Đề 10 – Đề thi, câu hỏi trắc nghiệm online Giải tích 3

1. Cho hàm $f(x,y) = x^3 + y^3 - 3x - 3y$. Tìm tất cả các điểm cực trị của $f$.

A. $(1,1), (-1,-1), (1,-1), (-1,1)$

B. $(1,1), (-1,-1)$

C. $(1,-1), (-1,1)$

D. $(0,0), (1,1), (-1,-1), (1,-1), (-1,1)$

2. Tính $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1 + x^2} dx$.

A. $\pi$

B. $\frac{\pi}{2}$

C. $2\pi$

D. $\frac{\pi}{4}$

3. Tính tích phân $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} xy \, dy \, dx$.

A. $\frac{1}{8}$

B. $\frac{1}{6}$

C. $\frac{1}{4}$

D. $\frac{1}{2}$

4. Tính divergence của trường vector $\vec{F}(x, y, z) = (x^2, xy, z^2)$.

A. $2x + x + 2z$

B. $2x + y + 2z$

C. $x + y + z$

D. $x^2 + xy + z^2$

5. Tính tích phân đường $\int_C (x^2 + y^2) \, ds$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$.

A. $2\pi$

B. $\pi$

C. $4\pi$

D. $\frac{\pi}{2}$

6. Tính curl của trường vector $\vec{F}(x, y, z) = (y, z, x)$.

A. $(-1, -1, -1)$

B. $(1, 1, 1)$

C. $(0, 0, 0)$

D. $(x, y, z)$

7. Tính $\int_0^1 \int_0^1 e^{x+y} dxdy$.

A. $(e-1)^2$

B. $e^2$

C. $e^2 - 1$

D. $e$

8. Tính $\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$ với $\vec{F} = (y, x)$ và $C$ là đoạn thẳng từ $(0,0)$ đến $(1,1)$.

A. 1

B. 0

C. 2

D. $\frac{1}{2}$

9. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi $z = x^2 + y^2$ và $z = 4$.

A. $8\pi$

B. $4\pi$

C. $16\pi$

D. $2\pi$

10. Tìm gradient của hàm số $f(x, y, z) = x^2yz + xy^2 + z^3$ tại điểm $(1, 1, 1)$.

A. $(3, 3, 4)$

B. $(2, 2, 3)$

C. $(1, 1, 1)$

D. $(0, 0, 0)$

11. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $\frac{dy}{dx} = xy$.

A. $y = Ce^{\frac{x^2}{2}}$

B. $y = Ce^{x^2}$

C. $y = Cx^2$

D. $y = Ce^x$

12. Cho miền $D$ được giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 4$. Tính $\iint_D (x + y) \, dA$.

A. $\frac{256}{15}$

B. $\frac{128}{5}$

C. $\frac{64}{3}$

D. $\frac{512}{15}$

13. Tính diện tích bề mặt của phần mặt phẳng $z = x + y$ nằm trên miền $x^2 + y^2 \le 1$.

A. $\pi \sqrt{3}$

B. $\pi \sqrt{2}$

C. $2\pi$

D. $2\pi \sqrt{3}$

14. Tính $\oint_C \frac{-y}{x^2 + y^2} dx + \frac{x}{x^2 + y^2} dy$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 4$.

A. $2\pi$

B. $\pi$

C. 0

D. $4\pi$

15. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y'' + 4y = 0$.

A. $y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)$

B. $y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}$

C. $y = C_1 \cos(4x) + C_2 \sin(4x)$

D. $y = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-4x}$

16. Tính $\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx$.

A. $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

B. $\sqrt{\pi}$

C. $\frac{\pi}{2}$

D. $\pi$

17. Tìm nghiệm riêng của phương trình $y'' + y = x$, biết $y(0) = 0$ và $y'(0) = 1$.

A. $y = x - \sin(x)$

B. $y = x + \sin(x)$

C. $y = \sin(x) - x$

D. $y = \cos(x) - x$

18. Tính diện tích của miền $D$ được giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = x$.

A. $\frac{1}{6}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{2}{3}$

19. Tính $\int_0^{\infty} x e^{-x} dx$.

A. 1

B. 0

C. 2

D. $\infty$

20. Tính $\iiint_E x \, dV$, với $E$ là miền giới hạn bởi $x = 0$, $y = 0$, $z = 0$, và $x + y + z = 1$.

A. $\frac{1}{24}$

B. $\frac{1}{12}$

C. $\frac{1}{6}$

D. $\frac{1}{2}$

21. Tính thể tích của khối cầu có bán kính $R$.

A. $\frac{4}{3}\pi R^3$

B. $\frac{2}{3}\pi R^3$

C. $4\pi R^2$

D. $\pi R^3$

22. Cho $f(x,y) = xe^y$. Tính đạo hàm theo hướng của $f$ tại $(1,0)$ theo hướng của vector $\vec{v} = (1,1)$.

A. $\sqrt{2}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{1}{2}$

D. 2

23. Cho $f(x, y) = e^{x} \cos(y)$. Tính $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.

A. $-e^{x} \sin(y)$

B. $e^{x} \sin(y)$

C. $e^{x} \cos(y)$

D. $-e^{x} \cos(y)$

24. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $r = 2\cos(\theta)$.

A. $\pi$

B. $2\pi$

C. $\frac{\pi}{2}$

D. $4\pi$

25. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2: $y'' - 3y' + 2y = 0$.

A. $y = c_1e^x + c_2e^{2x}$

B. $y = c_1e^{-x} + c_2e^{-2x}$

C. $y = c_1xe^x + c_2e^{2x}$

D. $y = c_1e^x + c_2xe^{2x}$

26. Tìm điểm dừng của hàm số $f(x,y) = x^2 + xy + y^2 - 3x - 6y$.

A. $(0,3)$

B. $(3,0)$

C. $(1,2)$

D. $(2,1)$

27. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm điểm dừng của hàm số.

A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$

B. $(0, 0)$ và $(-1, -1)$

C. $(1, 0)$ và $(0, 1)$

D. $(0, 1)$ và $(1, 0)$

28. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$.

A. Cực tiểu tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

B. Cực đại tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

C. Cực tiểu tại $(1, 0)$

D. Cực đại tại $(1, 0)$

29. Tính diện tích hình elip $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$.

A. $\pi ab$

B. $\pi a^2$

C. $\pi b^2$

D. $2\pi ab$

30. Áp dụng định lý Green để tính $\oint_C (x^2 y \, dx + xy^2 \, dy)$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 4$.

A. 0

B. $4\pi$

C. $8\pi$

D. $16\pi$