1. Tìm cực trị của hàm $f(x, y) = x^2 + y^2$.
A. Cực tiểu tại $(0, 0)$
B. Cực đại tại $(0, 0)$
C. Không có cực trị
D. Điểm yên ngựa tại $(0, 0)$
2. Tính $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2 + y^2}{x + y}$ nếu tồn tại.
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. Không tồn tại
3. Tính $\int_0^{\pi} x \sin x dx$.
A. $\pi$
B. $\frac{\pi}{2}$
C. $1$
D. $0$
4. Tính $\int_C (x^2 + y^2) ds$ với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$.
A. $2\pi$
B. $\pi$
C. $4\pi$
D. $0$
5. Tìm vi phân toàn phần của hàm $f(x, y) = x^3 + xy^2$.
A. $df = (3x^2 + y^2)dx + 2xydy$
B. $df = 3x^2dx + 2xydy$
C. $df = (3x^2 + y^2)dx$
D. $df = 2xydy$
6. Tính đạo hàm riêng $\frac{\partial f}{\partial y}$ của hàm $f(x, y) = x^2y + y^3$.
A. $x^2 + 3y^2$
B. $2xy + 3y^2$
C. $x^2$
D. $3y^2$
7. Tính đạo hàm riêng $\frac{\partial f}{\partial x}$ của hàm $f(x, y) = x^2y + y^3$.
A. $2xy$
B. $x^2 + 3y^2$
C. $2x + 3y^2$
D. $2x$
8. Tính $\iint_D (x + y) dA$, với $D$ là miền giới hạn bởi $x = 0$, $y = 0$, $x + y = 1$.
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $1$
D. $\frac{2}{3}$
9. Tính $\int_0^{\infty} e^{-x} dx$.
A. $1$
B. $0$
C. $\infty$
D. $-1$
10. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1: $y` + p(x)y = q(x)$
A. $y = e^{-\int p(x) dx} \left( \int q(x) e^{\int p(x) dx} dx + C \right)$
B. $y = e^{\int p(x) dx} \left( \int q(x) e^{-\int p(x) dx} dx + C \right)$
C. $y = \int q(x) e^{\int p(x) dx} dx + C$
D. $y = e^{-\int p(x) dx} \int q(x) dx + C$
11. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $xy` + y = x^2$.
A. $y = \frac{x^2}{3} + \frac{C}{x}$
B. $y = x^2 + C$
C. $y = \frac{x^3}{3} + C$
D. $y = \frac{x^2}{2} + C$
12. Tính $\int \frac{dx}{x \ln x}$.
A. $\ln |\ln x| + C$
B. $\ln |x| + C$
C. $\frac{1}{2} (\ln x)^2 + C$
D. $\frac{1}{x^2} + C$
13. Tính tích phân $\int x e^x dx$.
A. $xe^x - e^x + C$
B. $e^x + C$
C. $xe^x + e^x + C$
D. $x^2e^x + C$
14. Tính $\int_0^1 \int_0^x (x^2 + y^2) dy dx$.
A. $\frac{7}{15}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{5}{12}$
15. Tìm miền hội tụ của chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n}$.
A. [1, 3)
B. (1, 3]
C. (1, 3)
D. [1, 3]
16. Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi $z = x^2 + y^2$ và $z = 4$.
A. $8\pi$
B. $4\pi$
C. $16\pi$
D. $2\pi$
17. Chuỗi nào sau đây hội tụ?
A. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$
B. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
C. $\sum_{n=1}^{\infty} n$
D. $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n$
18. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $y` = y$.
A. $y = Ce^x$
B. $y = Cx$
C. $y = C$
D. $y = e^x$
19. Tính tích phân $\int_0^1 x^2 dx$.
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $1$
D. $0$
20. Tính $\int_0^{\pi/2} \sin^2 x dx$.
A. $\frac{\pi}{4}$
B. $\frac{\pi}{2}$
C. $\pi$
D. $1$
21. Tính tích phân lặp $\int_0^1 \int_0^2 xy dx dy$.
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$
22. Tính $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$.
A. $1$
B. $0$
C. $\infty$
D. Không tồn tại
23. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $y`` + y = 0$.
A. $y = C_1 \cos x + C_2 \sin x$
B. $y = C_1 e^x + C_2 e^{-x}$
C. $y = C_1 x + C_2$
D. $y = C e^x$
24. Tính diện tích mặt $S$ có phương trình $z = x^2 + y^2$ với $x^2 + y^2 \le 1$.
A. $\frac{\pi}{6} (5\sqrt{5} - 1)$
B. $\frac{\pi}{3} (5\sqrt{5} - 1)$
C. $\frac{\pi}{6} (5\sqrt{5} + 1)$
D. $\frac{\pi}{3} (5\sqrt{5} + 1)$
25. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^3$, $y = 0$, $x = 1$.
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $1$
26. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$.
A. $\infty$
B. $0$
C. $1$
D. $e$
27. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y`` - 3y` + 2y = 0$.
A. $y = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$
B. $y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}$
C. $y = C_1 \cos x + C_2 \sin x$
D. $y = C_1 e^x + C_2 x e^x$
28. Tính tích phân đường loại 1 $\int_C f(x, y) ds$ với $f(x, y) = x + y$ và $C$ là đoạn thẳng nối $(0, 0)$ đến $(1, 1)$.
A. $\sqrt{2}$
B. $2\sqrt{2}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. $1$
29. Tính $\int \frac{1}{x^2 - 1} dx$.
A. $\frac{1}{2} \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + C$
B. $\ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + C$
C. $\frac{1}{2} \ln \left| \frac{x+1}{x-1} \right| + C$
D. $\ln \left| x^2 - 1 \right| + C$
30. Tính diện tích miền D giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = x$.
A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $1$
