1. Cho hàm $f(x,y) = x^3 + y^3 - 3x - 3y$. Tìm tất cả các điểm cực trị của $f$.
A. $(1,1), (-1,-1), (1,-1), (-1,1)$
B. $(1,1), (-1,-1)$
C. $(1,-1), (-1,1)$
D. $(0,0), (1,1), (-1,-1), (1,-1), (-1,1)$
2. Tính $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1 + x^2} dx$.
A. $\pi$
B. $\frac{\pi}{2}$
C. $2\pi$
D. $\frac{\pi}{4}$
3. Tính tích phân $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} xy \, dy \, dx$.
A. $\frac{1}{8}$
B. $\frac{1}{6}$
C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{1}{2}$
4. Tính divergence của trường vector $\vec{F}(x, y, z) = (x^2, xy, z^2)$.
A. $2x + x + 2z$
B. $2x + y + 2z$
C. $x + y + z$
D. $x^2 + xy + z^2$
5. Tính tích phân đường $\int_C (x^2 + y^2) \, ds$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$.
A. $2\pi$
B. $\pi$
C. $4\pi$
D. $\frac{\pi}{2}$
6. Tính curl của trường vector $\vec{F}(x, y, z) = (y, z, x)$.
A. $(-1, -1, -1)$
B. $(1, 1, 1)$
C. $(0, 0, 0)$
D. $(x, y, z)$
7. Tính $\int_0^1 \int_0^1 e^{x+y} dxdy$.
A. $(e-1)^2$
B. $e^2$
C. $e^2 - 1$
D. $e$
8. Tính $\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$ với $\vec{F} = (y, x)$ và $C$ là đoạn thẳng từ $(0,0)$ đến $(1,1)$.
A. 1
B. 0
C. 2
D. $\frac{1}{2}$
9. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi $z = x^2 + y^2$ và $z = 4$.
A. $8\pi$
B. $4\pi$
C. $16\pi$
D. $2\pi$
10. Tìm gradient của hàm số $f(x, y, z) = x^2yz + xy^2 + z^3$ tại điểm $(1, 1, 1)$.
A. $(3, 3, 4)$
B. $(2, 2, 3)$
C. $(1, 1, 1)$
D. $(0, 0, 0)$
11. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $\frac{dy}{dx} = xy$.
A. $y = Ce^{\frac{x^2}{2}}$
B. $y = Ce^{x^2}$
C. $y = Cx^2$
D. $y = Ce^x$
12. Cho miền $D$ được giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 4$. Tính $\iint_D (x + y) \, dA$.
A. $\frac{256}{15}$
B. $\frac{128}{5}$
C. $\frac{64}{3}$
D. $\frac{512}{15}$
13. Tính diện tích bề mặt của phần mặt phẳng $z = x + y$ nằm trên miền $x^2 + y^2 \le 1$.
A. $\pi \sqrt{3}$
B. $\pi \sqrt{2}$
C. $2\pi$
D. $2\pi \sqrt{3}$
14. Tính $\oint_C \frac{-y}{x^2 + y^2} dx + \frac{x}{x^2 + y^2} dy$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 4$.
A. $2\pi$
B. $\pi$
C. 0
D. $4\pi$
15. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y`` + 4y = 0$.
A. $y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)$
B. $y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}$
C. $y = C_1 \cos(4x) + C_2 \sin(4x)$
D. $y = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-4x}$
16. Tính $\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx$.
A. $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
B. $\sqrt{\pi}$
C. $\frac{\pi}{2}$
D. $\pi$
17. Tìm nghiệm riêng của phương trình $y`` + y = x$, biết $y(0) = 0$ và $y`(0) = 1$.
A. $y = x - \sin(x)$
B. $y = x + \sin(x)$
C. $y = \sin(x) - x$
D. $y = \cos(x) - x$
18. Tính diện tích của miền $D$ được giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = x$.
A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{2}{3}$
19. Tính $\int_0^{\infty} x e^{-x} dx$.
A. 1
B. 0
C. 2
D. $\infty$
20. Tính $\iiint_E x \, dV$, với $E$ là miền giới hạn bởi $x = 0$, $y = 0$, $z = 0$, và $x + y + z = 1$.
A. $\frac{1}{24}$
B. $\frac{1}{12}$
C. $\frac{1}{6}$
D. $\frac{1}{2}$
21. Tính thể tích của khối cầu có bán kính $R$.
A. $\frac{4}{3}\pi R^3$
B. $\frac{2}{3}\pi R^3$
C. $4\pi R^2$
D. $\pi R^3$
22. Cho $f(x,y) = xe^y$. Tính đạo hàm theo hướng của $f$ tại $(1,0)$ theo hướng của vector $\vec{v} = (1,1)$.
A. $\sqrt{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{1}{2}$
D. 2
23. Cho $f(x, y) = e^{x} \cos(y)$. Tính $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
A. $-e^{x} \sin(y)$
B. $e^{x} \sin(y)$
C. $e^{x} \cos(y)$
D. $-e^{x} \cos(y)$
24. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $r = 2\cos(\theta)$.
A. $\pi$
B. $2\pi$
C. $\frac{\pi}{2}$
D. $4\pi$
25. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2: $y`` - 3y` + 2y = 0$.
A. $y = c_1e^x + c_2e^{2x}$
B. $y = c_1e^{-x} + c_2e^{-2x}$
C. $y = c_1xe^x + c_2e^{2x}$
D. $y = c_1e^x + c_2xe^{2x}$
26. Tìm điểm dừng của hàm số $f(x,y) = x^2 + xy + y^2 - 3x - 6y$.
A. $(0,3)$
B. $(3,0)$
C. $(1,2)$
D. $(2,1)$
27. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm điểm dừng của hàm số.
A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$
B. $(0, 0)$ và $(-1, -1)$
C. $(1, 0)$ và $(0, 1)$
D. $(0, 1)$ và $(1, 0)$
28. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$.
A. Cực tiểu tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
B. Cực đại tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
C. Cực tiểu tại $(1, 0)$
D. Cực đại tại $(1, 0)$
29. Tính diện tích hình elip $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$.
A. $\pi ab$
B. $\pi a^2$
C. $\pi b^2$
D. $2\pi ab$
30. Áp dụng định lý Green để tính $\oint_C (x^2 y \, dx + xy^2 \, dy)$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 4$.
A. 0
B. $4\pi$
C. $8\pi$
D. $16\pi$
