1. Tìm gradient của hàm $f(x, y) = x^2y + xy^2$.
A. $(2xy + y^2, x^2 + 2xy)$
B. $(2xy - y^2, x^2 - 2xy)$
C. $(2x + y, x + 2y)$
D. $(2x - y, x - 2y)$
2. Tìm nghiệm của phương trình $y` + 2y = e^{-x}$.
A. $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$
B. $y = e^{-x} + Ce^{2x}$
C. $y = e^{-2x} + Ce^{-x}$
D. $y = e^{2x} + Ce^{x}$
3. Tính tích phân $\int_0^1 \int_0^x (x^2 + y^2) dy dx$.
A. $\frac{7}{15}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{2}{5}$
D. $\frac{1}{2}$
4. Tính $\int_0^{\infty} e^{-x^2} dx$.
A. $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
B. $\sqrt{\pi}$
C. $\frac{\pi}{2}$
D. $\pi$
5. Xác định miền hội tụ của chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}$.
A. $\left[-1, 1\right]$
B. $\left(-1, 1\right)$
C. $\left(-1, 1\right]$
D. $\left[-1, 1\right)$
6. Tìm Jacobian của phép biến đổi $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$.
A. $r$
B. $r^2$
C. $1$
D. $2r$
7. Tính diện tích của miền $D$ giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 2x$.
A. $\frac{4}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{5}{3}$
8. Tìm điểm dừng của hàm $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3x - 3y$.
A. $(1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1)$
B. $(1, 1), (1, -1)$
C. $(1, 1), (-1, -1)$
D. $(1, -1), (-1, 1)$
9. Tính $\iint_D x dA$, với $D$ là miền giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 4$.
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $4$
10. Cho hàm $f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2 + y^2}, & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$. Hàm $f$ có liên tục tại $(0, 0)$ không?
A. Không liên tục
B. Liên tục
C. Liên tục theo $x$, không liên tục theo $y$
D. Liên tục theo $y$, không liên tục theo $x$
11. Cho hàm $f(x, y) = xe^y$. Tính vi phân toàn phần $df$.
A. $e^y dx + xe^y dy$
B. $e^x dx + xe^y dy$
C. $xe^y dx + e^y dy$
D. $e^y dx + e^x dy$
12. Cho $\vec{F}(x, y) = (y, -x)$. Tính $\oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$ với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$ theo chiều dương.
A. $-2\pi$
B. $2\pi$
C. $0$
D. $\pi$
13. Tính giới hạn $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2y}{x^2 + y^2}$.
A. $0$
B. $1$
C. $\infty$
D. Không tồn tại
14. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^3$, $y = 0$, $x = 1$.
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{3}{4}$
D. $1$
15. Tính $\oint_C (x^2y dx + y^2x dy)$, với $C$ là biên của hình vuông $[0, 1] \times [0, 1]$.
A. $0$
B. $1$
C. $\frac{1}{2}$
D. $2$
16. Giải phương trình vi phân $y`` - 3y` + 2y = 0$.
A. $y = c_1e^x + c_2e^{2x}$
B. $y = c_1e^{-x} + c_2e^{-2x}$
C. $y = c_1e^x + c_2xe^x$
D. $y = c_1e^{2x} + c_2xe^{2x}$
17. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^{\infty} n! x^n$.
A. $0$
B. $1$
C. $\infty$
D. $e$
18. Tìm diện tích của hình elip $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$.
A. $\pi ab$
B. $\pi a^2$
C. $\pi b^2$
D. $2\pi ab$
19. Tính diện tích mặt $z = x^2 + y^2$ nằm dưới mặt phẳng $z = 1$.
A. $\frac{\pi}{6}(5\sqrt{5} - 1)$
B. $\frac{\pi}{3}(5\sqrt{5} - 1)$
C. $\frac{\pi}{2}(5\sqrt{5} - 1)$
D. $\pi(5\sqrt{5} - 1)$
20. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2: $y`` + 4y = 0$.
A. $y(x) = c_1 \cos(2x) + c_2 \sin(2x)$
B. $y(x) = c_1 e^{2x} + c_2 e^{-2x}$
C. $y(x) = c_1 \cos(4x) + c_2 \sin(4x)$
D. $y(x) = c_1 e^{4x} + c_2 e^{-4x}$
21. Cho $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$. Tính đạo hàm theo hướng của $\vec{v} = (1, 1, 1)$ tại điểm $(1, 2, 3)$.
A. $\frac{6\sqrt{3}}{3}$
B. $\frac{5\sqrt{3}}{3}$
C. $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
D. $\frac{3\sqrt{3}}{3}$
22. Cho hàm $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.
A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$
B. $(0, 1)$ và $(1, 0)$
C. $(0, 0)$ và $(-1, -1)$
D. $(1, 1)$ và $(-1, -1)$
23. Tính $\int_C (x^2 + y^2) ds$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$.
A. $2\pi$
B. $\pi$
C. $3\pi$
D. $4\pi$
24. Tìm cực trị địa phương của hàm $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$.
A. Cực tiểu tại $(1, 2)$
B. Cực đại tại $(1, 2)$
C. Không có cực trị
D. Điểm yên ngựa tại $(1, 2)$
25. Tìm nghiệm riêng của phương trình $y`` + y = x$ với điều kiện $y(0) = 0$, $y`(0) = 1$.
A. $y = x - \sin x$
B. $y = x + \sin x$
C. $y = \sin x - x$
D. $y = \cos x - x$
26. Tìm cực trị của hàm $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$.
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $1$
D. $\frac{3}{4}$
27. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi $z = x^2 + y^2$ và $z = 4$.
A. $8\pi$
B. $4\pi$
C. $2\pi$
D. $6\pi$
28. Tính tích phân đường loại 2 $\int_C y dx + x dy$ với $C$ là đoạn thẳng từ $(0, 0)$ đến $(1, 1)$.
A. $1$
B. $0$
C. $2$
D. $\frac{1}{2}$
29. Cho $\vec{F}(x, y, z) = (x, y, z)$. Tính $\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S}$, với $S$ là mặt cầu $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.
A. $\frac{4\pi}{3}$
B. $\frac{2\pi}{3}$
C. $4\pi$
D. $2\pi$
30. Đổi thứ tự tích phân $\int_0^1 \int_x^1 f(x, y) dy dx$.
A. $\int_0^1 \int_0^y f(x, y) dx dy$
B. $\int_0^1 \int_y^1 f(x, y) dx dy$
C. $\int_x^1 \int_0^1 f(x, y) dx dy$
D. $\int_x^1 \int_y^1 f(x, y) dx dy$
