Đề 7 – Đề thi, câu hỏi trắc nghiệm online Giải tích 3

1. Tính diện tích bề mặt của mặt $z = x^2 + y^2$ nằm dưới mặt phẳng $z = 1$.

A. $\frac{\pi}{6} (5\sqrt{5} - 1)$

B. $\frac{\pi}{3} (5\sqrt{5} - 1)$

C. $\frac{\pi}{6} (5\sqrt{5} + 1)$

D. $\frac{\pi}{3} (5\sqrt{5} + 1)$

2. Cho hàm $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$. Tìm đạo hàm theo hướng của $f$ tại điểm $(1, 1, 1)$ theo hướng $\vec{v} = (1, 1, 1)$.

A. $2\sqrt{3}$

B. $2$

C. $6$

D. $6\sqrt{3}$

3. Cho $\vec{F}(x, y) = (y, -x)$. Tính $\oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$ định hướng ngược chiều kim đồng hồ.

A. $-2\pi$

B. $2\pi$

C. $\pi$

D. $-\pi$

4. Cho $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Xác định tính chất của điểm dừng $(0,0)$.

A. Điểm yên ngựa

B. Điểm cực đại

C. Điểm cực tiểu

D. Không xác định

5. Cho hàm $f(x, y) = x^2 + y^2$ và ràng buộc $x + y = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x, y)$ sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange.

A. $\frac{1}{2}$

B. $1$

C. $\frac{1}{4}$

D. $2$

6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = \sqrt{x}$, $y = 0$, và $x = 4$.

A. $\frac{8}{3}$

B. $\frac{4}{3}$

C. $\frac{16}{3}$

D. $\frac{2}{3}$

7. Cho $z = f(x, y)$, $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$. Tính $\frac{\partial z}{\partial r}$.

A. $\frac{\partial z}{\partial x} \cos\theta + \frac{\partial z}{\partial y} \sin\theta$

B. $\frac{\partial z}{\partial x} \sin\theta + \frac{\partial z}{\partial y} \cos\theta$

C. $\frac{\partial z}{\partial x} r\cos\theta + \frac{\partial z}{\partial y} r\sin\theta$

D. $\frac{\partial z}{\partial x} r\sin\theta + \frac{\partial z}{\partial y} r\cos\theta$

8. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^{\infty} n! x^n$.

A. 0

B. 1

C. $\infty$

D. 2

9. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi $z = x^2 + y^2$ và $z = 4$.

A. $8\pi$

B. $4\pi$

C. $16\pi$

D. $2\pi$

10. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 2x$.

A. $\frac{4}{3}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{5}{3}$

11. Cho chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$. Chuỗi này hội tụ khi nào?

A. $p > 1$

B. $p < 1$

C. $p \ge 1$

D. $p \le 1$

12. Tính $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) - x}{x^3}$.

A. $-\frac{1}{6}$

B. $\frac{1}{6}$

C. 0

D. $\infty$

13. Cho hàm $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.

A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$

B. $(0, 0)$

C. $(1, 1)$

D. $(0, 1)$ và $(1, 0)$

14. Cho $\vec{F}(x, y, z) = (x, y, z)$. Tính $\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S}$, với $S$ là mặt cầu $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.

A. $\frac{4\pi}{3}$

B. $\frac{\pi}{3}$

C. $4\pi$

D. $\pi$

15. Tính $\int_C (x^2 + y^2) ds$, với $C$ là đoạn thẳng từ $(0, 0)$ đến $(1, 1)$.

A. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{3}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{1}{3}$

16. Cho $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x, y)$.

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

17. Tính $\int_C y dx + x dy$, với $C$ là đường cong $y = x^2$ từ $(0, 0)$ đến $(1, 1)$.

A. 1

B. 0

C. 2

D. -1

18. Tính $\iint_D (x + y) dA$, với $D$ là miền giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = x$.

A. $\frac{5}{24}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{1}{4}$

D. $\frac{3}{8}$

19. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $\frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = 0$.

A. $z = f(x - y)$

B. $z = f(x + y)$

C. $z = f(xy)$

D. $z = f(\frac{x}{y})$

20. Cho $\vec{F}(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))$. Điều kiện để $\vec{F}$ là trường vector bảo toàn là gì?

A. $\nabla \times \vec{F} = \vec{0}$

B. $\nabla \cdot \vec{F} = 0$

C. $\nabla \times \vec{F} = 0$

D. $\nabla \cdot \vec{F} = 1$

21. Tính tích phân $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} (x^2 + y^2) dy dx$.

A. $\frac{7}{15}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{1}{2}$

22. Tìm cực trị của hàm $f(x, y) = x^2 + xy + y^2 - 3x - 6y$.

A. Cực tiểu tại (0,3)

B. Cực đại tại (0,3)

C. Cực tiểu tại (3,0)

D. Không có cực trị

23. Tìm miền xác định của hàm $f(x, y) = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$.

A. $x^2 + y^2 \le 1$

B. $x^2 + y^2 < 1$

C. $x^2 + y^2 \ge 1$

D. $x^2 + y^2 > 1$

24. Tính $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2y}{x^4 + y^2}$.

A. 0

B. Không tồn tại

C. 1

D. $\infty$

25. Cho hàm $f(x, y) = \sin(x) + \cos(y)$. Tìm vi phân toàn phần của $f$.

A. $df = \cos(x) dx - \sin(y) dy$

B. $df = \cos(x) dx + \sin(y) dy$

C. $df = \sin(x) dx - \cos(y) dy$

D. $df = \sin(x) dx + \cos(y) dy$

26. Tính $\int_0^{\infty} e^{-x^2} dx$.

A. $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

B. $\sqrt{\pi}$

C. $\frac{\pi}{2}$

D. $\pi$

27. Cho hàm $f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}, & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$. Hàm $f$ có liên tục tại $(0, 0)$ không?

A. Có

B. Không

C. Không xác định

D. Chỉ liên tục theo một hướng

28. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n3^n}$.

A. $\left[-1, 5\right)$

B. $\left(-1, 5\right]$

C. $\left(-1, 5\right)$

D. $\left[-1, 5\right]$

29. Cho $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tính $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.

A. $4xye^{x^2 + y^2}$

B. $2e^{x^2 + y^2}$

C. $4e^{x^2 + y^2}$

D. $4xy$

30. Cho hàm $f(x, y) = xy$. Tìm giá trị lớn nhất của $f(x, y)$ trên đường tròn $x^2 + y^2 = 1$.

A. $\frac{1}{2}$

B. 1

C. $\frac{1}{4}$

D. 2