Đề 2 – Đề thi, câu hỏi trắc nghiệm online Giải tích 2

1. Tìm cực trị của hàm $f(x, y) = x^2 + y^2$.

A. Cực tiểu tại $(0, 0)$

B. Cực đại tại $(0, 0)$

C. Không có cực trị

D. Điểm yên ngựa tại $(0, 0)$

2. Tính $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2 + y^2}{x + y}$ nếu tồn tại.

A. $0$

B. $1$

C. $2$

D. Không tồn tại

3. Tính $\int_0^{\pi} x \sin x dx$.

A. $\pi$

B. $\frac{\pi}{2}$

C. $1$

D. $0$

4. Tính $\int_C (x^2 + y^2) ds$ với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$.

A. $2\pi$

B. $\pi$

C. $4\pi$

D. $0$

5. Tìm vi phân toàn phần của hàm $f(x, y) = x^3 + xy^2$.

A. $df = (3x^2 + y^2)dx + 2xydy$

B. $df = 3x^2dx + 2xydy$

C. $df = (3x^2 + y^2)dx$

D. $df = 2xydy$

6. Tính đạo hàm riêng $\frac{\partial f}{\partial y}$ của hàm $f(x, y) = x^2y + y^3$.

A. $x^2 + 3y^2$

B. $2xy + 3y^2$

C. $x^2$

D. $3y^2$

7. Tính đạo hàm riêng $\frac{\partial f}{\partial x}$ của hàm $f(x, y) = x^2y + y^3$.

A. $2xy$

B. $x^2 + 3y^2$

C. $2x + 3y^2$

D. $2x$

8. Tính $\iint_D (x + y) dA$, với $D$ là miền giới hạn bởi $x = 0$, $y = 0$, $x + y = 1$.

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $1$

D. $\frac{2}{3}$

9. Tính $\int_0^{\infty} e^{-x} dx$.

A. $1$

B. $0$

C. $\infty$

D. $-1$

10. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1: $y' + p(x)y = q(x)$

A. $y = e^{-\int p(x) dx} \left( \int q(x) e^{\int p(x) dx} dx + C \right)$

B. $y = e^{\int p(x) dx} \left( \int q(x) e^{-\int p(x) dx} dx + C \right)$

C. $y = \int q(x) e^{\int p(x) dx} dx + C$

D. $y = e^{-\int p(x) dx} \int q(x) dx + C$

11. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $xy' + y = x^2$.

A. $y = \frac{x^2}{3} + \frac{C}{x}$

B. $y = x^2 + C$

C. $y = \frac{x^3}{3} + C$

D. $y = \frac{x^2}{2} + C$

12. Tính $\int \frac{dx}{x \ln x}$.

A. $\ln |\ln x| + C$

B. $\ln |x| + C$

C. $\frac{1}{2} (\ln x)^2 + C$

D. $\frac{1}{x^2} + C$

13. Tính tích phân $\int x e^x dx$.

A. $xe^x - e^x + C$

B. $e^x + C$

C. $xe^x + e^x + C$

D. $x^2e^x + C$

14. Tính $\int_0^1 \int_0^x (x^2 + y^2) dy dx$.

A. $\frac{7}{15}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{5}{12}$

15. Tìm miền hội tụ của chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n}$.

A. [1, 3)

B. (1, 3]

C. (1, 3)

D. [1, 3]

16. Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi $z = x^2 + y^2$ và $z = 4$.

A. $8\pi$

B. $4\pi$

C. $16\pi$

D. $2\pi$

17. Chuỗi nào sau đây hội tụ?

A. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$

B. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$

C. $\sum_{n=1}^{\infty} n$

D. $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n$

18. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $y' = y$.

A. $y = Ce^x$

B. $y = Cx$

C. $y = C$

D. $y = e^x$

19. Tính tích phân $\int_0^1 x^2 dx$.

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $1$

D. $0$

20. Tính $\int_0^{\pi/2} \sin^2 x dx$.

A. $\frac{\pi}{4}$

B. $\frac{\pi}{2}$

C. $\pi$

D. $1$

21. Tính tích phân lặp $\int_0^1 \int_0^2 xy dx dy$.

A. $1$

B. $2$

C. $3$

D. $4$

22. Tính $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$.

A. $1$

B. $0$

C. $\infty$

D. Không tồn tại

23. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $y'' + y = 0$.

A. $y = C_1 \cos x + C_2 \sin x$

B. $y = C_1 e^x + C_2 e^{-x}$

C. $y = C_1 x + C_2$

D. $y = C e^x$

24. Tính diện tích mặt $S$ có phương trình $z = x^2 + y^2$ với $x^2 + y^2 \le 1$.

A. $\frac{\pi}{6} (5\sqrt{5} - 1)$

B. $\frac{\pi}{3} (5\sqrt{5} - 1)$

C. $\frac{\pi}{6} (5\sqrt{5} + 1)$

D. $\frac{\pi}{3} (5\sqrt{5} + 1)$

25. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^3$, $y = 0$, $x = 1$.

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $1$

26. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$.

A. $\infty$

B. $0$

C. $1$

D. $e$

27. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y'' - 3y' + 2y = 0$.

A. $y = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$

B. $y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}$

C. $y = C_1 \cos x + C_2 \sin x$

D. $y = C_1 e^x + C_2 x e^x$

28. Tính tích phân đường loại 1 $\int_C f(x, y) ds$ với $f(x, y) = x + y$ và $C$ là đoạn thẳng nối $(0, 0)$ đến $(1, 1)$.

A. $\sqrt{2}$

B. $2\sqrt{2}$

C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

D. $1$

29. Tính $\int \frac{1}{x^2 - 1} dx$.

A. $\frac{1}{2} \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + C$

B. $\ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + C$

C. $\frac{1}{2} \ln \left| \frac{x+1}{x-1} \right| + C$

D. $\ln \left| x^2 - 1 \right| + C$

30. Tính diện tích miền D giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = x$.

A. $\frac{1}{6}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $1$