1. Tính tích phân $\int_{0}^{\infty} e^{-ax} dx$ với $a > 0$.
A. $\frac{1}{a}$
B. $a$
C. $0$
D. $\infty$
2. Tính curl của vector field $\vec{F} = \langle xz, yz, xy \rangle$.
A. $\langle x - y, x - z, y - z \rangle$
B. $\langle y - z, x - z, y - x \rangle$
C. $\langle x + y, x + z, y + z \rangle$
D. $\langle 0, 0, 0 \rangle$
3. Cho hàm $f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm.
4. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình $y` + y = x$.
A. $y = x - 1 + Ce^{-x}$
B. $y = x + 1 + Ce^{-x}$
C. $y = x - 1 + Ce^{x}$
D. $y= x+1 + Ce^{x}$
5. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.
A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$
B. $(0, 0)$ và $(-1, -1)$
C. $(1, 1)$ và $(-1, -1)$
D. $(0, 0)$ và $(0, 1)$
6. Tìm nghiệm riêng của phương trình $y`` + y = x$, biết $y(0) = 0$ và $y`(0) = 1$.
A. $y = x$
B. $y = \sin(x)$
C. $y = x + \cos(x)$
D. $y = x - \sin(x)$
7. Cho $z = x + iy$. Tìm phần thực của số phức $z^2$.
A. $x^2 - y^2$
B. $x^2 + y^2$
C. $2xy$
D. $x - y$
8. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3x - 3y$. Xác định tính chất cực trị tại điểm $(1, 1)$.
A. Điểm cực tiểu
B. Điểm cực đại
C. Điểm yên ngựa
D. Không xác định
9. Tính tích phân $\int \frac{1}{x^2 - 1} dx$.
A. $\frac{1}{2} \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + C$
B. $\frac{1}{2} \ln \left| \frac{x+1}{x-1} \right| + C$
C. $\ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + C$
D. $\ln \left| \frac{x+1}{x-1} \right| + C$
10. Cho chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$. Chuỗi này hội tụ khi nào?
A. $p > 1$
B. $p < 1$
C. $p \ge 1$
D. $p \le 1$
11. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$.
A. Giá trị nhỏ nhất là $\frac{1}{2}$ tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
B. Giá trị lớn nhất là $\frac{1}{2}$ tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
C. Giá trị nhỏ nhất là $1$ tại $(1, 0)$
D. Giá trị lớn nhất là $1$ tại $(1, 0)$
12. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$.
A. $\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$
13. Giải phương trình vi phân $y`` + 4y = 0$.
A. $y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)$
B. $y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}$
C. $y = C_1 \cos(4x) + C_2 \sin(4x)$
D. $y = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-4x}$
14. Tìm nghiệm của phương trình $y` = y^2$ với điều kiện $y(0) = 1$.
A. $y = \frac{1}{1-x}$
B. $y = \frac{1}{1+x}$
C. $y = 1 - x$
D. $y = 1 + x$
15. Tính giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$.
A. $1$
B. $0$
C. $\infty$
D. Không tồn tại
16. Cho phương trình vi phân $y` + 2y = e^{-x}$. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình.
A. $y = e^{-2x}(e^x + C)$
B. $y = e^{-x}(e^x + C)$
C. $y = e^{x}(e^x + C)$
D. $y = e^{2x}(e^x + C)$
17. Tính tích phân $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} xy \, dy \, dx$.
A. $\frac{1}{8}$
B. $\frac{1}{6}$
C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{1}{2}$
18. Tìm nghiệm của phương trình $y`` - 3y` + 2y = 0$.
A. $y = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$
B. $y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}$
C. $y = C_1 e^x + C_2 xe^x$
D. $y = C_1 e^{2x} + C_2 xe^{2x}$
19. Tính tích phân đường $\int_C (x^2 + y^2) ds$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$.
A. $2\pi$
B. $\pi$
C. $4\pi$
D. $0$
20. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở $B_1 = \{(1, 0), (0, 1)\}$ sang cơ sở $B_2 = \{(1, 1), (1, -1)\}$.
A. $\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$
21. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$.
A. $\infty$
B. $1$
C. $0$
D. $e$
22. Tính tích phân $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx$.
A. $\sqrt{\pi}$
B. $\pi$
C. $2\sqrt{\pi}$
D. $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
23. Tính divergence của vector field $\vec{F} = \langle x^2, y^2, z^2 \rangle$.
A. $2x + 2y + 2z$
B. $x + y + z$
C. $x^2 + y^2 + z^2$
D. $0$
24. Tính đạo hàm của hàm số $f(x) = x^x$.
A. $x^x(\ln(x) + 1)$
B. $x^x \ln(x)$
C. $x^x$
D. $\ln(x) + 1$
25. Tìm eigenvalue của ma trận $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.
A. $1$ và $3$
B. $-1$ và $-3$
C. $1$ và $-3$
D. $-1$ và $3$
26. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^2$ và $y = x$.
A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $1$
27. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt $z = x^2 + y^2$ và mặt phẳng $z = 4$.
A. $8\pi$
B. $4\pi$
C. $16\pi$
D. $2\pi$
28. Cho hàm số $f(x, y) = x^2 + xy + y^2$. Tìm đạo hàm theo hướng của $f$ tại điểm $(1, 1)$ theo hướng của vector $\vec{v} = \langle 1, 1 \rangle$.
A. $3\sqrt{2}$
B. $3$
C. $2\sqrt{2}$
D. $2$
29. Tìm khai triển Taylor của hàm số $f(x) = \sin(x)$ tại $x = 0$.
A. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
B. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
C. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$
D. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$
30. Cho hàm số $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tìm $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
A. $4xye^{x^2 + y^2}$
B. $2xye^{x^2 + y^2}$
C. $4e^{x^2 + y^2}$
D. $e^{x^2 + y^2}$
