1. Tính $\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$, với $\vec{F} = (y^2, 2xy)$ và $C$ là đường cong $y = x^2$ từ $(0, 0)$ đến $(1, 1)$.
A. 1
B. 2
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{3}{2}$
2. Tìm gradient của hàm số $f(x, y, z) = x^2y + yz^2 + xz$.
A. $(2xy + z, x^2 + z^2, 2yz + x)$
B. $(x^2 + z^2, 2xy + z, 2yz + x)$
C. $(2xy + z, 2yz + x, x^2 + z^2)$
D. $(2xy, z, 2yz)$
3. Cho hàm số $f(x, y) = x^2y + xy^2$. Tìm vi phân toàn phần của hàm số.
A. $(2xy + y^2)dx + (x^2 + 2xy)dy$
B. $(2xy + y^2)dx + (x^2)dy$
C. $(2xy)dx + (x^2 + 2xy)dy$
D. $(2xy)dx + (x^2)dy$
4. Tính $\int_C (x dy - y dx)$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$ đi ngược chiều kim đồng hồ.
A. $2\pi$
B. $\pi$
C. 0
D. $\frac{\pi}{2}$
5. Tính $\int_S \vec{F} \cdot d\vec{S}$, với $\vec{F} = (x, y, z)$ và $S$ là mặt cầu $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.
A. $\frac{4\pi}{3}$
B. $4\pi$
C. $\frac{3\pi}{4}$
D. $2\pi$
6. Tính diện tích của miền $D$ giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 2x$.
A. $\frac{4}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{5}{3}$
7. Tính $\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S}$, với $\vec{F} = (x, y, z)$ và $S$ là hình hộp giới hạn bởi $0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1, 0 \le z \le 1$.
8. Cho $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tính $\frac{\partial f}{\partial x}$ tại $(1, 0)$.
A. $2e$
B. $e$
C. $4e$
D. 0
9. Tìm curl của trường vector $\vec{F}(x, y, z) = (y, z, x)$.
A. $(-1, -1, -1)$
B. $(1, 1, 1)$
C. $(0, 0, 0)$
D. $(x, y, z)$
10. Tính $\int_0^1 \int_0^x \int_0^y dz dy dx$.
A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{1}{2}$
C. 1
D. 2
11. Cho hàm số $f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$. Tìm điểm cực tiểu của hàm số.
A. $(1, 2)$
B. $(0, 0)$
C. $(2, 4)$
D. $(1, 1)$
12. Tìm điều kiện để tích phân đường $\int_C P dx + Q dy$ độc lập đường đi.
A. $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$
B. $\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial Q}{\partial y}$
C. $\frac{\partial^2 P}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 Q}{\partial y^2} = 0$
D. $\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} = 0$
13. Tính diện tích bề mặt của phần mặt phẳng $z = x + y$ nằm trên miền $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \le 1\}$.
A. $\pi\sqrt{2}$
B. $\pi\sqrt{3}$
C. $2\pi$
D. $\pi$
14. Tính $\int_0^1 \int_x^1 e^{y^2} dy dx$.
A. $\frac{e - 1}{2}$
B. $e - 1$
C. $\frac{e}{2}$
D. $\frac{1}{2}$
15. Tính $\int\int_D e^{-(x^2 + y^2)} dA$, với $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \le 1\}$.
A. $\pi(1 - e^{-1})$
B. $2\pi(1 - e^{-1})$
C. $\pi e^{-1}$
D. $2\pi e^{-1}$
16. Sử dụng định lý Green để tính $\oint_C (x^2y dx + xy^2 dy)$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 4$.
A. 0
B. $2\pi$
C. $4\pi$
D. $8\pi$
17. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3x - 12y$.
A. Hàm số có cực đại tại $(-1, -2)$ và cực tiểu tại $(1, 2)$.
B. Hàm số có cực đại tại $(1, 2)$ và cực tiểu tại $(-1, -2)$.
C. Hàm số có cực đại tại $(-1, 2)$ và cực tiểu tại $(1, -2)$.
D. Hàm số có cực đại tại $(1, -2)$ và cực tiểu tại $(-1, 2)$.
18. Cho miền $D$ giới hạn bởi $x = 0, y = 0, x + y = 1$. Tính $\int\int_D xy dA$.
A. $\frac{1}{24}$
B. $\frac{1}{12}$
C. $\frac{1}{6}$
D. $\frac{1}{3}$
19. Tìm đạo hàm riêng cấp hai $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ của hàm số $f(x, y) = x^3y^2 + e^{xy}$.
A. $6x^2y + xe^{xy} + e^{xy}$
B. $6xy + xe^{xy} + e^{xy}$
C. $6x^2 + xe^{xy} + e^{xy}$
D. $6x^2y + e^{xy}$
20. Thể tích của vật thể giới hạn bởi $z = x^2 + y^2$ và $z = 4$ là:
A. $8\pi$
B. $4\pi$
C. $2\pi$
D. $16\pi$
21. Tính $\int_C (x^2 + y^2) ds$, với $C$ là đoạn thẳng nối $(0, 0)$ và $(1, 1)$.
A. $\frac{\sqrt{2}}{3}$
B. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. $\frac{1}{3}$
22. Tính $\int_S (x + y + z) dS$ với $S$ là mặt phẳng $x + y + z = 1$ trong octant thứ nhất.
A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
C. $\sqrt{3}$
D. $\frac{1}{2}$
23. Cho $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$. Tìm phương của đạo hàm lớn nhất của $f$ tại $(1, 1, 1)$.
A. $(2, 2, 2)$
B. $(1, 1, 1)$
C. $(0, 0, 0)$
D. $(1, 0, 0)$
24. Tính tích phân $\int\int_D (x + y) dA$, với $D$ là miền giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 4$.
A. $\frac{128}{5}$
B. $\frac{256}{5}$
C. $\frac{64}{5}$
D. $\frac{32}{5}$
25. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $r = 2\cos\theta$ trong tọa độ cực.
A. $\pi$
B. $2\pi$
C. $\frac{\pi}{2}$
D. $4\pi$
26. Tính $\int_0^{\infty} e^{-x^2} dx$.
A. $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
B. $\sqrt{\pi}$
C. $\frac{\pi}{2}$
D. $\pi$
27. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$.
A. $\frac{1}{2}$
B. 1
C. $\frac{1}{4}$
D. 2
28. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.
A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$
B. $(0, 1)$ và $(1, 0)$
C. $(1, 1)$ và $(2, 2)$
D. $(0, 0)$ và $(2, 2)$
29. Cho $f(x, y) = x^2 + y^2$ và $g(x, y) = x + y - 1 = 0$. Sử dụng nhân tử Lagrange để tìm giá trị nhỏ nhất của $f$ thỏa mãn $g(x, y) = 0$.
A. $\frac{1}{2}$
B. 1
C. $\frac{1}{4}$
D. 0
30. Tìm divergence của trường vector $\vec{F}(x, y, z) = (x^2z, xy^2, z^3y)$.
A. $2xz + 2xy + 3z^2y$
B. $2xz + 2xy + 3z^2$
C. $2x + 2y + 3z^2$
D. $2xz + y^2 + 3z^2y$
