1. Cho hàm số $f(x, y) = x^2 + xy + y^2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x, y)$ trên miền $x^2 + y^2 \le 1$.
A. $0$
B. $1$
C. $-1$
D. $\frac{1}{2}$
2. Cho chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$. Điều kiện nào sau đây là cần để chuỗi hội tụ?
A. $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$
B. $\lim_{n \to \infty} a_n = 1$
C. $\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$
D. $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$
3. Tìm điểm dừng của hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 9xy + 27$.
A. $(0, 0)$ và $(3, 3)$
B. $(0, 0)$ và $(-3, -3)$
C. $(0, 3)$ và $(3, 0)$
D. Không có điểm dừng
4. Tính $\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx$.
A. $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
B. $\sqrt{\pi}$
C. $\frac{\pi}{2}$
D. $\pi$
5. Cho hàm số $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tính $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
A. $4xye^{x^2 + y^2}$
B. $2xye^{x^2 + y^2}$
C. $4e^{x^2 + y^2}$
D. $4xy$
6. Tìm miền xác định của hàm số $f(x, y) = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$.
A. $x^2 + y^2 \le 1$
B. $x^2 + y^2 < 1$
C. $x^2 + y^2 \ge 1$
D. $x^2 + y^2 > 1$
7. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y`` - 4y` + 4y = 0$.
A. $y = C_1e^{2x} + C_2xe^{2x}$
B. $y = C_1e^{2x} + C_2e^{-2x}$
C. $y = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)$
D. $y = e^{2x}(C_1\cos(x) + C_2\sin(x))$
8. Tìm hàm $y(x)$ thỏa mãn $y`` = 0$, $y(0) = 1$, $y`(0) = 2$.
A. $y = 2x + 1$
B. $y = x^2 + 2x + 1$
C. $y = x + 2$
D. $y = x^2 + x + 1$
9. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình $y`` + y = \sin(x)$.
A. $y = C_1\cos(x) + C_2\sin(x) - \frac{1}{2}x\cos(x)$
B. $y = C_1\cos(x) + C_2\sin(x) + \frac{1}{2}x\cos(x)$
C. $y = C_1\cos(x) + C_2\sin(x) - \frac{1}{2}\cos(x)$
D. $y = C_1\cos(x) + C_2\sin(x) + \frac{1}{2}\sin(x)$
10. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.
A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$
B. $(0, 1)$ và $(1, 0)$
C. $(0, 0)$ và $(-1, -1)$
D. $(0, 0)$ và $(1, -1)$
11. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3x - 3y$. Tìm các điểm cực trị của $f(x, y)$.
A. Cực đại tại $(-1, -1)$, cực tiểu tại $(1, 1)$
B. Cực đại tại $(1, 1)$, cực tiểu tại $(-1, -1)$
C. Cực đại tại $(-1, 1)$, cực tiểu tại $(1, -1)$
D. Không có cực trị
12. Tính $\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} \frac{nx}{1 + n^2x^2} dx$.
A. $\frac{\ln 2}{2}$
B. $\ln 2$
C. $0$
D. $\infty$
13. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $y` + 2y = e^{-x}$.
A. $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$
B. $y = e^{-x} + C$
C. $y = Ce^{-2x}$
D. $y = e^{-x} + Cx$
14. Giải phương trình vi phân $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$.
A. $y^2 = x^2 + C$
B. $y = x + C$
C. $y = \frac{x^2}{2} + C$
D. $y^2 = \frac{x^2}{2} + C$
15. Tính giới hạn $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2y}{x^4 + y^2}$.
A. $0$
B. $\frac{1}{2}$
C. $1$
D. Không tồn tại
16. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x - 2)^n}{n3^n}$.
A. $[-1, 5)$
B. $(-1, 5]$
C. $(-1, 5)$
D. $[-1, 5]$
17. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^2$ và $y = 2x$.
A. $\frac{4}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $1$
18. Cho $\vec{r}(t) = (\cos(t), \sin(t), t)$. Tính độ dài cung của đường cong từ $t = 0$ đến $t = 2\pi$.
A. $2\pi\sqrt{2}$
B. $2\pi$
C. $\sqrt{2}$
D. $4\pi$
19. Tính tích phân đường $\int_C (x^2 + y^2) ds$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$.
A. $2\pi$
B. $\pi$
C. $4\pi$
D. $0$
20. Cho $f(x, y) = x^2 + y^2$. Tính đạo hàm theo hướng của $f$ tại $(1, 1)$ theo hướng của vector $\vec{v} = (1, 1)$.
A. $2\sqrt{2}$
B. $\sqrt{2}$
C. $4\sqrt{2}$
D. $4$
21. Tìm gradient của hàm số $f(x, y, z) = x^2y + yz^2 + xz$.
A. $(2xy + z, x^2 + z^2, 2yz + x)$
B. $(2x + z, x + z, 2z + x)$
C. $(2xy, x^2 + z^2, 2yz)$
D. $(2x + y, x + z, 2y + x)$
22. Cho $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$. Tìm cực trị của $f(x, y)$.
A. Cực tiểu tại $(1, 2)$
B. Cực đại tại $(1, 2)$
C. Không có cực trị
D. Điểm yên ngựa tại $(1, 2)$
23. Cho $\vec{a} = (1, 2, -1)$ và $\vec{b} = (2, -1, 3)$. Tính tích có hướng $\vec{a} \times \vec{b}$.
A. $(5, -5, -5)$
B. $(5, -5, 5)$
C. $(5, 5, -5)$
D. $(-5, 5, 5)$
24. Tính $\int_0^1 \int_0^1 e^{\max(x,y)}dxdy$.
A. $e$
B. $2e-2$
C. $2e$
D. $e-1$
25. Tính $\int_{0}^{1} x^n e^{-x} dx$ khi $n \to \infty$.
A. $0$
B. $1$
C. $\infty$
D. Không xác định
26. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$.
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $1$
D. $\frac{3}{4}$
27. Tìm điểm dừng của hàm số $f(x, y) = x^2 - 2xy + y^2 + 1$.
A. Vô số điểm trên đường thẳng $y = x$
B. $(0, 0)$
C. $(1, 1)$
D. Không có điểm dừng
28. Tính tích phân $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} (x^2 + y^2) dy dx$.
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{6}$
D. $\frac{1}{2}$
29. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $y` - y = x$.
A. $y = -x - 1 + Ce^x$
B. $y = x + 1 + Ce^x$
C. $y = -x + 1 + Ce^x$
D. $y = x - 1 + Ce^x$
30. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi $z = x^2 + y^2$ và $z = 4$.
A. $8\pi$
B. $4\pi$
C. $16\pi$
D. $2\pi$
