2.0025
B. 2.005
C. 2.01
D. 2.00
24. Tính tích phân suy rộng $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} dx$.
A. 1
B. $\infty$
C. 0
D. Không tồn tại
25. Tính tích phân bất định $\int x e^x dx$.
A. $x e^x - e^x + C$
B. $x e^x + e^x + C$
C. $e^x + C$
D. $x^2 e^x + C$
26. Tìm công thức khai triển Maclaurin của hàm số $f(x) = e^x$.
A. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
B. $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$
C. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n!}$
D. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$
27. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x}{x - 1}$.
A. $x = 1$
B. $y = 1$
C. $x = 0$
D. $y = 0$
28. Tìm cực trị của hàm số $y = x^2 - 4x + 3$.
A. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$
B. Hàm số đạt cực đại tại $x = 2$
C. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = -2$
D. Hàm số đạt cực đại tại $x = -2$
29. Xác định tính liên tục của hàm số $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \le 1 \\ 2x - 1, & x > 1 \end{cases}$ tại $x = 1$.
A. Liên tục
B. Gián đoạn
C. Không xác định
D. Liên tục phải
30. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^2$ và $y = x$.
A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{1}{3}$
D. 1
