Đề 10 – Đề thi, câu hỏi trắc nghiệm online Toán cao cấp 2

1. Tính tích phân $\int_{0}^{\infty} e^{-ax} dx$ với $a > 0$.

A. $\frac{1}{a}$

B. $a$

C. $0$

D. $\infty$

2. Tính curl của vector field $\vec{F} = \langle xz, yz, xy \rangle$.

A. $\langle x - y, x - z, y - z \rangle$

B. $\langle y - z, x - z, y - x \rangle$

C. $\langle x + y, x + z, y + z \rangle$

D. $\langle 0, 0, 0 \rangle$

3. Cho hàm $f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm.

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

4. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình $y' + y = x$.

A. $y = x - 1 + Ce^{-x}$

B. $y = x + 1 + Ce^{-x}$

C. $y = x - 1 + Ce^{x}$

D. $y= x+1 + Ce^{x}$

5. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.

A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$

B. $(0, 0)$ và $(-1, -1)$

C. $(1, 1)$ và $(-1, -1)$

D. $(0, 0)$ và $(0, 1)$

6. Tìm nghiệm riêng của phương trình $y'' + y = x$, biết $y(0) = 0$ và $y'(0) = 1$.

A. $y = x$

B. $y = \sin(x)$

C. $y = x + \cos(x)$

D. $y = x - \sin(x)$

7. Cho $z = x + iy$. Tìm phần thực của số phức $z^2$.

A. $x^2 - y^2$

B. $x^2 + y^2$

C. $2xy$

D. $x - y$

8. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3x - 3y$. Xác định tính chất cực trị tại điểm $(1, 1)$.

A. Điểm cực tiểu

B. Điểm cực đại

C. Điểm yên ngựa

D. Không xác định

9. Tính tích phân $\int \frac{1}{x^2 - 1} dx$.

A. $\frac{1}{2} \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + C$

B. $\frac{1}{2} \ln \left| \frac{x+1}{x-1} \right| + C$

C. $\ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + C$

D. $\ln \left| \frac{x+1}{x-1} \right| + C$

10. Cho chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$. Chuỗi này hội tụ khi nào?

A. $p > 1$

B. $p < 1$

C. $p \ge 1$

D. $p \le 1$

11. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$.

A. Giá trị nhỏ nhất là $\frac{1}{2}$ tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

B. Giá trị lớn nhất là $\frac{1}{2}$ tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

C. Giá trị nhỏ nhất là $1$ tại $(1, 0)$

D. Giá trị lớn nhất là $1$ tại $(1, 0)$

12. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$.

A. $\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$

B. $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$

C. $\begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$

D. $\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$

13. Giải phương trình vi phân $y'' + 4y = 0$.

A. $y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)$

B. $y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}$

C. $y = C_1 \cos(4x) + C_2 \sin(4x)$

D. $y = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-4x}$

14. Tìm nghiệm của phương trình $y' = y^2$ với điều kiện $y(0) = 1$.

A. $y = \frac{1}{1-x}$

B. $y = \frac{1}{1+x}$

C. $y = 1 - x$

D. $y = 1 + x$

15. Tính giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$.

A. $1$

B. $0$

C. $\infty$

D. Không tồn tại

16. Cho phương trình vi phân $y' + 2y = e^{-x}$. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình.

A. $y = e^{-2x}(e^x + C)$

B. $y = e^{-x}(e^x + C)$

C. $y = e^{x}(e^x + C)$

D. $y = e^{2x}(e^x + C)$

17. Tính tích phân $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} xy \, dy \, dx$.

A. $\frac{1}{8}$

B. $\frac{1}{6}$

C. $\frac{1}{4}$

D. $\frac{1}{2}$

18. Tìm nghiệm của phương trình $y'' - 3y' + 2y = 0$.

A. $y = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$

B. $y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}$

C. $y = C_1 e^x + C_2 xe^x$

D. $y = C_1 e^{2x} + C_2 xe^{2x}$

19. Tính tích phân đường $\int_C (x^2 + y^2) ds$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$.

A. $2\pi$

B. $\pi$

C. $4\pi$

D. $0$

20. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở $B_1 = \{(1, 0), (0, 1)\}$ sang cơ sở $B_2 = \{(1, 1), (1, -1)\}$.

A. $\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$

B. $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$

C. $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

D. $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

21. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$.

A. $\infty$

B. $1$

C. $0$

D. $e$

22. Tính tích phân $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx$.

A. $\sqrt{\pi}$

B. $\pi$

C. $2\sqrt{\pi}$

D. $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

23. Tính divergence của vector field $\vec{F} = \langle x^2, y^2, z^2 \rangle$.

A. $2x + 2y + 2z$

B. $x + y + z$

C. $x^2 + y^2 + z^2$

D. $0$

24. Tính đạo hàm của hàm số $f(x) = x^x$.

A. $x^x(\ln(x) + 1)$

B. $x^x \ln(x)$

C. $x^x$

D. $\ln(x) + 1$

25. Tìm eigenvalue của ma trận $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.

A. $1$ và $3$

B. $-1$ và $-3$

C. $1$ và $-3$

D. $-1$ và $3$

26. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^2$ và $y = x$.

A. $\frac{1}{6}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $1$

27. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt $z = x^2 + y^2$ và mặt phẳng $z = 4$.

A. $8\pi$

B. $4\pi$

C. $16\pi$

D. $2\pi$

28. Cho hàm số $f(x, y) = x^2 + xy + y^2$. Tìm đạo hàm theo hướng của $f$ tại điểm $(1, 1)$ theo hướng của vector $\vec{v} = \langle 1, 1 \rangle$.

A. $3\sqrt{2}$

B. $3$

C. $2\sqrt{2}$

D. $2$

29. Tìm khai triển Taylor của hàm số $f(x) = \sin(x)$ tại $x = 0$.

A. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

B. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

C. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$

D. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

30. Cho hàm số $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tìm $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.

A. $4xye^{x^2 + y^2}$

B. $2xye^{x^2 + y^2}$

C. $4e^{x^2 + y^2}$

D. $e^{x^2 + y^2}$