1. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân $y`` - y = x$, biết $y(0) = 0$ và $y`(0) = 1$.
A. $y = -x + e^x - e^{-x}$
B. $y = -x + e^x + e^{-x}$
C. $y = x + e^x - e^{-x}$
D. $y = x + e^x + e^{-x}$
2. Giải phương trình vi phân $y` + y = x$, với điều kiện $y(0) = 0$.
A. $y = x - 1 + e^{-x}$
B. $y = x - 1 - e^{-x}$
C. $y = x + 1 + e^{-x}$
D. $y = x + 1 - e^{-x}$
3. Tìm nghiệm của phương trình $y` + \frac{2}{x}y = x$, với $y(1) = 0$.
A. $y = \frac{x^2}{4} - \frac{1}{4x^2}$
B. $y = \frac{x^2}{4} + \frac{1}{4x^2}$
C. $y = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2x^2}$
D. $y = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^2}$
4. Cho phương trình vi phân $y`` + 2y` + y = 0$. Tìm nghiệm tổng quát.
A. $y = (C_1+C_2x)e^{-x}$
B. $y = C_1e^{-x} + C_2e^{x}$
C. $y = C_1\cos(x) + C_2\sin(x)$
D. $y = C_1e^{x} + C_2xe^{x}$
5. Tính $\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\sin(x)} y dy dx$.
A. $\frac{\pi}{4}$
B. $\frac{\pi}{2}$
C. $\pi$
D. $2\pi$
6. Cho hàm số $f(x, y) = x^2y + xy^2$. Tìm đạo hàm theo hướng của $f$ tại điểm $(1, 2)$ theo hướng $\vec{v} = (1, 1)$.
A. $\frac{11\sqrt{2}}{2}$
B. $11\sqrt{2}$
C. $\frac{11}{2}$
D. $11$
7. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$.
A. Hàm số đạt cực tiểu tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
B. Hàm số đạt cực đại tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
C. Hàm số đạt cực tiểu tại $(1, 0)$
D. Hàm số đạt cực đại tại $(0, 1)$
8. Tính $\iint_D (x + y) dA$ với $D$ là miền giới hạn bởi $y = x$, $y = x^2$.
A. $\frac{1}{20}$
B. $\frac{1}{10}$
C. $\frac{1}{5}$
D. $\frac{3}{20}$
9. Tính tích phân $\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} e^{-y^2} dy dx$.
A. $\frac{1}{2}(1 - e^{-1})$
B. $1 - e^{-1}$
C. $\frac{1}{2}e^{-1}$
D. $e^{-1}$
10. Tính $\oint_C (x^2 - y^2) dx + 2xy dy$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 4$.
A. $0$
B. $4\pi$
C. $8\pi$
D. $16\pi$
11. Tìm cực trị của hàm $f(x,y) = x^2 + y^2 - xy + x + y$ .
A. Cực tiểu tại $(-1, -1)$
B. Cực đại tại $(-1, -1)$
C. Cực tiểu tại $(1, 1)$
D. Cực đại tại $(1, 1)$
12. Cho $f(x, y) = x^2 + xy + y^2$. Tìm giá trị lớn nhất của $f$ trên miền $x^2 + y^2 \le 1$.
A. $\frac{3}{2}$
B. $1$
C. $2$
D. $\frac{1}{2}$
13. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3x - 12y$. Tìm các điểm cực trị của hàm số.
A. Cực đại tại $(-1, -2)$, cực tiểu tại $(1, 2)$
B. Cực đại tại $(1, 2)$, cực tiểu tại $(-1, -2)$
C. Cực đại tại $(-1, 2)$, cực tiểu tại $(1, -2)$
D. Cực đại tại $(1, -2)$, cực tiểu tại $(-1, 2)$
14. Tính diện tích mặt $z = x^2 + y^2$ nằm dưới mặt phẳng $z = 1$.
A. $\frac{\pi}{6}(5\sqrt{5} - 1)$
B. $\frac{\pi}{3}(5\sqrt{5} - 1)$
C. $\frac{\pi}{6}(5\sqrt{5} + 1)$
D. $\frac{\pi}{3}(5\sqrt{5} + 1)$
15. Tính diện tích miền D giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 4$.
A. $\frac{32}{3}$
B. $\frac{16}{3}$
C. $\frac{8}{3}$
D. $\frac{64}{3}$
16. Tính $\int_{C} (x^2 + y^2) ds$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$.
A. $2\pi$
B. $\pi$
C. $4\pi$
D. $0$
17. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi $z = x^2 + y^2$ và $z = 4$.
A. $8\pi$
B. $4\pi$
C. $16\pi$
D. $2\pi$
18. Cho $z = f(x, y)$, với $x = u + v$ và $y = u - v$. Tính $\frac{\partial z}{\partial u}$.
A. $\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}$
B. $\frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y}$
C. $\frac{\partial f}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial v}$
D. $\frac{\partial f}{\partial u} - \frac{\partial f}{\partial v}$
19. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình $y`` - 3y` + 2y = e^x$.
A. $y = C_1e^x + C_2e^{2x} - xe^x$
B. $y = C_1e^x + C_2e^{2x} - e^x$
C. $y = C_1e^x + C_2e^{2x} + xe^x$
D. $y = C_1e^x + C_2e^{2x} + e^x$
20. Cho phương trình vi phân $y` + 2y = e^{-x}$. Tìm nghiệm của phương trình.
A. $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$
B. $y = e^{-x} + C$
C. $y = Ce^{-2x}$
D. $y = e^{-2x} + Ce^{-x}$
21. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.
A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$
B. $(0, 1)$ và $(1, 0)$
C. $(0, 0)$ và $(-1, -1)$
D. $(0, 0)$ và $(1, -1)$
22. Tìm diện tích của miền giới hạn bởi đường cong $r = 2\cos(\theta)$.
A. $\pi$
B. $2\pi$
C. $4\pi$
D. $\frac{\pi}{2}$
23. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $y`` - 4y` + 4y = 0$.
A. $y = C_1e^{2x} + C_2xe^{2x}$
B. $y = C_1e^{2x} + C_2e^{-2x}$
C. $y = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)$
D. $y = C_1e^{-2x} + C_2xe^{-2x}$
24. Tính tích phân $\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx$.
A. $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
B. $\sqrt{\pi}$
C. $\frac{\pi}{2}$
D. $\pi$
25. Cho hàm số $f(x, y) = xy$. Tìm giá trị lớn nhất của $f$ trên miền $x^2 + y^2 = 1$.
A. $\frac{1}{2}$
B. $1$
C. $2$
D. $\frac{1}{4}$
26. Cho hàm số $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tìm gradient của $f$ tại điểm $(1, 1)$.
A. $(2e^2, 2e^2)$
B. $(e^2, e^2)$
C. $(2e, 2e)$
D. $(e, e)$
27. Tính tích phân $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} (x^2 + y^2) dy dx$.
A. $\frac{7}{12}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{2}{5}$
D. $\frac{1}{2}$
28. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $y` = \frac{x}{y}$, biết $y(1) = 1$.
A. $y = \sqrt{x^2}$
B. $y = \sqrt{x^2 + 1}$
C. $y = \sqrt{x^2 - 1}$
D. $y = x^2$
29. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y`` + 4y = 0$.
A. $y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)$
B. $y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}$
C. $y = C_1 \cos(4x) + C_2 \sin(4x)$
D. $y = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-4x}$
30. Tính $\int_{C} x dy - y dx$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$, đi theo chiều dương.
A. $2\pi$
B. $\pi$
C. $\frac{\pi}{2}$
D. $0$
