[Chân trời] Trắc nghiệm ôn tập Toán học 9 học kì 1 (Phần 1)

Độ dài đường tròn có bán kính R là $C = 2\pi R$. Một cung tròn có số đo $\alpha$ độ tương ứng với $\frac{\alpha}{360}$ phần của đường tròn. Do đó, độ dài cung tròn $L$ được tính bằng công thức $L = \frac{\alpha}{360} \times 2\pi R = \frac{\pi R \alpha}{180}$. Kết luận: Độ dài cung tròn là $L = \frac{\pi R \alpha}{180}$.

Phương trình có nghiệm kép khi biệt thức delta ($\Delta$) bằng 0. Trong phương trình đã cho, $a=1$, $b=-2(m-1)$, $c=m^2-1$. Ta tính delta: $\Delta = b^2 - 4ac = [-2(m-1)]^2 - 4(1)(m^2-1) = 4(m-1)^2 - 4(m^2-1) = 4(m^2 - 2m + 1) - 4m^2 + 4 = 4m^2 - 8m + 4 - 4m^2 + 4 = -8m + 8$. Để phương trình có nghiệm kép, ta cần $\Delta = 0$, tức là $-8m + 8 = 0$. Giải phương trình này, ta được $8m = 8$, suy ra $m = 1$. Kiểm tra lại phép tính. $b = -2m+2$. $b^2 = 4(m-1)^2 = 4(m^2-2m+1)$. $4ac = 4(m^2-1) = 4m^2-4$. $\Delta = 4m^2-8m+4 - (4m^2-4) = 4m^2-8m+4-4m^2+4 = -8m+8$. $\Delta = 0 \Leftrightarrow -8m+8=0 \Leftrightarrow 8m=8 \Leftrightarrow m=1$. Có vẻ có sự nhầm lẫn với lựa chọn đáp án. Kiểm tra lại đề bài và các lựa chọn. Lựa chọn A là m=0, B là m=1, C là m=2, D là m=-1. Đáp án tôi tính ra là m=1, trùng với lựa chọn B. Tuy nhiên, đáp án đã cho là 3 (tức là m=2). Có thể tôi đã tính sai. Kiểm tra lại $\Delta$. $b = -2(m-1)$. $b^2 = 4(m-1)^2$. $4ac = 4(m^2-1)$. $\Delta = 4(m^2-2m+1) - 4(m^2-1) = 4m^2-8m+4 - 4m^2+4 = -8m+8$. $\Delta=0 \Rightarrow m=1$. Nếu đáp án là C (m=2), thì $\Delta = -8(2)+8 = -16+8 = -8 < 0$, phương trình vô nghiệm. Có lẽ đáp án được cung cấp là sai hoặc có lỗi đánh máy trong đề. Tôi sẽ giữ nguyên kết quả tính toán của mình. Kết luận: Phương trình có nghiệm kép khi $m=1$.

Trong tam giác vuông MNP vuông tại M, với góc N, cạnh đối diện là MN, cạnh kề là MP, và cạnh huyền là NP. Theo định nghĩa các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông: $\sin N = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{MN}{NP}$, $\cos N = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{MP}{NP}$, $\tan N = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \frac{MN}{MP}$, $\cot N = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}} = \frac{MP}{MN}$. So sánh với các lựa chọn: Lựa chọn 1: $\sin N = \frac{MN}{NP}$ là đúng. Lựa chọn 2: $\cos N = \frac{MP}{MN}$ là sai, đúng phải là $\frac{MP}{NP}$. Lựa chọn 3: $\tan N = \frac{MN}{MP}$ là đúng. Lựa chọn 4: $\cot N = \frac{MP}{NP}$ là sai, đúng phải là $\frac{MP}{MN}$. Có sự nhầm lẫn trong việc chọn đáp án đúng duy nhất. Kiểm tra lại các lựa chọn. Lựa chọn 1: $\sin N = \frac{MN}{NP}$ đúng. Lựa chọn 3: $\tan N = \frac{MN}{MP}$ cũng đúng. Tuy nhiên, thông thường chỉ có một đáp án đúng. Có thể câu hỏi hoặc các lựa chọn có vấn đề. Giả sử chỉ có một đáp án đúng. Tôi sẽ chọn đáp án đầu tiên là đúng. Kết luận: Hệ thức đúng là $\sin N = \frac{MN}{NP}$.

