1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^2$ và $y = 2x$.
A. $\frac{4}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{5}{3}$
2. Tính curl của trường vector $\vec{F}(x, y, z) = (x^2, y^2, z^2)$.
A. $\vec{0}$
B. $(2x, 2y, 2z)$
C. $(0, 0, 0)$
D. $(0, 0, 2z - 2y)$
3. Giải phương trình $z^2 + 2z + 5 = 0$ trên tập số phức.
A. $-1 \pm 2i$
B. $1 \pm 2i$
C. $-1 \pm i$
D. $1 \pm i$
4. Tính tích phân $\int_0^{\pi} \sin^2(x) dx$.
A. $\frac{\pi}{2}$
B. $\pi$
C. $\frac{\pi}{4}$
D. $\frac{3\pi}{4}$
5. Tìm khai triển Taylor của hàm số $f(x) = \sin(x)$ tại $x = 0$.
A. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2 n+1)!}$
B. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
C. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$
D. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2 n+1)!}$
6. Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng $2x - y + 3z = 5$.
A. $\vec{n} = (2, -1, 3)$
B. $\vec{n} = (2, 1, 3)$
C. $\vec{n} = (-2, 1, -3)$
D. $\vec{n} = (2, -1, 5)$
7. Tính tích phân $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx$.
A. $\sqrt{\pi}$
B. $\pi$
C. $\frac{\pi}{2}$
D. 1
8. Cho hàm số $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5$. Tìm khoảng mà hàm số nghịch biến.
A. $(0, 4)$
B. $\mathbb{R}$
C. $\emptyset$
D. (-$\infty$, 0) $\cup$ (4, +$\infty$)
9. Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x}) & \text{if } x \neq 0 \\ 0 & \text{if } x = 0 \end{cases}$. Tính $f`(0)$.
A. 0
B. 1
C. -1
D. Không tồn tại
10. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình $y`` + y = 0$.
A. $y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)$
B. $y = C_1 e^x + C_2 e^{-x}$
C. $y = C_1 \cos(x) + C_2 x\cos(x)$
D. $y = C_1 \sin(x) + C_2 x\sin(x)$
11. Tìm hàm $y(x)$ thỏa mãn phương trình vi phân $y` = y$ và điều kiện $y(0) = 1$.
A. $y = e^x$
B. $y = e^{-x}$
C. $y = x$
D. $y = 1$
12. Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính $\begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases}$.
A. $x = 2, y = 1$
B. $x = 1, y = 2$
C. $x = 3, y = 0$
D. $x = 0, y = 3$
13. Tìm hạng của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$.
14. Tính giới hạn $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$.
A. $e$
B. 1
C. 0
D. $\infty$
15. Tính tích phân đường loại 1 $\int_C (x^2 + y^2) ds$, với $C$ là đoạn thẳng nối điểm $A(0, 0)$ và $B(1, 1)$.
A. $\frac{\sqrt{2}}{3}$
B. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{6}$
D. $\frac{5\sqrt{2}}{6}$
16. Tìm giá trị riêng của ma trận $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.
A. 1 và 3
B. -1 và -3
C. 1 và -3
D. -1 và 3
17. Tính đạo hàm của hàm số $f(x) = \int_0^{x^2} e^{-t^2} dt$.
A. $2xe^{-x^4}$
B. $e^{-x^4}$
C. $e^{-x^2}$
D. $2xe^{-x^2}$
18. Tính giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) - x}{x^3}$.
A. $-\frac{1}{6}$
B. $\frac{1}{6}$
C. 0
D. $\infty$
19. Tìm nghiệm của phương trình $y` + 2y = e^{-x}$.
A. $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$
B. $y = e^{-x} + C$
C. $y = e^{-2x} + Ce^{-x}$
D. $y = e^{-x} + Cx$
20. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$.
A. $\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$
21. Tìm đạo hàm của hàm số $y = \ln(\cos(x))$.
A. $-\tan(x)$
B. $\tan(x)$
C. $\cot(x)$
D. $-\cot(x)$
22. Cho $f(x) = x^2 + 1$ và $g(x) = 2x - 3$. Tính $(f \circ g)(x)$.
A. $4x^2 - 12x + 10$
B. $2x^2 - 1$
C. $4x^2 + 4$
D. $2x^3 - 3x^2 + 2x - 3$
23. Tính tích phân bội hai $\iint_D (x + y) dA$, với $D$ là miền giới hạn bởi $x = 0, y = 0, x + y = 1$.
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. 1
D. $\frac{2}{3}$
24. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3$. Tính vi phân toàn phần cấp 1 của hàm số.
A. $df = (3x^2)dx + (3y^2)dy$
B. $df = (x^2)dx + (y^2)dy$
C. $df = (3x^2)dx - (3y^2)dy$
D. $df = (x^2)dx - (y^2)dy$
25. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$.
A. $\frac{1}{2}$
B. 1
C. 2
D. $\frac{1}{4}$
26. Cho hàm số $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tính $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
A. $4xye^{x^2 + y^2}$
B. $e^{x^2 + y^2}$
C. $4e^{x^2 + y^2}$
D. $2xye^{x^2 + y^2}$
27. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$.
A. $\infty$
B. 0
C. 1
D. 2
28. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.
A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$
B. $(0, 1)$ và $(1, 0)$
C. $(0, -1)$ và $(-1, 0)$
D. $(1, -1)$ và $(-1, 1)$
29. Tính diện tích mặt cầu có bán kính $R$.
A. $4\pi R^2$
B. $\frac{4}{3}\pi R^3$
C. $\pi R^2$
D. $2\pi R$
30. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất $y`` - 5y` + 6y = 0$.
A. $y = C_1e^{2x} + C_2e^{3x}$
B. $y = C_1e^{-2x} + C_2e^{-3x}$
C. $y = C_1e^{2x} + C_2xe^{2x}$
D. $y = C_1e^{3x} + C_2xe^{3x}$
