Đề 3 – Đề thi, câu hỏi trắc nghiệm online Toán cao cấp 2

1. Cho trường vector $\vec{F}(x, y) = (y, x)$. Tính tích phân đường loại 2 $\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$ lấy theo chiều dương.

A. $\pi

B. $2\pi$

C. 0

D. 1

2. Tính $\iint_D (x + y) dA$, với $D$ là miền giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 4$.

A. $\frac{128}{5}$

B. $\frac{64}{5}$

C. $\frac{32}{5}$

D. $\frac{256}{5}$

3. Cho ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$. Tính $A^n$.

A. $A^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2^n \end{bmatrix}$

B. $A^n = \begin{bmatrix} n & 0 \\ 0 & 2n \end{bmatrix}$

C. $A^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & n^2 \end{bmatrix}$

D. $A^n = \begin{bmatrix} 1 & n \\ n & 2^n \end{bmatrix}$

4. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$.

A. $A^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$

B. $A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$

C. $A^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & -1 \\ -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$

D. $A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$

5. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y'' + y = 0$.

A. $y = C_1\cos(x) + C_2\sin(x)$

B. $y = C_1e^x + C_2e^{-x}$

C. $y = C_1x + C_2$

D. $y = C_1\cos(x)$

6. Tính tích phân bội ba $\iiint_V dV$, với $V$ là hình hộp chữ nhật $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 2$, $0 \le z \le 3$.

A. 1

B. 6

C. 12

D. 36

7. Tìm giới hạn $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2y}{x^4 + y^2}$.

A. 0

B. 1

C. $\frac{1}{2}$

D. Không tồn tại

8. Tìm gradient của hàm số $f(x, y) = x^2 + xy + y^2$ tại điểm $(1, 1)$.

A. $\vec{\nabla}f(1, 1) = (2, 2)$

B. $\vec{\nabla}f(1, 1) = (3, 3)$

C. $\vec{\nabla}f(1, 1) = (1, 1)$

D. $\vec{\nabla}f(1, 1) = (0, 0)$

9. Tính tích phân $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} (x^2 + y^2) dy dx$.

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{2}{15}$

C. $\frac{1}{5}$

D. $\frac{1}{2}$

10. Giải phương trình vi phân $\frac{dy}{dx} = xy$.

A. $y = Ce^{x^2}$

B. $y = Ce^{\frac{x^2}{2}}$

C. $y = Ce^{-x^2}$

D. $y = Cx^2$

11. Tìm đạo hàm của hàm số $f(x, y) = x^2y$ theo hướng $\vec{v} = (1, 1)$ tại điểm $(1, 1)$.

A. 1

B. 2

C. 3

D. $\sqrt{2}$

12. Cho $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tính đạo hàm riêng cấp hai $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ tại điểm $(0, 0)$.

A. 0

B. 2

C. 4

D. 1

13. Tính $\int_0^{\infty} e^{-x} dx$.

A. 0

B. 1

C. $\infty$

D. -1

14. Tính định thức của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$.

A. 10

B. -2

C. 2

D. -10

15. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $y'' - 3y' + 2y = 0$.

A. $y = C_1e^x + C_2e^{2x}$

B. $y = C_1e^{-x} + C_2e^{-2x}$

C. $y = C_1e^x + C_2xe^x$

D. $y = C_1e^{2x} + C_2xe^{2x}$

16. Cho hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

17. Cho hàm số $f(x, y) = \sin(x) + \cos(y)$. Tính $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.

A. $\cos(x) - \sin(y)$

B. $\sin(x) - \cos(y)$

C. 0

D. 1

18. Tìm hạng của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$.

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

19. Tính tích phân đường loại 1 $\int_C x ds$, với $C$ là đoạn thẳng nối $(0, 0)$ và $(1, 1)$.

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

B. $\sqrt{2}$

C. 2

D. $\frac{1}{2}$

20. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3x - 3y$.

A. Hàm số không có cực trị.

B. Hàm số có cực đại tại $(-1, -1)$ và cực tiểu tại $(1, 1)$.

C. Hàm số có cực đại tại $(1, 1)$ và cực tiểu tại $(-1, -1)$.

D. Hàm số có cực đại tại $(1, -1)$ và cực tiểu tại $(-1, 1)$.

21. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền giới hạn bởi $y = x^2$, $y = 0$, $x = 1$ quanh trục Ox.

A. $\frac{\pi}{3}$

B. $\frac{\pi}{5}$

C. $\frac{\pi}{7}$

D. $\frac{\pi}{9}$

22. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$.

A. Hàm số không có cực trị.

B. Hàm số đạt cực tiểu tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ với $f(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

C. Hàm số đạt cực đại tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ với $f(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

D. Hàm số đạt cực tiểu tại $(1, 0)$ với $f(1, 0) = 1$.

23. Cho $f(x, y) = x^2y + e^{xy}$. Tính $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.

A. $2x + e^{xy} + xe^{xy}$

B. $x^2 + e^{xy} + xe^{xy}$

C. $x^2 + xe^{xy}$

D. $2x + xe^{xy}$

24. Tìm nghiệm của phương trình $\frac{dy}{dx} + y = e^{-x}$.

A. $y = xe^{-x} + C$

B. $y = e^{-x} + C$

C. $y = x + Ce^{-x}$

D. $y = e^x + C$

25. Tìm vi phân toàn phần của hàm số $f(x, y) = x^2y + xy^2$.

A. $df = (2xy + y^2)dx + (x^2 + 2xy)dy$

B. $df = (x^2 + 2xy)dx + (2xy + y^2)dy$

C. $df = (2x + 2y)dx + (2x + 2y)dy$

D. $df = (x^2y)dx + (xy^2)dy$

26. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^2$ và $y = x$.

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{6}$

D. $\frac{1}{12}$

27. Tìm eigenvalue của ma trận $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.

A. $\lambda = 1, 2$

B. $\lambda = 1, 3$

C. $\lambda = 2, 3$

D. $\lambda = -1, -3$

28. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Điểm dừng của hàm số là:

A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$

B. $(0, 0)$

C. $(1, 1)$

D. Không có điểm dừng

29. Sử dụng định lý Green để tính $\oint_C (x^2 - y^2) dx + 2xy dy$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$ lấy theo chiều dương.

A. $\pi$

B. $2\pi$

C. $\frac{\pi}{2}$

D. 0

30. Cho hàm số $z = f(x, y)$ với $x = r\cos(\theta)$, $y = r\sin(\theta)$. Tính $\frac{\partial z}{\partial r}$.

A. $\frac{\partial z}{\partial x} \cos(\theta) + \frac{\partial z}{\partial y} \sin(\theta)$

B. $\frac{\partial z}{\partial x} \sin(\theta) + \frac{\partial z}{\partial y} \cos(\theta)$

C. $\frac{\partial z}{\partial x} r\cos(\theta) + \frac{\partial z}{\partial y} r\sin(\theta)$

D. $\frac{\partial z}{\partial x} r\sin(\theta) + \frac{\partial z}{\partial y} r\cos(\theta)$