Biểu thức dưới dấu căn là $x^2 - 6x + 9$, đây là một hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: $(x - 3)^2$. Do đó, $\sqrt{x^2 - 6x + 9} = \sqrt{(x - 3)^2}$. Theo định nghĩa căn bậc hai số học, $\sqrt{a^2} = |a|$. Vì vậy, $\sqrt{(x - 3)^2} = |x - 3|$. Giá trị của biểu thức phụ thuộc vào dấu của $x-3$. Nếu $x \ge 3$, thì $|x-3| = x-3$. Nếu $x < 3$, thì $|x-3| = -(x-3) = 3-x$. Kết luận: Giá trị của biểu thức là $|x - 3|$.

Trong tam giác vuông ABC với đường cao AH, các hệ thức lượng trong tam giác vuông cho ta các mệnh đề đúng sau: $AB^2 = BH \cdot BC$ (hệ thức 1), $AC^2 = CH \cdot BC$ (hệ thức 2), $AH^2 = BH \cdot CH$ (hệ thức 3), và $AH \cdot BC = AB \cdot AC$ (hệ thức 4, liên quan đến diện tích). Mệnh đề $AH^2 = AB \cdot AC$ là SAI. Hệ thức đúng là $AH^2 = BH \cdot CH$. Kết luận: Mệnh đề SAI là $AH^2 = AB \cdot AC$.

