1. Cho ma trận $A = egin{bmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 end{bmatrix}$. Tính $A^n$ với $n$ là số nguyên dương.
A. $egin{bmatrix} 1 & 2n \ 0 & 1 end{bmatrix}$
B. $egin{bmatrix} n & 2n \ 0 & n end{bmatrix}$
C. $egin{bmatrix} 1 & n^2 \ 0 & 1 end{bmatrix}$
D. $egin{bmatrix} n & 2 \ 0 & n end{bmatrix}$
2. Cho $A$ và $B$ là hai ma trận vuông cùng cấp. Phát biểu nào sau đây luôn đúng?
A. $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$
B. $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$
C. $det(A + B) = det(A) + det(B)$
D. $det(AB) = det(A)det(B)$
3. Cho vector $v = (1, 2, 3)$. Tìm chuẩn Euclid của $v$.
A. $sqrt{6}$
B. $6$
C. $sqrt{14}$
D. $14$
4. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Khi nào $A$ có thể phân tích LU?
A. Khi tất cả các định thức con chính của $A$ khác 0.
B. Khi $A$ là ma trận đối xứng.
C. Khi $A$ là ma trận trực giao.
D. Khi $A$ là ma trận chéo.
5. Tìm cơ sở của không gian nghiệm của ma trận $A = egin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 0 end{bmatrix}$.
A. $left{ egin{bmatrix} 1 \ 0 end{bmatrix}
ight}$
B. $left{ egin{bmatrix} 0 \ 1 end{bmatrix}
ight}$
C. $left{ egin{bmatrix} 1 \ -1 end{bmatrix}
ight}$
D. $left{ egin{bmatrix} 1 \ 1 end{bmatrix}
ight}$
6. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ và $c$ là một hằng số. Khi đó, $det(cA)$ bằng bao nhiêu?
A. $c cdot det(A)$
B. $c^n cdot det(A)$
C. $det(A)^c$
D. $c^n cdot det(cA)$
7. Cho hai vector $u = (1, 2, 3)$ và $v = (4, 5, 6)$. Tính tích vô hướng của $u$ và $v$.
A. $32$
B. $14$
C. $15$
D. $20$
8. Cho ma trận $A = egin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{bmatrix}$. Tính định thức của ma trận $A$.
A. $-2$
B. $2$
C. $10$
D. $-10$
9. Cho $T: V
ightarrow W$ là một ánh xạ tuyến tính. Khi nào thì $T$ là một đẳng cấu?
A. Khi $T$ là đơn ánh.
B. Khi $T$ là toàn ánh.
C. Khi $T$ vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh.
D. Khi $T$ là ánh xạ không.
10. Cho $A$ là ma trận $3 imes 3$ có các giá trị riêng là 1, 2, và 3. Tính $det(A)$.
A. $0$
B. $1$
C. $6$
D. $36$
11. Cho $A$ là ma trận vuông. Điều kiện nào sau đây là cần và đủ để $A$ chéo hóa được?
A. A phải khả nghịch.
B. A phải có các giá trị riêng phân biệt.
C. Tổng số chiều của các không gian con riêng của A phải bằng cấp của A.
D. A phải là ma trận đối xứng.
12. Tìm hạng của ma trận $A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & 4 & 6 \ 3 & 6 & 9 end{bmatrix}$.
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $3$
13. Tìm vector riêng của ma trận $A = egin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 end{bmatrix}$ ứng với giá trị riêng $lambda = 3$.
A. $egin{bmatrix} 1 \ -1 end{bmatrix}$
B. $egin{bmatrix} 1 \ 1 end{bmatrix}$
C. $egin{bmatrix} 0 \ 0 end{bmatrix}$
D. $egin{bmatrix} 2 \ 1 end{bmatrix}$
14. Khi nào một tập hợp các vector được gọi là độc lập tuyến tính?
A. Khi tồn tại một tổ hợp tuyến tính khác không của các vector bằng vector không.
B. Khi mọi tổ hợp tuyến tính của các vector đều bằng vector không.
C. Khi chỉ có tổ hợp tuyến tính tầm thường của các vector bằng vector không.
D. Khi các vector đều vuông góc với nhau.
15. Cho $T: mathbb{R}^2
ightarrow mathbb{R}^2$ là phép biến đổi tuyến tính được định nghĩa bởi $T(x, y) = (x + y, x - y)$. Tìm ma trận biểu diễn của $T$ đối với cơ sở chính tắc.
A. $egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & -1 end{bmatrix}$
B. $egin{bmatrix} 1 & -1 \ 1 & 1 end{bmatrix}$
C. $egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}$
D. $egin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{bmatrix}$
16. Cho $A$ là ma trận $m imes n$. Hạng của $A$ cộng với số chiều của không gian nghiệm của $A$ bằng bao nhiêu?
A. $m$
B. $n$
C. $m + n$
D. $0$
17. Cho không gian vector $V$ và $W$ là không gian con của $V$. Khi nào $W$ là không gian con thực sự của $V$?
A. Khi $W = V$.
B. Khi $W$ chứa vector không.
C. Khi $W subseteq V$ và $W
eq V$.
