1. Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính sau: $\begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases}$
A. $x = 2, y = 1$
B. $x = 1, y = 2$
C. $x = 3, y = 0$
D. $x = 0, y = 3$
2. Tính tích phân $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} (x^2 + y^2) dy dx$.
A. $\frac{7}{15}$
B. $\frac{2}{15}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{5}$
3. Tìm gradient của hàm số $f(x, y) = x^2y + xy^2$.
A. $\nabla f = (2xy + y^2, x^2 + 2xy)$
B. $\nabla f = (x^2 + 2xy, 2xy + y^2)$
C. $\nabla f = (2x + y, x + 2y)$
D. $\nabla f = (x + 2y, 2x + y)$
4. Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng $2x - y + 3z = 5$.
A. $\vec{n} = (2, -1, 3)$
B. $\vec{n} = (2, 1, 3)$
C. $\vec{n} = (-2, 1, -3)$
D. $\vec{n} = (2, -1, -3)$
5. Tính $\int_{C} x dy - y dx$ với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$ lấy theo chiều dương.
A. $-2\pi$
B. $2\pi$
C. $\pi$
D. $-\pi$
6. Tìm ma trận nghịch đảo của $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.
A. $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$
7. Tính giới hạn $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2y}{x^2 + y^2}$.
A. $0$
B. $1$
C. $\infty$
D. Không tồn tại
8. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình $y` + 2y = e^{-x}$.
A. $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$
B. $y = e^{-2x} + Ce^{-x}$
C. $y = e^{-x} + Ce^{2x}$
D. $y = e^{2x} + Ce^{-x}$
9. Tính $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} xy dx dy$.
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $1$
D. $2$
10. Tính $\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx$.
A. $1$
B. $0$
C. $\infty$
D. $-1$
11. Giải phương trình $y` = y$.
A. $y = Ce^x$
B. $y = Ce^{-x}$
C. $y = Cx$
D. $y = C$
12. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y`` - 3y` + 2y = 0$.
A. $y = C_1e^x + C_2e^{2x}$
B. $y = C_1e^{-x} + C_2e^{-2x}$
C. $y = C_1e^x + C_2xe^x$
D. $y = C_1e^{2x} + C_2xe^{2x}$
13. Tìm điểm dừng của hàm số $f(x, y) = x^2 + 2y^2 - 4x + 4y$.
A. $(2, -1)$
B. $\(-2, 1)$
C. $(2, 1)$
D. $(-2, -1)$
14. Tìm eigenvalue của ma trận $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.
A. $1$ và $3$
B. $-1$ và $-3$
C. $1$ và $-3$
D. $-1$ và $3$
15. Tìm hạng của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$.
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $0$
16. Tìm cực trị địa phương của hàm số $f(x, y) = x^3 + 3xy^2 - 15x - 12y$.
A. $(2, 1)$ và $(-2, -1)$
B. $(2, -1)$ và $(-2, 1)$
C. $(1, 2)$ và $(-1, -2)$
D. $(1, -2)$ và $(-1, 2)$
17. Tìm vi phân toàn phần của hàm số $f(x, y) = x^3y^2$.
A. $df = 3x^2y^2 dx + 2x^3y dy$
B. $df = 2x^3y dx + 3x^2y^2 dy$
C. $df = x^2y^2 dx + x^3y dy$
D. $df = x^3y dx + x^2y^2 dy$
18. Cho $f(x, y) = e^{xy}$. Tính $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
A. $(1 + xy)e^{xy}$
B. $e^{xy}$
C. $xe^{xy}$
D. $ye^{xy}$
19. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân $y`` + y = x$.
A. $y_p = x$
B. $y_p = -x$
C. $y_p = x^2$
D. $y_p = -x^2$
20. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = x$.
A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $1$
21. Tính tích phân đường $\int_C (x + y) ds$, với $C$ là đoạn thẳng nối $(0, 0)$ và $(1, 1)$.
A. $\sqrt{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $2\sqrt{2}$
D. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
22. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.
A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$
B. $(0, 0)$ và $(-1, -1)$
C. $(0, 0)$ và $(1, -1)$
D. $(0, 0)$ và $(-1, 1)$
23. Tìm vector riêng ứng với eigenvalue $\lambda = 1$ của ma trận $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.
A. $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} -1 \\ -1 \end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$
24. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y`` + 4y = 0$.
A. $y = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)$
B. $y = C_1e^{2x} + C_2e^{-2x}$
C. $y = C_1\cos(4x) + C_2\sin(4x)$
D. $y = C_1e^{4x} + C_2e^{-4x}$
25. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$.
A. Cực tiểu tại $(1, 2)$
B. Cực đại tại $(1, 2)$
C. Cực tiểu tại $(-1, -2)$
D. Cực đại tại $(-1, -2)$
26. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$.
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{3}{4}$
D. $\frac{5}{4}$
27. Cho $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$. Tính $det(A)$.
A. $-2$
B. $2$
C. $10$
D. $-10$
28. Tính $\int_{0}^{\pi/2} \sin^2(x) dx$.
A. $\frac{\pi}{4}$
B. $\frac{\pi}{2}$
C. $\pi$
D. $2\pi$
29. Tính $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$.
A. $1$
B. $0$
C. $\infty$
D. Không tồn tại
30. Cho $z = x^2 + y^2$, $x = r\cos(\theta)$, $y = r\sin(\theta)$. Tính $\frac{\partial z}{\partial r}$.
A. $2r$
B. $r$
C. $2r\cos(\theta)$
D. $2r\sin(\theta)$