Ta có OA là bán kính và MA là tiếp tuyến, nên $OA \perp MA$, suy ra $\triangle OAM$ vuông tại A. Trong tam giác vuông OAM, ta có $OA = R$ và $OM = 2R$. Ta có $\sin(\angle AOM) = \frac{OA}{OM} = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2}$. Do đó, $\angle AOM = 30$ độ. Tương tự, $\triangle OBM$ vuông tại B và $\sin(\angle BOM) = \frac{OB}{OM} = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2}$, suy ra $\angle BOM = 30$ độ. Góc $\angle AOB = \angle AOM + \angle BOM = 30$ độ $+ 30$ độ $= 60$ độ. Kiểm tra lại phép tính. $\sin(\angle AOM) = 1/2$ thì $\angle AOM = 30$ độ. $\angle AOB = 2 \times \angle AOM = 2 imes 30 = 60$ độ. Lựa chọn A là 30, B là 60, C là 90, D là 120. Đáp án tôi tính là 60 độ, trùng với lựa chọn B. Tuy nhiên, đáp án được cung cấp là 4 (tức là 120 độ). Có sự nhầm lẫn ở đâu đó. Kiểm tra lại. $\cos(\angle AOM) = \frac{AM}{OM}$. Ta cần tìm AM. $AM^2 = OM^2 - OA^2 = (2R)^2 - R^2 = 4R^2 - R^2 = 3R^2$. Vậy $AM = R\sqrt{3}$. $\cos(\angle AOM) = \frac{R\sqrt{3}}{2R} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Từ đó, $\angle AOM = 30$ độ. Vậy $\angle AOB = 60$ độ. Có lẽ có lỗi trong câu hỏi hoặc đáp án. Nếu OM = $2R$, thì tam giác OAM là nửa tam giác đều, góc AOM là 30 độ. Góc AOB là 60 độ. Nếu góc AOM là 60 độ thì OM = $2R$ và $\sin 60 = \sqrt{3}/2$, không khớp. Nếu góc MOB là 60 độ thì góc AOB là 120 độ. Nếu góc MOB là 60 độ, thì $\sin(\angle BOM) = \sqrt{3}/2$, điều này không xảy ra với $OB=R, OM=2R$. Có thể đề bài muốn hỏi về góc $\angle AMB$ hoặc có sự nhầm lẫn. Giả sử câu hỏi đúng và các lựa chọn đúng. Nếu $\angle AOB = 120$ độ, thì $\angle AOM = 60$ độ. Khi đó $\sin 60 = \frac{OA}{OM} = \frac{R}{OM}$. $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{R}{OM} \Rightarrow OM = \frac{2R}{\sqrt{3}}$. Điều này không khớp với $OM=2R$. Tôi sẽ giữ nguyên kết quả tính toán của mình là 60 độ. Tuy nhiên, vì đáp án được cho là 4 (120 độ), tôi sẽ thử tìm cách nào để ra 120. Có lẽ tôi đã hiểu sai đề hoặc có lỗi trong suy luận của mình. Kiểm tra lại bài toán tiếp tuyến. Trong $\triangle OAM$ vuông tại A, $OA=R, OM=2R$. $\cos(\angle OMA) = \frac{AM}{OM}$, $\sin(\angle OMA) = \frac{OA}{OM} = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2}$. Vậy $\angle OMA = 30$ độ. $\angle AMO = \angle BMO = 30$ độ. Vậy $\angle AMB = 60$ độ. $\angle AOM = 90 - \angle OMA = 90 - 30 = 60$ độ. $\angle BOM = 90 - \angle OMB = 90 - 30 = 60$ độ. $\angle AOB = \angle AOM + \angle BOM = 60 + 60 = 120$ độ. À, tôi đã nhầm lẫn khi tính sin. $\sin(\angle AOM) = \frac{OA}{OM} = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2}$. Suy ra $\angle AOM = 30$ độ. Điều này là đúng. Nhưng $\triangle OAM$ là tam giác vuông. $\sin(\angle AOM)$ là tỉ lệ cạnh đối chia cạnh huyền. Đúng. $\sin(30) = 1/2$. Vậy $\angle AOM = 30$ độ. $\angle AOB = 2 imes \angle AOM = 60$ độ. Tôi vẫn ra 60 độ. Tôi sẽ giả định rằng có lỗi trong đề bài hoặc đáp án. Tuy nhiên, nếu $\angle AOM = 60$ độ, thì $\sin(60) = \frac{OA}{OM} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{R}{OM} \Rightarrow OM = \frac{2R}{\sqrt{3}}$. Nếu đề là $OM = \frac{2R}{\sqrt{3}}$ thì $\angle AOB = 120$ độ. Nếu đề là $OM = R\sqrt{2}$, thì $\sin(\angle AOM) = \frac{R}{R\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\angle AOM = 45$ độ, $\angle AOB = 90$ độ. Tôi sẽ giả định đề bài đúng và có lỗi ở đáp án hoặc suy luận của tôi. Nếu đáp án là 120 độ, thì $\angle AOM = 60$ độ. Khi đó $\sin(60) = OA/OM = R/OM$. $OM = R / \sin(60) = R / (\sqrt{3}/2) = 2R/\sqrt{3}$. Điều này không khớp với đề bài $OM=2R$. Tôi sẽ giữ kết quả 60 độ. Tuy nhiên, tôi phải chọn một đáp án. Tôi sẽ xem xét lại các tỉ số lượng giác. Trong $\triangle OAM$ vuông tại A, $OA=R, OM=2R$. Ta có $\cos(\angle AOM) = \frac{AM}{OM}$ và $\sin(\angle AOM) = \frac{OA}{OM} = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2}$. Từ $\sin(\angle AOM) = \frac{1}{2}$, suy ra $\angle AOM = 30$ độ. Do tính đối xứng, $\angle BOM = \angle AOM = 30$ độ. Vậy $\angle AOB = \angle AOM + \angle BOM = 30 + 30 = 60$ độ. Tôi vẫn ra 60 độ. Tôi sẽ giả định có lỗi trong câu hỏi hoặc đáp án và chọn đáp án mà tôi tính ra. Tuy nhiên, nếu buộc phải ra 120 độ, thì $\angle AOM$ phải là 60 độ. Khi đó $\sin(60) = OA/OM = R/OM$, $OM = R/\sin(60) = 2R/\sqrt{3}$. Kết luận: Theo tính toán của tôi, $\angle AOB = 60$ độ. Tuy nhiên, nếu giả định đáp án 4 là đúng, thì $\angle AOM = 60$ độ, điều này mâu thuẫn với $OM=2R$. Tôi sẽ chọn đáp án 2 (60 độ) dựa trên tính toán của mình.

Trong đường tròn tâm O, bán kính R, dây cung CD có độ dài bằng bán kính R. Xét tam giác OCD, ta có OC = OD = R (bán kính) và CD = R. Do đó, tam giác OCD là tam giác đều. Trong một tam giác đều, các góc đều bằng 60 độ. Góc ở tâm chắn cung CD chính là góc $\angle COD$. Vì tam giác OCD đều, nên $\angle COD = 60$ độ. Kết luận: Số đo góc ở tâm chắn cung CD là 60 độ.

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABC vuông tại A, ta có $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. Do đó, $BC = \sqrt{100} = 10$ cm. Diện tích tam giác ABC có thể tính theo hai cách: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$ cm$^2$. Mặt khác, $S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AH \times BC$. Từ đó, $AH = \frac{2 \times S_{ABC}}{BC} = \frac{2 \times 24}{10} = \frac{48}{10} = \frac{24}{5}$ cm. Tuy nhiên, tôi đã nhầm lẫn trong phép tính cuối. Kiểm tra lại: $AH = \frac{2 \times 24}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 = \frac{24}{5}$. Lựa chọn A là $\frac{48}{5}$. Lựa chọn B là $\frac{24}{5}$. Lựa chọn C là $\frac{18}{5}$. Lựa chọn D là $\frac{30}{5}$. Có vẻ có sự nhầm lẫn trong các lựa chọn hoặc phép tính của tôi. Kiểm tra lại công thức tính AH: $AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{6 \times 8}{10} = \frac{48}{10} = \frac{24}{5}$. Vậy đáp án chính xác là $\frac{24}{5}$ cm. Kết luận: Độ dài đường cao AH là $\frac{24}{5}$ cm.

Hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi hiệu độ dài hai bán kính nhỏ hơn khoảng cách giữa hai tâm và nhỏ hơn tổng độ dài hai bán kính. Gọi $R = 5$ cm và $r = 3$ cm. Điều kiện để hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt là $|R - r| < OO < R + r$. Thay số vào, ta có $|5 - 3| < OO < 5 + 3$, tức là $2 < OO < 8$. Kết luận: Khoảng cách OO thỏa mãn điều kiện $2 < OO < 8$ cm.

Hàm số bậc nhất $y = ax + b$ đồng biến trên R khi $a > 0$. Hàm số $y = 2x^2$ và $y = -x^2 + 3$ là các hàm số bậc hai, không đồng biến trên toàn bộ R. Với $y = -3x + 1$, hệ số $a = -3 < 0$, nên hàm số nghịch biến. Với $y = \frac{1}{2}x$, hệ số $a = \frac{1}{2} > 0$, nên hàm số đồng biến trên R. Kết luận: Hàm số đồng biến trên R là $y = \frac{1}{2}x$.

Phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức delta ($\Delta$) lớn hơn 0. Trong phương trình đã cho, $a=2$, $b=-4$, $c=m$. Biệt thức delta là $\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(2)(m) = 16 - 8m$. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần $\Delta > 0$, tức là $16 - 8m > 0$. Giải bất phương trình này: $16 > 8m$, chia cả hai vế cho 8 (là số dương nên giữ nguyên chiều bất đẳng thức), ta được $2 > m$, hay $m < 2$. Kết luận: Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $m < 2$.

Theo định lý Vi-et cho phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$, ta có tổng các nghiệm là $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$. Trong phương trình $x^2 - 5x + 6 = 0$, ta có $a=1$, $b=-5$, $c=6$. Do đó, tổng các nghiệm là $x_1 + x_2 = -\frac{-5}{1} = 5$. Kết luận: Tổng các nghiệm của phương trình là 5.

Để rút gọn biểu thức, ta nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu, là $\sqrt{x} - 1$. Ta có $\frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{1 \times (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 1) \times (\sqrt{x} - 1)} = \frac{\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}$. Điều kiện $x \ge 0$ và mẫu khác 0 nên $x \ne 1$. Kết luận: Biểu thức rút gọn là $\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}$.

Trong một tam giác vuông, ta có các công thức liên hệ giữa các tỉ số lượng giác. Cụ thể, $\sin^2 B + \cos^2 B = 1$. Từ đó, $\cos^2 B = 1 - \sin^2 B$. Thay $\sin B = \frac{5}{13}$ vào, ta được $\cos^2 B = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$. Vì B là một góc trong tam giác vuông (khác góc vuông), nên $0 < B < 90$ độ, suy ra $\cos B > 0$. Do đó, $\cos B = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$. Kết luận: $\cos B = \frac{12}{13}$.

Để kiểm tra một điểm có thuộc đồ thị hàm số hay không, ta thay tọa độ của điểm đó vào phương trình hàm số. Với điểm (2, -8), thay $x=2$ vào hàm số $y = -2x^2$, ta được $y = -2(2)^2 = -2(4) = -8$. Vậy điểm (2, -8) thuộc đồ thị hàm số. Với điểm (-1, 2), thay $x=-1$ vào hàm số, ta được $y = -2(-1)^2 = -2(1) = -2 \ne 2$. Với điểm (0, 1), thay $x=0$ vào hàm số, ta được $y = -2(0)^2 = 0 \ne 1$. Với điểm (-2, -8), thay $x=-2$ vào hàm số, ta được $y = -2(-2)^2 = -2(4) = -8$. Vậy cả hai điểm (2, -8) và (-2, -8) đều thuộc đồ thị. Tuy nhiên, đề bài chỉ yêu cầu một điểm. Điểm (2, -8) là một lựa chọn hợp lệ. Kết luận: Điểm (2, -8) thuộc đồ thị hàm số.