D. Khi $V subseteq W$ và $W
eq V$.
18. Điều kiện nào sau đây đảm bảo rằng hai vector $u$ và $v$ là trực giao?
A. $left| u + v
ight|^2 = left| u
ight|^2 + left| v
ight|^2$
B. $left| u + v
ight|^2 = left| u
ight|^2 - left| v
ight|^2$
C. $left| u - v
ight|^2 = left| u
ight|^2 + left| v
ight|^2$
D. $left| u - v
ight|^2 = left| u
ight|^2 - left| v
ight|^2$
19. Cho $V$ là không gian vector hữu hạn chiều. Phát biểu nào sau đây là đúng về số chiều?
A. Số chiều của $V$ là số lớn nhất các vector độc lập tuyến tính trong $V$.
B. Số chiều của $V$ là số nhỏ nhất các vector độc lập tuyến tính trong $V$.
C. Số chiều của $V$ là số lớn nhất các vector phụ thuộc tuyến tính trong $V$.
D. Số chiều của $V$ là số nhỏ nhất các vector phụ thuộc tuyến tính trong $V$.
20. Cho $A$ là ma trận đối xứng. Điều gì có thể kết luận về các giá trị riêng của $A$?
A. Các giá trị riêng đều là số phức.
B. Các giá trị riêng đều là số thực.
C. Các giá trị riêng đều bằng 0.
D. Các giá trị riêng đều là số nguyên.
21. Ma trận nào sau đây là ma trận trực giao?
A. $egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 end{bmatrix}$
B. $egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}$
C. $egin{bmatrix} 1 & 0 \ 1 & 1 end{bmatrix}$
D. $egin{bmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{bmatrix}$
22. Cho phép biến đổi tuyến tính $T: V
ightarrow W$. Khi nào $T$ là đơn ánh?
A. Khi $dim(V) < dim(W)$.
B. Khi $ker(T) = {0}$.
C. Khi $im(T) = W$.
D. Khi $T$ là toàn ánh.
23. Phép biến đổi tuyến tính nào sau đây là phép chiếu vuông góc lên trục $x$ trong $mathbb{R}^2$?
A. $T(x, y) = (x, y)$
B. $T(x, y) = (0, 0)$
C. $T(x, y) = (x, 0)$
D. $T(x, y) = (0, y)$
24. Cho hai không gian con $U$ và $W$ của không gian vector $V$. Tổng $U + W$ được định nghĩa như thế nào?
A. $left{ u + w : u in U, w in W
ight}$
B. $left{ u - w : u in U, w in W
ight}$
C. $left{ u cdot w : u in U, w in W
ight}$
D. $left{ u cap w : u in U, w in W
ight}$
25. Cho $A$ là ma trận $m imes n$. Không gian nghiệm của $A$ là gì?
A. Tập hợp tất cả các vector $x$ sao cho $Ax = 0$.
B. Tập hợp tất cả các vector $x$ sao cho $Ax = b$ với $b
eq 0$.
C. Tập hợp tất cả các vector $b$ sao cho $Ax = b$ có nghiệm.
D. Tập hợp tất cả các vector $A$.
26. Cho $u = (1, -1, 2)$ và $v = (0, 3, -1)$. Tính tích có hướng $u imes v$.
A. $(5, 1, 3)$
B. $(-5, -1, 3)$
C. $(-5, -1, -3)$
D. $(5, -1, -3)$
27. Cho hệ phương trình tuyến tính $Ax = b$. Khi nào hệ phương trình này có nghiệm duy nhất?
A. Khi $det(A) = 0$.
B. Khi $det(A)
eq 0$.
C. Khi $b = 0$.
D. Khi $A$ là ma trận vuông.
28. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu $A$ khả nghịch thì $det(A) = 0$.
B. Nếu $det(A) = 0$ thì $A$ khả nghịch.
C. Nếu $A$ khả nghịch thì $det(A)
eq 0$.
D. Nếu $det(A)
eq 0$ thì $A = 0$.
29. Không gian con nào sau đây không phải là không gian con của $mathbb{R}^3$?
A. $left{ (x, y, z) in mathbb{R}^3 : x + y + z = 0
ight}$
B. $left{ (x, y, z) in mathbb{R}^3 : x = y = z
ight}$
C. $left{ (x, y, z) in mathbb{R}^3 : x = 1
ight}$
D. $left{ (0, 0, 0)
ight}$
30. Tìm giá trị riêng của ma trận $A = egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 2 end{bmatrix}$.
A. $lambda_1 = 0, lambda_2 = 1$
B. $lambda_1 = 1, lambda_2 = 2$
C. $lambda_1 = -1, lambda_2 = -2$
D. $lambda_1 = 0, lambda_2 = 2$
