1. Tìm giới hạn $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2y}{x^4 + y^2}$.
A. 0
B. 1
C. $\frac{1}{2}$
D. Không tồn tại
2. Cho hàm $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$. Tính div(grad f).
3. Tính $\int_0^{\infty} e^{-x^2} dx$.
A. $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
B. $\sqrt{\pi}$
C. $\frac{\pi}{2}$
D. $\pi$
4. Tìm công thức nghiệm tổng quát của phương trình sóng $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$.
A. $u(x, t) = F(x - ct) + G(x + ct)$
B. $u(x, t) = F(x - ct) - G(x + ct)$
C. $u(x, t) = F(x + ct) + G(x + ct)$
D. $u(x, t) = F(x - t) + G(x + t)$
5. Tính $\Gamma(\frac{1}{2})$.
A. $\sqrt{\pi}$
B. $\pi$
C. $2\sqrt{\pi}$
D. $2\pi$
6. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi $\sum_{n=0}^{\infty} n! z^n$.
A. 0
B. 1
C. $\infty$
D. 2
7. Tìm transform Laplace của hàm $f(t) = t^2$.
A. $\frac{2}{s^3}$
B. $\frac{1}{s^3}$
C. $\frac{2}{s^2}$
D. $\frac{1}{s^2}$
8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = x^2$ và đường thẳng $y = 4$.
A. $\frac{32}{3}$
B. $\frac{16}{3}$
C. $\frac{8}{3}$
D. $\frac{64}{3}$
9. Tính $\int_C z^2 dz$ với $C$ là đoạn thẳng từ $0$ đến $1 + i$.
A. $\frac{2}{3} + \frac{2}{3}i$
B. $\frac{2}{3} - \frac{2}{3}i$
C. $\frac{1}{3} + \frac{1}{3}i$
D. $\frac{1}{3} - \frac{1}{3}i$
10. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân $y`` + y = \sin x$.
A. $y = -\frac{1}{2}x \cos x$
B. $y = \frac{1}{2}x \cos x$
C. $y = -\frac{1}{2}x \sin x$
D. $y = \frac{1}{2}x \sin x$
11. Sử dụng định lý Green để tính $\oint_C (x^2 - y^2) dx + 2xy dy$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$.
A. 0
B. $\pi$
C. $2\pi$
D. 4
12. Khai triển hàm $f(z) = \frac{1}{1-z}$ thành chuỗi Taylor tại $z = 0$.
A. $\sum_{n=0}^{\infty} z^n$
B. $\sum_{n=0}^{\infty} -z^n$
C. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$
D. $\sum_{n=0}^{\infty} -\frac{z^n}{n!}$
13. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất $y`` - 3y` + 2y = 0$.
A. $y = c_1e^x + c_2e^{2x}$
B. $y = c_1e^{-x} + c_2e^{-2x}$
C. $y = c_1xe^x + c_2e^{2x}$
D. $y = c_1e^x + c_2xe^{2x}$
14. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$.
A. Giá trị nhỏ nhất là $\frac{1}{2}$ tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
B. Giá trị lớn nhất là $\frac{1}{2}$ tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
C. Giá trị nhỏ nhất là $1$ tại $(1, 0)$
D. Giá trị lớn nhất là $1$ tại $(1, 0)$
15. Cho trường vector $\vec{F}(x, y) = (y, -x)$. Tính tích phân đường $\oint_{C} \vec{F} \cdot d\vec{r}$, với $C$ là đường tròn đơn vị $x^2 + y^2 = 1$ theo hướng ngược chiều kim đồng hồ.
A. $-2\pi$
B. $2\pi$
C. $\pi$
D. $\frac{\pi}{2}$
16. Tính tích phân lặp $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} (x^2 + y^2) dy dx$.
A. $\frac{7}{15}$
B. $\frac{2}{15}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{2}$
17. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền giới hạn bởi $y = x^2$, $x = 0$, $x = 2$, và $y = 0$ quanh trục $Ox$.
A. $\frac{32\pi}{5}$
B. $\frac{16\pi}{5}$
C. $\frac{8\pi}{5}$
D. $\frac{64\pi}{5}$
18. Tính tích phân đường loại 1 $\int_{C} (x + y) ds$, với $C$ là đoạn thẳng nối $(0, 0)$ và $(1, 1)$.
A. $\sqrt{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $2\sqrt{2}$
D. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
19. Tính $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1 + x^2} dx$.
A. $\pi$
B. $\frac{\pi}{2}$
C. $2\pi$
D. $\frac{\pi}{4}$
20. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}$.
A. $[-1, 1]$
B. $\(-1, 1)$
C. $\(-1, 1]$
D. $[-1, 1)$
21. Cho hàm $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.
A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$
B. $(0, 1)$ và $(1, 0)$
C. $(0, 0)$ và $(-1, -1)$
D. $(1, 1)$ và $(-1, -1)$
22. Tính diện tích mặt $z = x^2 + y^2$ nằm phía dưới mặt phẳng $z = 4$.
A. $\frac{5\pi}{6}(5\sqrt{5}-1)$
B. $\frac{\pi}{6}(5\sqrt{5}-1)$
C. $\frac{5\pi}{6}(\sqrt{5}-1)$
D. $\frac{\pi}{6}(5\sqrt{5}+1)$
23. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $y` + 2y = e^{-x}$.
A. $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$
B. $y = e^{-x} + C$
C. $y = e^{-2x} + Ce^{-x}$
D. $y = xe^{-2x} + Ce^{-2x}$
24. Tìm phần thực của hàm $f(z) = z^2$ với $z = x + iy$.
A. $x^2 - y^2$
B. $x^2 + y^2$
C. $2xy$
D. $-2xy$
25. Tìm đạo hàm có hướng của hàm $f(x, y) = x^2y$ tại điểm $(1, 2)$ theo hướng của vector $\vec{v} = (3, 4)$.
A. $\frac{44}{5}$
B. $\frac{22}{5}$
C. $\frac{11}{5}$
D. $\frac{88}{5}$
26. Cho hàm $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tìm vector gradient của $f$ tại điểm $(1, 1)$.
A. $(2e^2, 2e^2)$
B. $(e^2, e^2)$
C. $(2e, 2e)$
D. $(e, e)$
27. Tính đạo hàm riêng cấp hai $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ của hàm số $f(x, y) = x^3y^2 + x^2y^3$.
A. $6x^2y + 6xy^2$
B. $6xy^2 + 2x^2y$
C. $3x^2 + 6xy^2$
D. $6x^2y + 3y^2x$
28. Tìm transform Fourier của hàm $f(x) = e^{-|x|}$.
A. $\frac{2}{1 + \omega^2}$
B. $\frac{1}{1 + \omega^2}$
C. $\frac{2}{1 - \omega^2}$
D. $\frac{1}{1 - \omega^2}$
29. Tính $\oint_C \frac{1}{z} dz$ với $C$ là đường tròn đơn vị $|z| = 1$.
A. $2\pi i$
B. $-2\pi i$
C. 0
D. $\pi i$
30. Hàm $f(z) = e^z$ có phải là hàm giải tích không?
A. Có
B. Không
C. Chỉ khi $z$ thực
D. Chỉ khi $z$ ảo
