Đề 4 – Đề thi, câu hỏi trắc nghiệm online Giải tích 3

1. Tìm giới hạn $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2y}{x^4 + y^2}$.

A. 0

B. 1

C. $\frac{1}{2}$

D. Không tồn tại

2. Cho hàm $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$. Tính div(grad f).

A. 6

B. 3

C. 2

D. 0

3. Tính $\int_0^{\infty} e^{-x^2} dx$.

A. $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

B. $\sqrt{\pi}$

C. $\frac{\pi}{2}$

D. $\pi$

4. Tìm công thức nghiệm tổng quát của phương trình sóng $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$.

A. $u(x, t) = F(x - ct) + G(x + ct)$

B. $u(x, t) = F(x - ct) - G(x + ct)$

C. $u(x, t) = F(x + ct) + G(x + ct)$

D. $u(x, t) = F(x - t) + G(x + t)$

5. Tính $\Gamma(\frac{1}{2})$.

A. $\sqrt{\pi}$

B. $\pi$

C. $2\sqrt{\pi}$

D. $2\pi$

6. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi $\sum_{n=0}^{\infty} n! z^n$.

A. 0

B. 1

C. $\infty$

D. 2

7. Tìm transform Laplace của hàm $f(t) = t^2$.

A. $\frac{2}{s^3}$

B. $\frac{1}{s^3}$

C. $\frac{2}{s^2}$

D. $\frac{1}{s^2}$

8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = x^2$ và đường thẳng $y = 4$.

A. $\frac{32}{3}$

B. $\frac{16}{3}$

C. $\frac{8}{3}$

D. $\frac{64}{3}$

9. Tính $\int_C z^2 dz$ với $C$ là đoạn thẳng từ $0$ đến $1 + i$.

A. $\frac{2}{3} + \frac{2}{3}i$

B. $\frac{2}{3} - \frac{2}{3}i$

C. $\frac{1}{3} + \frac{1}{3}i$

D. $\frac{1}{3} - \frac{1}{3}i$

10. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân $y'' + y = \sin x$.

A. $y = -\frac{1}{2}x \cos x$

B. $y = \frac{1}{2}x \cos x$

C. $y = -\frac{1}{2}x \sin x$

D. $y = \frac{1}{2}x \sin x$

11. Sử dụng định lý Green để tính $\oint_C (x^2 - y^2) dx + 2xy dy$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$.

A. 0

B. $\pi$

C. $2\pi$

D. 4

12. Khai triển hàm $f(z) = \frac{1}{1-z}$ thành chuỗi Taylor tại $z = 0$.

A. $\sum_{n=0}^{\infty} z^n$

B. $\sum_{n=0}^{\infty} -z^n$

C. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$

D. $\sum_{n=0}^{\infty} -\frac{z^n}{n!}$

13. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất $y'' - 3y' + 2y = 0$.

A. $y = c_1e^x + c_2e^{2x}$

B. $y = c_1e^{-x} + c_2e^{-2x}$

C. $y = c_1xe^x + c_2e^{2x}$

D. $y = c_1e^x + c_2xe^{2x}$

14. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$.

A. Giá trị nhỏ nhất là $\frac{1}{2}$ tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

B. Giá trị lớn nhất là $\frac{1}{2}$ tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

C. Giá trị nhỏ nhất là $1$ tại $(1, 0)$

D. Giá trị lớn nhất là $1$ tại $(1, 0)$

15. Cho trường vector $\vec{F}(x, y) = (y, -x)$. Tính tích phân đường $\oint_{C} \vec{F} \cdot d\vec{r}$, với $C$ là đường tròn đơn vị $x^2 + y^2 = 1$ theo hướng ngược chiều kim đồng hồ.

A. $-2\pi$

B. $2\pi$

C. $\pi$

D. $\frac{\pi}{2}$

16. Tính tích phân lặp $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} (x^2 + y^2) dy dx$.

A. $\frac{7}{15}$

B. $\frac{2}{15}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{1}{2}$

17. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền giới hạn bởi $y = x^2$, $x = 0$, $x = 2$, và $y = 0$ quanh trục $Ox$.

A. $\frac{32\pi}{5}$

B. $\frac{16\pi}{5}$

C. $\frac{8\pi}{5}$

D. $\frac{64\pi}{5}$

18. Tính tích phân đường loại 1 $\int_{C} (x + y) ds$, với $C$ là đoạn thẳng nối $(0, 0)$ và $(1, 1)$.

A. $\sqrt{2}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $2\sqrt{2}$

D. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$

19. Tính $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1 + x^2} dx$.

A. $\pi$

B. $\frac{\pi}{2}$

C. $2\pi$

D. $\frac{\pi}{4}$

20. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}$.

A. $[-1, 1]$

B. $\(-1, 1)$

C. $\(-1, 1]$

D. $[-1, 1)$

21. Cho hàm $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.

A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$

B. $(0, 1)$ và $(1, 0)$

C. $(0, 0)$ và $(-1, -1)$

D. $(1, 1)$ và $(-1, -1)$

22. Tính diện tích mặt $z = x^2 + y^2$ nằm phía dưới mặt phẳng $z = 4$.

A. $\frac{5\pi}{6}(5\sqrt{5}-1)$

B. $\frac{\pi}{6}(5\sqrt{5}-1)$

C. $\frac{5\pi}{6}(\sqrt{5}-1)$

D. $\frac{\pi}{6}(5\sqrt{5}+1)$

23. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $y' + 2y = e^{-x}$.

A. $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$

B. $y = e^{-x} + C$

C. $y = e^{-2x} + Ce^{-x}$

D. $y = xe^{-2x} + Ce^{-2x}$

24. Tìm phần thực của hàm $f(z) = z^2$ với $z = x + iy$.

A. $x^2 - y^2$

B. $x^2 + y^2$

C. $2xy$

D. $-2xy$

25. Tìm đạo hàm có hướng của hàm $f(x, y) = x^2y$ tại điểm $(1, 2)$ theo hướng của vector $\vec{v} = (3, 4)$.

A. $\frac{44}{5}$

B. $\frac{22}{5}$

C. $\frac{11}{5}$

D. $\frac{88}{5}$

26. Cho hàm $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tìm vector gradient của $f$ tại điểm $(1, 1)$.

A. $(2e^2, 2e^2)$

B. $(e^2, e^2)$

C. $(2e, 2e)$

D. $(e, e)$

27. Tính đạo hàm riêng cấp hai $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ của hàm số $f(x, y) = x^3y^2 + x^2y^3$.

A. $6x^2y + 6xy^2$

B. $6xy^2 + 2x^2y$

C. $3x^2 + 6xy^2$

D. $6x^2y + 3y^2x$

28. Tìm transform Fourier của hàm $f(x) = e^{-|x|}$.

A. $\frac{2}{1 + \omega^2}$

B. $\frac{1}{1 + \omega^2}$

C. $\frac{2}{1 - \omega^2}$

D. $\frac{1}{1 - \omega^2}$

29. Tính $\oint_C \frac{1}{z} dz$ với $C$ là đường tròn đơn vị $|z| = 1$.

A. $2\pi i$

B. $-2\pi i$

C. 0

D. $\pi i$

30. Hàm $f(z) = e^z$ có phải là hàm giải tích không?

A. Có

B. Không

C. Chỉ khi $z$ thực

D. Chỉ khi $z$ ảo