Đề 5 – Đề thi, câu hỏi trắc nghiệm online Toán cao cấp 2

1. Cho hàm số $z = f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tính $\frac{\partial z}{\partial x}$.

A. $e^{x^2 + y^2}$

B. $2x e^{x^2 + y^2}$

C. $2y e^{x^2 + y^2}$

D. 0

2. Giải phương trình $x^2 + 2x + 1 = 0$.

A. $x = 1$

B. $x = -1$

C. $x = 0$

D. $x = 2$

3. Tìm ma trận nghịch đảo của $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.

A. $\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

B. $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

C. $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$

D. $\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$

4. Giải phương trình $2^x = 8$.

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

5. Giải phương trình vi phân $y' + y = e^{-x}$.

A. $y = xe^{-x} + C$

B. $y = e^{-x} + C$

C. $y = x + Ce^{-x}$

D. $y = xe^{x} + C$

6. Tìm vector chỉ phương của đường thẳng $x = 1 + 2t, y = 2 - t, z = 3t$.

A. $\vec{v} = (1, 2, 3)$

B. $\vec{v} = (2, -1, 3)$

C. $\vec{v} = (1, -1, 0)$

D. $\vec{v} = (2, 1, 3)$

7. Tính tích phân đường loại 1 $\int_C f(x,y) ds$ với $f(x,y) = x + y$ và $C$ là đoạn thẳng nối $(0,0)$ và $(1,1)$.

A. $\sqrt{2}$

B. $2\sqrt{2}$

C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

D. $\frac{1}{2}$

8. Cho $f(x, y) = x^2 y + xy^2$. Tính $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.

A. $2x + 2y$

B. $x^2 + y^2$

C. $4xy$

D. $2y + 2x$

9. Tính tích phân $\int x e^x dx$.

A. $x e^x + C$

B. $x e^x - e^x + C$

C. $e^x - x e^x + C$

D. $-x e^x + e^x + C$

10. Tìm hạng của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

11. Giải bất phương trình $x^2 - 5x + 6 < 0$.

A. $x 3$

B. $2 < x < 3$

C. $x -2$

D. $-3 < x < -2$

12. Tìm hạng của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$.

A. 3

B. 0

C. 1

D. 2

13. Cho hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$. Tính vi phân toàn phần $df$.

A. $df = 2x dx - 2y dy$

B. $df = x dx + y dy$

C. $df = 2x dx + 2y dy$

D. $df = x dx - y dy$

14. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.

A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$

B. $(0, 1)$ và $(1, 0)$

C. $(0, 0)$ và $(-1, -1)$

D. $(1, 1)$ và $(-1, -1)$

15. Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính: $x + y = 3, x - y = 1$.

A. $(1, 2)$

B. $(2, 1)$

C. $(0, 3)$

D. $(3, 0)$

16. Tìm đạo hàm của hàm số $y = \ln(\sin x)$.

A. $\frac{\cos x}{\sin x}$

B. $\frac{\sin x}{\cos x}$

C. $\cos x$

D. $\sin x$

17. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y'' + y = 0$.

A. $y = C_1 \cos x + C_2 \sin x$

B. $y = C_1 e^x + C_2 e^{-x}$

C. $y = C_1 x + C_2$

D. $y = C_1 \cos x - C_2 \sin x$

18. Tính định thức của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$.

A. 10

B. -2

C. 2

D. -10

19. Tính tích phân suy rộng $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} dx$.

A. $\infty$

B. 1

C. 0

D. 2

20. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = x$.

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{6}$

D. 1

21. Tính $\int \frac{1}{x} dx$.

A. $\ln|x| + C$

B. $\frac{1}{x^2} + C$

C. $-\frac{1}{x^2} + C$

D. $x + C$

22. Tính tích phân $\int_0^1 x^2 dx$.

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{4}$

C. $\frac{1}{3}$

D. 1

23. Tính tổng của chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$.

A. $\frac{\pi^2}{3}$

B. $\frac{\pi^2}{4}$

C. $\frac{\pi^2}{6}$

D. $\frac{\pi^2}{12}$

24. Tìm miền xác định của hàm số $y = \sqrt{4 - x^2}$.

A. $x \le -2$ hoặc $x \ge 2$

B. $-2 \le x \le 2$

C. $x 2$

D. $-2 < x < 2$

25. Tính giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$.

A. 2

B. 0

C. $\infty$

D. 1

26. Tìm giới hạn $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{2x^2 + x}$.

A. 0

B. 1

C. $\frac{1}{2}$

D. $\infty$

27. Cho hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$. Tìm gradient của hàm số tại điểm $(1, 2)$.

A. $\vec{\nabla} f(1, 2) = (2, 4)$

B. $\vec{\nabla} f(1, 2) = (1, 2)$

C. $\vec{\nabla} f(1, 2) = (4, 2)$

D. $\vec{\nabla} f(1, 2) = (2, 1)$

28. Tìm eigenvalue của ma trận $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.

A. $\lambda = 1, 2$

B. $\lambda = 1, 3$

C. $\lambda = 2, 3$

D. $\lambda = -1, -3$

29. Tìm khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$.

A. $(-1, 1)$

B. $[-1, 1]$

C. $\mathbb{R}$

D. $\emptyset$

30. Tìm cực trị của hàm số $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4$.

A. Cực đại tại $x=1$, cực tiểu tại $x=3$

B. Cực tiểu tại $x=1$, cực đại tại $x=3$

C. Cực đại tại $x=-1$, cực tiểu tại $x=-3$

D. Cực tiểu tại $x=-1$, cực đại tại $x=-3$