1. Tìm điểm dừng của hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$.
A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$
B. $(0, 0)$ và $(-1, -1)$
C. $(1, 0)$ và $(0, 1)$
D. $(1, 1)$ và $(-1, -1)$
2. Tính $\iint_D (x + y) dA$, với $D$ là miền giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 4$.
A. $\frac{128}{5}$
B. $\frac{64}{3}$
C. $\frac{256}{15}$
D. $\frac{32}{3}$
3. Tính $\int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1 + x^2 + y^2} dy dx$.
A. $\int_0^1 \frac{\arctan(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}})}{\sqrt{1+x^2}}dx$
B. $\arctan(1)$
C. $\frac{\pi}{4}$
D. $\int_0^1 \frac{\arctan(1)}{\sqrt{1+x^2}}dx$
4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}$.
A. $\left[-1, 1\right]$
B. $\left(-1, 1\right)$
C. $\left[-1, 1\right)$
D. $\left(-1, 1\right]$
5. Cho hàm số $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tìm $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
A. $4xye^{x^2 + y^2}$
B. $2xye^{x^2 + y^2}$
C. $4x^2e^{x^2 + y^2}$
D. $2ye^{x^2 + y^2}$
6. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3$. Tính đạo hàm theo hướng của $f$ tại điểm $(1, 1)$ theo hướng của vector $\vec{v} = (1, 1)$.
A. $3\sqrt{2}$
B. $6\sqrt{2}$
C. $\sqrt{2}$
D. $2\sqrt{2}$
7. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt $z = x^2 + y^2$ và $z = 8 - x^2 - y^2$.
A. $8\pi$
B. $4\pi$
C. $16\pi$
D. $32\pi$
8. Tìm giới hạn $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2y}{x^4 + y^2}$.
A. Không tồn tại
B. 0
C. 1
D. $\frac{1}{2}$
9. Tính tích phân $\int_0^1 \int_0^x (x^2 + y^2) dy dx$.
A. $\frac{2}{15}$
B. $\frac{7}{12}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{5}$
10. Tính $\iint_D e^{-(x^2+y^2)} dA$, với $D$ là hình tròn $x^2 + y^2 \le 4$.
A. $\pi(1 - e^{-4})$
B. $2\pi(1 - e^{-4})$
C. $\pi(1 + e^{-4})$
D. $2\pi(1 + e^{-4})$
11. Tính tích phân $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx$.
A. $\sqrt{\pi}$
B. $\pi$
C. $2\sqrt{\pi}$
D. $2\pi$
12. Tìm cực trị của hàm số $f(x,y)=x^2+y^2-xy+x+y$.
A. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $(-1, -1)$.
B. Hàm số đạt cực đại tại điểm $(-1, -1)$.
C. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $(1, 1)$.
D. Hàm số đạt cực đại tại điểm $(1, 1)$.
13. Tính tích phân $\int_0^{\pi/2} \int_0^{\sin x} y dy dx$.
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{3}{4}$
14. Tìm đạo hàm của hàm số $f(x, y) = x^3 + 2xy^2 - y^4$ theo biến $x$.
A. $3x^2 + 2y^2$
B. $6x^2 + 4y^2 - 4y^3$
C. $3x^2 + 2xy^2 - y^4$
D. $2xy^2 - 4y^3$
15. Sử dụng định lý Green để tính $\oint_C (x^2 - y^2) dx + (2xy) dy$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$ theo chiều dương.
A. $\pi$
B. $0$
C. $2\pi$
D. $-\pi$
16. Tính tích phân đường loại 1 $\int_C (x + y) ds$, với $C$ là đoạn thẳng nối $(0, 0)$ và $(1, 1)$.
A. $\sqrt{2}$
B. $2\sqrt{2}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
17. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^{\infty} n! x^n$.
A. 0
B. 1
C. $\infty$
D. 2
18. Tính diện tích bề mặt của mặt $z = x^2 + y^2$ nằm dưới mặt phẳng $z = 4$.
A. $\frac{\pi}{6}(17\sqrt{17} - 1)$
B. $\frac{\pi}{3}(17\sqrt{17} - 1)$
C. $\frac{\pi}{6}(17\sqrt{17} + 1)$
D. $\frac{\pi}{3}(17\sqrt{17} + 1)$
19. Tìm đạo hàm của hàm ẩn $y = y(x)$ xác định bởi phương trình $x^2 + y^2 + xy = 1$ tại điểm $(1, 0)$.
A. $-2$
B. $0$
C. $-1$
D. $1$
20. Sử dụng định lý Stokes để tính $\oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$, với $\vec{F}(x, y, z) = (y, z, x)$ và $C$ là giao tuyến của mặt cầu $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ và mặt phẳng $x + y + z = 0$.
A. 0
B. $\pi$
C. $2\pi$
D. $-\pi$
21. Cho $\vec{F}(x, y) = (P(x, y), Q(x, y))$. Điều kiện nào sau đây là điều kiện cần và đủ để $\vec{F}$ là một trường vector bảo toàn?
A. $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$
B. $\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial Q}{\partial y}$
C. $\frac{\partial^2 P}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 Q}{\partial y^2} = 0$
D. $\frac{\partial^2 P}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 Q}{\partial x^2} = 0$
22. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất $y`` - 3y` + 2y = 0$.
A. $y = c_1e^x + c_2e^{2x}$
B. $y = c_1e^{-x} + c_2e^{-2x}$
C. $y = c_1e^x + c_2xe^x$
D. $y = c_1e^{2x} + c_2xe^{2x}$
23. Tìm vector pháp tuyến của mặt $z = x^2 + y^2$ tại điểm $(1, 1, 2)$.
A. $\vec{n} = (-2, -2, 1)$
B. $\vec{n} = (2, 2, 1)$
C. $\vec{n} = (1, 1, -1)$
D. $\vec{n} = (-1, -1, 1)$
24. Tính $\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$, với $\vec{F}(x, y) = (y, x)$ và $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$ theo chiều dương.
A. 0
B. $\pi$
C. $2\pi$
D. $-\pi$
25. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$.
A. Cực tiểu tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
B. Cực đại tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
C. Cực tiểu tại $(1, 0)$
D. Cực đại tại $(0, 1)$
26. Tìm chuỗi Taylor của hàm số $f(x) = \sin x$ tại $x = 0$.
A. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
B. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
C. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$
D. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$
27. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 2x$.
A. $\frac{4}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{5}{3}$
28. Tính tích phân $\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x} dx$.
A. $\frac{\pi}{2}$
B. $\pi$
C. $\frac{\pi}{4}$
D. $\frac{3\pi}{2}$
29. Cho hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.
30. Tìm vi phân toàn phần của hàm số $z = f(x, y) = x^2y + xy^2$.
A. $dz = (2xy + y^2)dx + (x^2 + 2xy)dy$
B. $dz = (x^2 + 2xy)dx + (2xy + y^2)dy$
C. $dz = (2xy + x^2)dx + (2xy + y^2)dy$
D. $dz = (x^2y)dx + (xy^2)dy$
