1. Cho đường thẳng \(d\) có phương trình tham số \(x = 1 + 2t, y = 3 - t, z = 4 + 3t\). Một vectơ chỉ phương của \(d\) là gì?
A. \((2, -1, 3)\)
B. \((1, 3, 4)\)
C. \((1, -1, 3)\)
D. \((2, 3, 4)\)
2. Cho \(\vec{a} = (1, -2, 3)\) và \(\vec{b} = (-2, 4, -6)\). Nhận xét nào sau đây đúng về \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\)?
A. \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) cùng phương.
B. \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) vuông góc.
C. \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) không cùng phương cũng không vuông góc.
D. \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) có độ dài bằng nhau.
3. Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian được xác định như thế nào nếu chúng cắt nhau?
A. Là góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng.
B. Là góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng.
C. Là góc bù với góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng.
D. Không xác định được nếu chúng cắt nhau.
4. Nếu \(\vec{u} = (1, 2, 3)\) và \(\vec{v} = (2, -1, 0)\), tích vô hướng \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) bằng bao nhiêu?
5. Hai đường thẳng song song với nhau thì góc giữa chúng bằng bao nhiêu?
A. 0 độ
B. 90 độ
C. 45 độ
D. 180 độ
6. Nếu hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) vuông góc với nhau, thì tích vô hướng của chúng bằng bao nhiêu?
A. 0
B. 1
C. Tích độ dài của chúng
D. Giá trị khác 0
7. Cho mặt phẳng \((\alpha)\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec{n}\). Chọn phát biểu SAI.
A. \(\vec{n}\) vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong \((\alpha)\).
B. \(\vec{n}\) vuông góc với mọi vectơ chỉ phương của đường thẳng nằm trong \((\alpha)\).
C. \(\vec{n}\) song song với mặt phẳng \((\alpha)\).
D. \(\vec{n}\) có giá vuông góc với mặt phẳng \((\alpha)\).
8. Cho đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\vec{u}\) và mặt phẳng \((\alpha)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\). Góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((\alpha)\) được tính bằng công thức nào?
A. \(\sin(\theta) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| |\vec{n}|}\)
B. \(\cos(\theta) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| |\vec{n}|}\)
C. \(\sin(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{n}}{|\vec{u}| |\vec{n}|}\)
D. \(\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{n}}{|\vec{u}| |\vec{n}|}\)
9. Cho hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) lần lượt có các vectơ chỉ phương là \(\vec{u}_1\) và \(\vec{u}_2\). Góc giữa \(d_1\) và \(d_2\) được tính bằng công thức nào?
A. \(\cos(\theta) = \frac{|\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1| |\vec{u}_2|}\)
B. \(\cos(\theta) = \frac{\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2}{|\vec{u}_1| |\vec{u}_2|}\)
C. \(\sin(\theta) = \frac{|\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1| |\vec{u}_2|}\)
D. \(\tan(\theta) = \frac{|\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1| |\vec{u}_2|}\)
10. Cho \(\vec{a} = (3, 0, -1)\) và \(\vec{b} = (1, 2, 5)\). Độ dài của vectơ \(\vec{a}\) là bao nhiêu?
A. \(\sqrt{10}\)
B. \(\sqrt{5}\)
C. \(\sqrt{14}\)
D. \(\sqrt{8}\)
11. Cho mặt phẳng \((\alpha)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_1\) và mặt phẳng \((\beta)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_2\). Góc giữa hai mặt phẳng \((\alpha)\) và \((\beta)\) được tính bằng công thức nào?
A. \(\cos(\theta) = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|}\)
B. \(\cos(\theta) = \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|}\)
C. \(\sin(\theta) = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|}\)
D. \(\tan(\theta) = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|}\)
12. Cho mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua gốc tọa độ O và có một vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (1, 2, -1)\). Phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) là gì?
A. \(x + 2y - z = 0\)
B. \(x + 2y - z = 1\)
C. \(x - 2y + z = 0\)
D. \(2x + y - z = 0\)
13. Cho \(\vec{a}=(1, 0, 0)\), \(\vec{b}=(0, 1, 0)\), \(\vec{c}=(0, 0, 1)\). Giá trị của \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) bằng bao nhiêu?
A. 0
B. 1
C. -1
D. Không xác định
14. Cho tam giác ABC có các cạnh AB, BC, CA lần lượt tương ứng với các vectơ \(\vec{AB}\), \(\vec{BC}\), \(\vec{CA}\). Mối quan hệ nào sau đây đúng?
A. \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0}\)
B. \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\)
C. \(\vec{AB} - \vec{BC} = \vec{CA}\)
D. \(\vec{AB} + \vec{AC} = \vec{BC}\)
15. Cho hai vectơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) khác vectơ không. Tích vô hướng của \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) được định nghĩa như thế nào?
A. Tích độ dài của hai vectơ nhân với cosin của góc giữa chúng: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos(\theta)\).
B. Tổng bình phương độ dài của hai vectơ: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2\).
C. Tích độ dài của hai vectơ: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}|\).
D. Hiệu bình phương độ dài của hai vectơ: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2\).
