1. Cho trường vector $\vec{F}(x, y) = (y, x)$. Tính tích phân đường loại 2 $\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$ lấy theo chiều dương.
A. $\pi
B. $2\pi$
C. 0
D. 1
2. Tính $\iint_D (x + y) dA$, với $D$ là miền giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 4$.
A. $\frac{128}{5}$
B. $\frac{64}{5}$
C. $\frac{32}{5}$
D. $\frac{256}{5}$
3. Cho ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$. Tính $A^n$.
A. $A^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2^n \end{bmatrix}$
B. $A^n = \begin{bmatrix} n & 0 \\ 0 & 2n \end{bmatrix}$
C. $A^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & n^2 \end{bmatrix}$
D. $A^n = \begin{bmatrix} 1 & n \\ n & 2^n \end{bmatrix}$
4. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$.
A. $A^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$
B. $A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$
C. $A^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & -1 \\ -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$
D. $A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$
5. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y`` + y = 0$.
A. $y = C_1\cos(x) + C_2\sin(x)$
B. $y = C_1e^x + C_2e^{-x}$
C. $y = C_1x + C_2$
D. $y = C_1\cos(x)$
6. Tính tích phân bội ba $\iiint_V dV$, với $V$ là hình hộp chữ nhật $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 2$, $0 \le z \le 3$.
7. Tìm giới hạn $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2y}{x^4 + y^2}$.
A. 0
B. 1
C. $\frac{1}{2}$
D. Không tồn tại
8. Tìm gradient của hàm số $f(x, y) = x^2 + xy + y^2$ tại điểm $(1, 1)$.
A. $\vec{\nabla}f(1, 1) = (2, 2)$
B. $\vec{\nabla}f(1, 1) = (3, 3)$
C. $\vec{\nabla}f(1, 1) = (1, 1)$
D. $\vec{\nabla}f(1, 1) = (0, 0)$
9. Tính tích phân $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} (x^2 + y^2) dy dx$.
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{2}{15}$
C. $\frac{1}{5}$
D. $\frac{1}{2}$
10. Giải phương trình vi phân $\frac{dy}{dx} = xy$.
A. $y = Ce^{x^2}$
B. $y = Ce^{\frac{x^2}{2}}$
C. $y = Ce^{-x^2}$
D. $y = Cx^2$
11. Tìm đạo hàm của hàm số $f(x, y) = x^2y$ theo hướng $\vec{v} = (1, 1)$ tại điểm $(1, 1)$.
A. 1
B. 2
C. 3
D. $\sqrt{2}$
12. Cho $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tính đạo hàm riêng cấp hai $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ tại điểm $(0, 0)$.
13. Tính $\int_0^{\infty} e^{-x} dx$.
A. 0
B. 1
C. $\infty$
D. -1
14. Tính định thức của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$.
15. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $y`` - 3y` + 2y = 0$.
A. $y = C_1e^x + C_2e^{2x}$
B. $y = C_1e^{-x} + C_2e^{-2x}$
C. $y = C_1e^x + C_2xe^x$
D. $y = C_1e^{2x} + C_2xe^{2x}$
16. Cho hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.
17. Cho hàm số $f(x, y) = \sin(x) + \cos(y)$. Tính $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
A. $\cos(x) - \sin(y)$
B. $\sin(x) - \cos(y)$
C. 0
D. 1
18. Tìm hạng của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$.
19. Tính tích phân đường loại 1 $\int_C x ds$, với $C$ là đoạn thẳng nối $(0, 0)$ và $(1, 1)$.
A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
B. $\sqrt{2}$
C. 2
D. $\frac{1}{2}$
20. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3x - 3y$.
A. Hàm số không có cực trị.
B. Hàm số có cực đại tại $(-1, -1)$ và cực tiểu tại $(1, 1)$.
C. Hàm số có cực đại tại $(1, 1)$ và cực tiểu tại $(-1, -1)$.
D. Hàm số có cực đại tại $(1, -1)$ và cực tiểu tại $(-1, 1)$.
21. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền giới hạn bởi $y = x^2$, $y = 0$, $x = 1$ quanh trục Ox.
A. $\frac{\pi}{3}$
B. $\frac{\pi}{5}$
C. $\frac{\pi}{7}$
D. $\frac{\pi}{9}$
22. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$.
A. Hàm số không có cực trị.
B. Hàm số đạt cực tiểu tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ với $f(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
C. Hàm số đạt cực đại tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ với $f(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
D. Hàm số đạt cực tiểu tại $(1, 0)$ với $f(1, 0) = 1$.
23. Cho $f(x, y) = x^2y + e^{xy}$. Tính $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
A. $2x + e^{xy} + xe^{xy}$
B. $x^2 + e^{xy} + xe^{xy}$
C. $x^2 + xe^{xy}$
D. $2x + xe^{xy}$
24. Tìm nghiệm của phương trình $\frac{dy}{dx} + y = e^{-x}$.
A. $y = xe^{-x} + C$
B. $y = e^{-x} + C$
C. $y = x + Ce^{-x}$
D. $y = e^x + C$
25. Tìm vi phân toàn phần của hàm số $f(x, y) = x^2y + xy^2$.
A. $df = (2xy + y^2)dx + (x^2 + 2xy)dy$
B. $df = (x^2 + 2xy)dx + (2xy + y^2)dy$
C. $df = (2x + 2y)dx + (2x + 2y)dy$
D. $df = (x^2y)dx + (xy^2)dy$
26. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^2$ và $y = x$.
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{6}$
D. $\frac{1}{12}$
27. Tìm eigenvalue của ma trận $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.
A. $\lambda = 1, 2$
B. $\lambda = 1, 3$
C. $\lambda = 2, 3$
D. $\lambda = -1, -3$
28. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Điểm dừng của hàm số là:
A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$
B. $(0, 0)$
C. $(1, 1)$
D. Không có điểm dừng
29. Sử dụng định lý Green để tính $\oint_C (x^2 - y^2) dx + 2xy dy$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$ lấy theo chiều dương.
A. $\pi$
B. $2\pi$
C. $\frac{\pi}{2}$
D. 0
30. Cho hàm số $z = f(x, y)$ với $x = r\cos(\theta)$, $y = r\sin(\theta)$. Tính $\frac{\partial z}{\partial r}$.
A. $\frac{\partial z}{\partial x} \cos(\theta) + \frac{\partial z}{\partial y} \sin(\theta)$
B. $\frac{\partial z}{\partial x} \sin(\theta) + \frac{\partial z}{\partial y} \cos(\theta)$
C. $\frac{\partial z}{\partial x} r\cos(\theta) + \frac{\partial z}{\partial y} r\sin(\theta)$
D. $\frac{\partial z}{\partial x} r\sin(\theta) + \frac{\partial z}{\partial y} r\cos(\theta)$
