1. Tìm nghiệm của phương trình $y`` + y = \sin x$.
A. $y = C_1\cos x + C_2\sin x - \frac{1}{2}x\cos x$
B. $y = C_1\cos x + C_2\sin x + \frac{1}{2}x\cos x$
C. $y = C_1\cos x + C_2\sin x - \frac{1}{2}x\sin x$
D. $y = C_1\cos x + C_2\sin x + \frac{1}{2}x\sin x$
2. Cho $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$. Tính $\nabla f$ tại điểm $(1, 2, 3)$.
A. $\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
3. Tìm hạng của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$.
4. Tính $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$.
A. 1
B. 0
C. $\infty$
D. -1
5. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$.
A. Hàm số đạt cực tiểu tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
B. Hàm số đạt cực đại tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
C. Hàm số không có cực trị
D. Hàm số đạt cực tiểu tại $(1, 0)$
6. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$.
A. $\mathbb{R}$
B. $\left( -1, 1 \right)$
C. $\left[ -1, 1 \right]$
D. $\left( -\infty, 0 \right)$
7. Tính $\int_0^{\infty} e^{-x^2} dx$.
A. $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
B. $\sqrt{\pi}$
C. $\frac{\pi}{2}$
D. $\pi$
8. Cho hàm số $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tính đạo hàm riêng cấp hai $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$.
A. $2e^{x^2 + y^2} + 4x^2e^{x^2 + y^2}$
B. $2e^{x^2 + y^2}$
C. $4x^2e^{x^2 + y^2}$
D. $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$
9. Cho $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Xét cực trị tại $(0, 0)$.
A. Không là cực trị
B. Cực đại
C. Cực tiểu
D. Không xác định
10. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y`` + 4y = 0$.
A. $y = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)$
B. $y = C_1e^{2x} + C_2e^{-2x}$
C. $y = C_1\cos(4x) + C_2\sin(4x)$
D. $y = C_1e^{4x} + C_2e^{-4x}$
11. Tìm giá trị riêng của ma trận $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.
A. 1 và 3
B. 2 và 2
C. 0 và 4
D. -1 và 3
12. Cho hàm số $f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2 + y^2}, & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$. Hàm số có liên tục tại $(0, 0)$ không?
A. Không liên tục
B. Liên tục
C. Không xác định
D. Vừa liên tục vừa không liên tục
13. Cho hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$. Tìm đạo hàm theo hướng của $f$ tại điểm $(1, 1)$ theo hướng $\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$.
A. $\sqrt{2}$
B. $2\sqrt{2}$
C. 1
D. 2
14. Tính diện tích mặt $z = x^2 + y^2$ với $z \le 1$.
A. $\frac{\pi}{6}(5\sqrt{5} - 1)$
B. $\frac{\pi}{3}(5\sqrt{5} - 1)$
C. $\frac{\pi}{6}(5\sqrt{5} + 1)$
D. $\frac{\pi}{3}(5\sqrt{5} + 1)$
15. Tính tích phân $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx$.
A. 2
B. 1
C. $\infty$
D. 0
16. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y` + y = x$.
A. $y = x - 1 + Ce^{-x}$
B. $y = x + 1 + Ce^{-x}$
C. $y = x + Ce^{-x}$
D. $y = x - 1 + C$
17. Tìm nghiệm của phương trình $y`` - 3y` + 2y = 0$ với $y(0) = 1$ và $y`(0) = 0$.
A. $y = -e^{2x} + 2e^{x}$
B. $y = e^{2x} - 2e^{x}$
C. $y = 2e^{2x} - e^{x}$
D. $y = -2e^{2x} + e^{x}$
18. Cho hàm số $f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$. Tìm điểm cực tiểu của hàm số.
A. $(1, 2)$
B. $(0, 0)$
C. $\left( \frac{1}{2}, 1 \right)$
D. $(2, 1)$
19. Tính tích phân đường $\int_C (x^2 + y^2) ds$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$.
A. $2\pi$
B. $\pi$
C. $4\pi$
D. 0
20. Cho hàm số $f(x, y) = x^2y + xy^2$. Tính vi phân toàn phần $df$.
A. $(2xy + y^2)dx + (x^2 + 2xy)dy$
B. $(x^2 + 2xy)dx + (2xy + y^2)dy$
C. $(2x + 2y)dx + (2x + 2y)dy$
D. $(x^2 + y^2)dx + (x^2 + y^2)dy$
21. Cho $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$. Tính $A^2$.
A. $\begin{bmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 9 & 16 \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} 10 & 7 \\ 22 & 15 \end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix} 7 & 15 \\ 10 & 22 \end{bmatrix}$
22. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^2$ và $y = x$.
A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. 1
23. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$.
A. $\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix} -4 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$
24. Tính tích phân $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} (x^2 + y^2) dy dx$.
A. $\frac{7}{15}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{2}$
25. Tính giới hạn $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2y}{x^4 + y^2}$.
A. 0
B. 1
C. $\frac{1}{2}$
D. Không tồn tại
26. Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng $2x - y + 3z = 5$.
A. $\vec{n} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix}$
B. $\vec{n} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$
C. $\vec{n} = \begin{bmatrix} 5 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix}$
D. $\vec{n} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{bmatrix}$
27. Giải phương trình vi phân $y` = \frac{x}{y}$.
A. $y^2 = x^2 + C$
B. $y = x + C$
C. $y = x^2 + C$
D. $y^2 = x + C$
28. Tính tích phân bội hai $\iint_D (x + y) dA$, với $D$ là miền giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 1$.
A. $\frac{4}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{3}$
D. 1
29. Giải phương trình vi phân $y` + 2y = e^{-x}$.
A. $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$
B. $y = e^{-x} + C$
C. $y = e^{-2x} + Ce^{-x}$
D. $y = e^{-x} + xe^{-2x}$
30. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.
A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$
B. $(0, 1)$ và $(1, 0)$
C. $(0, 0)$
D. $(1, 1)$
