Đề 8 – Đề thi, câu hỏi trắc nghiệm online Giải tích 3

1. Tính $\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$, với $\vec{F} = (y^2, 2xy)$ và $C$ là đường cong $y = x^2$ từ $(0, 0)$ đến $(1, 1)$.

A. 1

B. 2

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{3}{2}$

2. Tìm gradient của hàm số $f(x, y, z) = x^2y + yz^2 + xz$.

A. $(2xy + z, x^2 + z^2, 2yz + x)$

B. $(x^2 + z^2, 2xy + z, 2yz + x)$

C. $(2xy + z, 2yz + x, x^2 + z^2)$

D. $(2xy, z, 2yz)$

3. Cho hàm số $f(x, y) = x^2y + xy^2$. Tìm vi phân toàn phần của hàm số.

A. $(2xy + y^2)dx + (x^2 + 2xy)dy$

B. $(2xy + y^2)dx + (x^2)dy$

C. $(2xy)dx + (x^2 + 2xy)dy$

D. $(2xy)dx + (x^2)dy$

4. Tính $\int_C (x dy - y dx)$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$ đi ngược chiều kim đồng hồ.

A. $2\pi$

B. $\pi$

C. 0

D. $\frac{\pi}{2}$

5. Tính $\int_S \vec{F} \cdot d\vec{S}$, với $\vec{F} = (x, y, z)$ và $S$ là mặt cầu $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.

A. $\frac{4\pi}{3}$

B. $4\pi$

C. $\frac{3\pi}{4}$

D. $2\pi$

6. Tính diện tích của miền $D$ giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 2x$.

A. $\frac{4}{3}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{5}{3}$

7. Tính $\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S}$, với $\vec{F} = (x, y, z)$ và $S$ là hình hộp giới hạn bởi $0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1, 0 \le z \le 1$.

A. 3

B. 1

C. 2

D. 0

8. Cho $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tính $\frac{\partial f}{\partial x}$ tại $(1, 0)$.

A. $2e$

B. $e$

C. $4e$

D. 0

9. Tìm curl của trường vector $\vec{F}(x, y, z) = (y, z, x)$.

A. $(-1, -1, -1)$

B. $(1, 1, 1)$

C. $(0, 0, 0)$

D. $(x, y, z)$

10. Tính $\int_0^1 \int_0^x \int_0^y dz dy dx$.

A. $\frac{1}{6}$

B. $\frac{1}{2}$

C. 1

D. 2

11. Cho hàm số $f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$. Tìm điểm cực tiểu của hàm số.

A. $(1, 2)$

B. $(0, 0)$

C. $(2, 4)$

D. $(1, 1)$

12. Tìm điều kiện để tích phân đường $\int_C P dx + Q dy$ độc lập đường đi.

A. $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$

B. $\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial Q}{\partial y}$

C. $\frac{\partial^2 P}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 Q}{\partial y^2} = 0$

D. $\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} = 0$

13. Tính diện tích bề mặt của phần mặt phẳng $z = x + y$ nằm trên miền $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \le 1\}$.

A. $\pi\sqrt{2}$

B. $\pi\sqrt{3}$

C. $2\pi$

D. $\pi$

14. Tính $\int_0^1 \int_x^1 e^{y^2} dy dx$.

A. $\frac{e - 1}{2}$

B. $e - 1$

C. $\frac{e}{2}$

D. $\frac{1}{2}$

15. Tính $\int\int_D e^{-(x^2 + y^2)} dA$, với $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \le 1\}$.

A. $\pi(1 - e^{-1})$

B. $2\pi(1 - e^{-1})$

C. $\pi e^{-1}$

D. $2\pi e^{-1}$

16. Sử dụng định lý Green để tính $\oint_C (x^2y dx + xy^2 dy)$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 4$.

A. 0

B. $2\pi$

C. $4\pi$

D. $8\pi$

17. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3x - 12y$.

A. Hàm số có cực đại tại $(-1, -2)$ và cực tiểu tại $(1, 2)$.

B. Hàm số có cực đại tại $(1, 2)$ và cực tiểu tại $(-1, -2)$.

C. Hàm số có cực đại tại $(-1, 2)$ và cực tiểu tại $(1, -2)$.

D. Hàm số có cực đại tại $(1, -2)$ và cực tiểu tại $(-1, 2)$.

18. Cho miền $D$ giới hạn bởi $x = 0, y = 0, x + y = 1$. Tính $\int\int_D xy dA$.

A. $\frac{1}{24}$

B. $\frac{1}{12}$

C. $\frac{1}{6}$

D. $\frac{1}{3}$

19. Tìm đạo hàm riêng cấp hai $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ của hàm số $f(x, y) = x^3y^2 + e^{xy}$.

A. $6x^2y + xe^{xy} + e^{xy}$

B. $6xy + xe^{xy} + e^{xy}$

C. $6x^2 + xe^{xy} + e^{xy}$

D. $6x^2y + e^{xy}$

20. Thể tích của vật thể giới hạn bởi $z = x^2 + y^2$ và $z = 4$ là:

A. $8\pi$

B. $4\pi$

C. $2\pi$

D. $16\pi$

21. Tính $\int_C (x^2 + y^2) ds$, với $C$ là đoạn thẳng nối $(0, 0)$ và $(1, 1)$.

A. $\frac{\sqrt{2}}{3}$

B. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

D. $\frac{1}{3}$

22. Tính $\int_S (x + y + z) dS$ với $S$ là mặt phẳng $x + y + z = 1$ trong octant thứ nhất.

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

C. $\sqrt{3}$

D. $\frac{1}{2}$

23. Cho $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$. Tìm phương của đạo hàm lớn nhất của $f$ tại $(1, 1, 1)$.

A. $(2, 2, 2)$

B. $(1, 1, 1)$

C. $(0, 0, 0)$

D. $(1, 0, 0)$

24. Tính tích phân $\int\int_D (x + y) dA$, với $D$ là miền giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 4$.

A. $\frac{128}{5}$

B. $\frac{256}{5}$

C. $\frac{64}{5}$

D. $\frac{32}{5}$

25. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $r = 2\cos\theta$ trong tọa độ cực.

A. $\pi$

B. $2\pi$

C. $\frac{\pi}{2}$

D. $4\pi$

26. Tính $\int_0^{\infty} e^{-x^2} dx$.

A. $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

B. $\sqrt{\pi}$

C. $\frac{\pi}{2}$

D. $\pi$

27. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$.

A. $\frac{1}{2}$

B. 1

C. $\frac{1}{4}$

D. 2

28. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.

A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$

B. $(0, 1)$ và $(1, 0)$

C. $(1, 1)$ và $(2, 2)$

D. $(0, 0)$ và $(2, 2)$

29. Cho $f(x, y) = x^2 + y^2$ và $g(x, y) = x + y - 1 = 0$. Sử dụng nhân tử Lagrange để tìm giá trị nhỏ nhất của $f$ thỏa mãn $g(x, y) = 0$.

A. $\frac{1}{2}$

B. 1

C. $\frac{1}{4}$

D. 0

30. Tìm divergence của trường vector $\vec{F}(x, y, z) = (x^2z, xy^2, z^3y)$.

A. $2xz + 2xy + 3z^2y$

B. $2xz + 2xy + 3z^2$

C. $2x + 2y + 3z^2$

D. $2xz + y^2 + 3z^2y$